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13.4 课题学习 最短路径问题
人教版数学 八年级上册
1.最短路径问题解题根据：
（1）两点的所有连线中，段线最短.
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
2.最短路径问题类型：
（1）在直线上找一点，使这个点到直最短路径问题线异侧的两个点的距离（PA＋PB）最短。
如图所示，连接AB,与直线相交于一点P,根据“两点之间线段最短",可知P点就是要找的点.
（2）在直线上找一点，使这个点到直线同侧的两个点的距离的和（PA＋PB）最小.
如图所示.在直线旁作以直线为对称轴的A点的对称点A',再将这一对称点A'与另一点B连接交直线于P点，这个点P即为所求的点。
（3）在直线1、2上分别求点M、N,使△PMN的周长最小.
如图所示，分别作点P关于两直线1、2的对称点P',P",连接P'P",与两直线的交点即为点M,N。△PMN周长的最小值为线段P'P"的值。
（4）在直线1、2上分别求点M、N,,使四边形PMNQ的周长最小。
如图所示，分别作点P,Q关于直线1、2的对称点P',Q',连接P'Q',与两直线的交点即为点M,N四边形PMNQ周长的最小值为P'Q'+PQ的值。
解决“造桥选址”问题，一般用平移的方法，利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转换到一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题.
“造桥选址”的根本问题就是要通过平移变换，按与河垂直的方向平移桥，使除桥外的其他路线经平移后在一条直线上，
一、单选题
1．如图所示，从甲到乙共有，，三条路线，最短的路线是（ ）

A． B． C． D．无法确定
2．如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图：两村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到两村庄的距离之和最小，如图2，连接，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两直线相交只有一个交点
C．两点之间，线段最短 D．经过一点有无数条直线
4．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，的垂直平分线分别交边于点、，点为上一动点，则的最小值是以下哪条线段的长度（ ）

A． B． C． D．
6．如图，从地到地的最短路线是( )

A． B．
C． D．
7．如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（　　）

A．6 B．7 C．7.5 D．8.3
二、填空题
9．如图，已知空间站与星球距离为，信号飞船在星球附近沿圆形轨道行驶，，之间的距离为数据表示飞船与空间站的实时距离，那么的最小值 ．
10．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ；

11．如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．

12．如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．

13．如图，等腰的底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
三、解答题
14．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．

(1)作关于直线对称的图形；
(2)点P在直线上，当周长最小时，仅用无刻度的直尺在直线上作出点P的位置．
15．如图．
(1)在网格中画出关于轴对称的．
(2)写出关于轴对称的的各顶点坐标．
(3)在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹）
16．如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，求的度数．

17．如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．

(1)直接填空：与的位置关系是__________；
(2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值；
(3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？
参考答案：
1．B
2．C
3．C
4．D
5．C
6．A
7．B
8．B
9．/
10．9
11．
12．
13．11
14．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）∵点关于的对称点为，连接交直线于点，
此时周长最小．
点即为所求．
15．(1)作图见详解
(2)，，
(3)作图见详解
【详解】（1）解：根据题意得，，，，
∵点关于轴对称的点的特点是横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变，
∴，，，如图所示，连接，

∴即为所求图形．
（2）解：由（1）可知，，，，
∵点关于轴对称的点的特点是横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，
∴，，．
（3）解：如图所示，作点关于轴对称的点，连接，则与轴交于点，

∴根据对称可得，，
∴，
∵点两点之间线段最短，
∴最短，即的值最小，
∴如图所示，点的位置即为所求点的位置．
16．
【详解】解：如答图①，分别作点关于直线，的对称点，，

则，．
的周长，
当，，，四点共线（如答图②）时，的周长取到最小值．
，，
．
根据轴对称的性质可得，．
又由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可得，
又
，
，
，
，
．
17．(1)
(2)9
(3)当时，；当时，
【详解】（1）解：∵沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，在上取点，使得，连接，
根据对称的性质，，

∴，
要求的最小值，求的最小值即可，
∴当B、P、M三点共线，且时，取得最小值，
此时，如图所示，

由对称的性质，，
∵取得最小值时，，
∴，
即：，解得：，
∴的最小值为9；
（3）解：①当时，；
∵由翻折变换的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由翻折的性质，当时，．
形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题关键．

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