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圆的有关性质
垂径定理
垂径定理：
推论：
常用辅助线：
【例题精讲】
1.往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则的半径为（ ）
A．13cm B．16cm C．26cm D．20cm
2.已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD的距离是（　　）
A．1 B．7 C．1或7 D．无法确定
3. 已知圆的半径，不经过圆心的直线与圆交于、两点，且，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
4. 如图，在中，已知，，以点C为圆心、长为半径的圆交于点D，，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
5. 如图，的半径为，弦，是弦上的一个动点，则的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
如图，，在射线上顺次截取，，以为直径的交射线于两点，求：长．
7．如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度AB（弧所对弦）的长为米﹐拱高（弧的中点到弦的距离）为米．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在距蔬菜棚的一端（点B）米处竖立支撑杆，求支撑杆的高度．
8．如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；
（2）若，且，求弦的长；
9．如图，，交于点，，是半径，且于点F．
(1)求证：．
(2)若，，求的半径．
弧、弦、圆心角
圆心角、弧、弦之间的关系
定理：
推论：
【例题精讲】
1.下列命题错误的是( )
A.等弧所对的圆周角相等 B.平分弦的直径垂直于弦
C.三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 D.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且=，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）
A.92° B.108° C.112° D.124°
3.如图，已知AB是⊙O的直径， ，则弧CD所对的圆心角等于 ______ 度.
4. 如图，为直径，点D是上方圆上异于A、B的一点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5. 如图，是的外接圆，是直径，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6. 如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
7、如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连结OE，已知AD=BC，AD⊥CB．
(1)求证：AB=CD；
(2)如果⊙O的半径为5，DE=1，求AE的长．
圆周角
圆周角定理：
圆周角定理的推论：
推论1：
推论2：
圆内接四边形
性质1：
性质2：
【例题精讲】
．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，弦CD与AB相交于点E，连接AD，若∠A=19°则∠AEC的度数为（　　）
A．19° B．21° C．26° D．64°
．小明用一个破损的量角器按照如图所示的方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器的圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为（　　）
A．135° B．140° C．145° D．150°
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD.若∠AOD=120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（　　）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，OC⊥BD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若∠A等于66°，求∠ADB的度数．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD
（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；
（2）求证：BC+CD＝AC．
7．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、AC相交于点E，F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求⊙O的直径．
8．如图四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE
（1）求直径BD的长；
（2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积．
【课后巩固】
1.如图，已知OB，OD是⊙O的半径，BC、CD、DA是⊙O的弦，连接AB，若∠BCD＝130°则∠BOD度数为（　　）
A．50° B．90° C．100° D．130°
2.如图，点A，B，C，D，E都是上的点，，，则______°．
3. 如图，将含角的三角板的顶点放在半圆上，这个三角板的两边分别与半圆相交于点A，B，则弦所对的圆心角是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5.如图，已知在中，，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6.如图，为的直径，弦于，点在的延长线上，交于．
(1)求证：；(2)若，试求的半径．
7.已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为
（Ⅰ）如图①，连接AC，AD；
（Ⅱ）如图2，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，⊙O的半径为2，求AC的长．

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