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苏教版六年级数学上册1.2长方体和正方体的表面积
知识梳理
1、表面积的含义。
物体的表面积：围成物体表面的图形的总面积。
长方体（正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。
2、长方体表面积的计算方法。
长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。如果用S表示长方体的表面积，a表示长，b表示宽，h表示高，那么长方体的表面积的计算公式可以用字母表示为s=2ab+2ah+2bh或s=2（ab+ah+bh）。
有2个面是正方形的长方体，如果正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a，a，h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。
3、正方体表面积的计算方法。
正方体的表面积=棱长×棱长×6，如果用s表示正方体的表面积，用a表示正方体的棱长 ，那么正方体表面积的计算公式用字母表示为s=6a2
利用长方体、正方体表面积的计算方法解决实际问题
4、利用长方体和正方体表面积的计算方法解决生活中的实际问题时，关键是根据实际情况确定好是求几个面的面积。
真题练习
一、选择题
1．一个长方体正好能切成3个棱长是4厘米的正方体（如图），3个正方体的表面积之和比原来长方体增加了（ ）平方厘米。
A．16 B．32 C．480 D．64
2．一个长方体的表面积是160平方米，相交于同一个顶点的三个面的面积和是（ ）平方米。
A．80 B．40 C．20
3．从一个长方体木块中，挖掉一小块后（如图），它的表面积（ ）。
A．和原来同样大 B．比原来小 C．比原来大 D．无法判断
4．用铁皮制成长方体烟囱，求用了多少铁皮，就是求这个长方体（ ）。
A．体积 B．六个面的面积和 C．四个面的面积和 D．五个面的面积和
5．将一个大长方体切分成两个完全一样的小长方体，按下图所示的三种切法，表面积分别增加50平方厘米、40平方厘米、90平方厘米。原来大长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．360 B．90 C．180 D．390
二、填空题
6．—个长方体木块长a厘米。宽和高都是b厘米，（a＞b），把这个长方体切成两个相同的长方体，表面积比原来最少增加( )平方厘米，最多增加( )平方厘米。
7．将6个棱长为1厘米的小正方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是( )平方厘米，表面积最小是( )平方厘米。
8．一个长方体的棱长总和是48厘米，从一个顶点出发的3条棱的长度和是( )厘米。如果这3条棱的长度恰好是3个连续的偶数，那么这个长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
9．一个底面是正方形的长方体铁箱，把它的侧面展开，如果正好得到一个边长是40厘米的正方形，那么这个铁箱的表面积是( )平方厘米；如果正好得到一个面积是320平方厘米的正方形，那么这个铁箱的表面积是( )平方厘米。
10．一个长方体长2米，宽4分米，高4厘米，这个长方体棱长之和是( )分米，表面积是( )平方分米。
三、判断题
11．把两个表面积为12平方分米的完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积为24平方分米。( )
12．把两个相同的正方体拼成一个长方体后，表面积不变。( )
13．表面积相等的长方体和正方体，它们的棱长总和一定相等。( )
四、图形计算题
14．计算下面各个图形的表面积。（单位：厘米）
五、解答题
15．如图，在这个长方体中截下一个最大的正方体，这个正方体的体积是多少？表面积最少减少了多少？（请在图中画出示意图，并计算）
16．一个正方体的棱长是24分米，这个正方体的表面积是多少平方分米？
17．一个正方体容器用铁皮制成（无盖），尺寸如图。
（1）制作这个容器至少需要铁皮多少m ？
（2）这个容器的占地面积是多少？
（3）这个容器最多能装水多少m ？ （铁皮厚度忽略不计）
18．从一个边长为2厘米的正方体的上面正中，向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为0.5厘米边长的小洞，接着再在小洞底面正中再向下挖一个边长为0.25厘米的正方体小洞，求现在得到的立体图形的表面积。
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
通过观察图形可知，一个长方体正好能切成3个棱长是4厘米的正方体，3个正方体的表面积之和比原来长方体增加了4个切面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答。
【详解】
4×4×4
＝16×4
＝64（平方厘米）
答案：D
【点睛】
此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体表面积的意义，关键是明确：一个长方体正好能切成3个棱长是4厘米的正方体，3个正方体的表面积之和比原来长方体增加了4个切面的面积。
2．A
【解析】
【分析】
相交于同一个顶点的三个面的面积和是长方体表面积的一半；据此解答。
【详解】
160÷2＝80（平方米）
答案：A
【点睛】
明确“相交于同一个顶点的三个面的面积和是长方体表面积的一半”是解答本题的关键。
3．A
【解析】
【分析】
由题意可知，在长方体的顶点上挖掉一小块后，减少的面与增加的面个数是相等的都是3个，所以长方体的表面积没发生变化。
【详解】
由分析可知，挖掉顶点的一块小正方体后，它的表面积没变化。
答案：A。
【点睛】
本题主要考查了长方体的表面积，关键是要对挖掉一部分后长方体表面积的变化有充分的理解。
4．C
【解析】
【分析】
根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等。由于烟囱是不需要底面的，因此，只求它的四个侧面的面积。
【详解】
由于烟囱是不需要底面的，因此，只求它的四个侧面的面积。
答案：C。
【点睛】
此题主要考查出长方体的特征和表面积的计算方法，解答这类题目，首先要搞清是求哪几个面的面积，然后再根据表面积的计算方法解答。
5．C
【解析】
【分析】
根据题意可知，若三种不同的方法切成两个完全一样的长方体，方法分别是平切、横切、和纵切，每一种切法就增加两个面，把三种切法增加的面相加，就是原来长方体的表面积，据此解答。
【详解】
50＋40＋90
＝90＋90
＝180（平方厘米）
故答案选：C
【点睛】
本题的重点是明确三中切法增加的面积的和就是长方体的表面积。
6．2b2 2ab
【解析】
【分析】
根据题意可知，要使表面积增加最小，可以平行于最小面的切割，表面积会增加2个b×b；要使表面积增加最大，可以平行于最大面切割，则表面积增加2个a×b的面的面积；据此解答。
【详解】
表面积最少增加：b×b×2＝2b2（平方厘米）
表面积最多增加：a×b×2＝2ab（平方厘米）
【点睛】
本题抓住切割特点和表面积增加面的情况是解答本题的关键。
7．26 22
【解析】
【分析】
长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，第一种将六个正方体并排放，此时长为6厘米，宽为1厘米，高为1厘米，根据公式列式为：（6×1＋6×1＋1×1）×2解答；第二种将六个正方体的三个放上面，三个放下面，此时长为3厘米，宽为1厘米，高为2厘米，根据公式列式为：（3×1＋3×2＋1×2）×2解答即可。
【详解】
（1）将六个正方体并排放，此时长方体长为6厘米，宽为1厘米，高为1厘米；
（6×1＋6×1＋1×1）×2
＝13×2
＝26（平方厘米）
（2）将六个正方体的三个放上面，三个放下面，此时长方体长为3厘米，宽为1厘米，高为2厘米；
（3×1＋3×2＋1×2）×2
＝11×2
＝22（平方厘米）
26＞22
第一种表面积最大，第二种表面积最小。
【点睛】
解答此题的关键是掌握长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
8．12 88 48
【解析】
【分析】
根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，那么长、宽、高的和＝棱长总和÷4，再根据自然数的排列规律，相邻的两个偶数相差2，据此可以求出这个长方体的长、宽、高，然后根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，长方体的体积公式：V＝abh把数据代入公式解答。
【详解】
48÷4＝12（厘米）
12÷3＝4（厘米）
4－2＝2（厘米）
4＋2＝6（厘米）
（6×4＋2×6＋4×2）×2
＝44×2
＝88（平方厘米）
6×2×4
＝12×4
＝48（立方厘米）
【点睛】
此题主要考查长方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式的灵活运用，自然数的排列规律及应用，关键是求出长方体的长、宽、高。
9．1800 360
【解析】
【分析】
第一个空，底面边长是40÷4厘米，高40厘米，据此求出原长方体表面积；第二个空，用侧面积÷4，求出一个侧面积，因为长方体的高＝底面边长×4，一个侧面积相当于4个底面积，用一个侧面积÷4，求出底面积，侧面积＋底面积×2即可。
【详解】
40÷4＝10（厘米）
10×40×4＋10×10×2
＝1600＋200
＝1800（平方厘米）
320÷4÷4＝20（平方厘米）
320＋20×2
＝320＋40
＝360（平方厘米）
【点睛】
关键是熟悉长方体特征，灵活运用长方体表面积公式。
10．97.6 179.2
【解析】
【分析】
根据长方体的棱长总和的公式：（长＋宽＋高）×4，表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解，要注意单位换算。
【详解】
2米＝20分米；4厘米＝0.4分米
棱长总和：（20＋4＋0.4）×4
＝24.4×4
＝97.6（分米）
（20×4＋20×0.4＋4×0.4）×2
＝（80＋8＋1.6）×2
＝89.6×2
＝179.2（平方分米）
【点睛】
本题主要考查长方体的棱长总和以及表面积公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用；注意仔细审题，看清楚单位。
11．×
【解析】
【分析】
根据题意可知，把两个表面积为12平方分米的完全一样的正方体拼成一个长方体，减少了正方体的两个面，则长方形体的表面积就等于正方体的（12－2）个面的面积，据此解答。
【详解】
12÷6×（12－2）
＝2×10
＝20（平方分米）
原题干说法错误。
答案：×
【点睛】
解答本题的关键明白：长方体的表面积等于正方体的10个面的面积。
12．×
【解析】
【分析】
根据题意可知，两个相同的正方体拼成一个长方体，减少了两个接触面的面积，据此判断。
【详解】
根据分析可知，把两个相同的正方体拼成一个长方体，表面积减少了两个接触面的面积。
原题干把两个相同的正方体拼成一个长方体，表面积不变，说法错误。
答案：×
【点睛】
本题考查组合图形表面积的求法。
13．×
【解析】
【分析】
长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，棱长总和＝棱长×12。此题可以采用举例说明的方法进行判断。
【详解】
假设长方体和正方体的表面积都是54平方厘米，则长方体的长、宽、高分别可能是6厘米、3厘米、1厘米，棱长总和＝（6＋3＋1）×4＝40（厘米）；54＝3×3×6，正方体的棱长是3厘米，棱长总和＝3×12＝36（厘米）。这个长方体和正方体表面积相等，但棱长总和不相等。
答案：×
【点睛】
此题主要考查正方体、长方体的表面积和棱长总和公式的灵活应用，这类问题可以举例子说明。
14．138平方厘米；108平方厘米；310平方厘米
【解析】
【分析】
根据长方体表面积公式：（长×宽＋宽×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详解】
第一个图形表面积：
（3×10＋3×3＋3×10）×2
＝（30＋9＋30）×2
＝（39＋30）×2
＝69×2
＝138（平方厘米）
第二个图形表面积：
（6×3＋6×4＋3×4）×2
＝（18＋24＋12）×2
＝（42＋12）×2
＝54×2
＝108（平方厘米）
第三个图形表面积：
（5×4＋5×15＋4×15）×2
＝（20＋75＋60）×2
＝（95＋60）×2
＝155×2
＝310（平方厘米）
15．（1）512立方厘米；
（2）128平方厘米
【解析】
【分析】
已知这个长方体的长是20厘米、宽是12厘米、高是8厘米，在这个长方体中截下一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的高，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。原长方体的表面积比原来减少了这个棱长为8厘米的小正方体的4个面的面积，同时又增加了2个小正方体的面的面积，所以表面积是减少了2个小正方体的面的面积；据此即可解题。
【详解】
画示意图如下：
8×8×8＝512（立方厘米）
答：这个正方体的体积是512立方厘米。
8×8×（4－2）
＝8×8×2
＝64×2
＝128（平方厘米）
答：表面积最少减少128平方厘米。
【点睛】
此题主要考查正方体的体积公式的灵活运用，关键是求出所截正方体的棱长是多少厘米。
16．3456平方分米
【解析】
【分析】
正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此解答。
【详解】
24×24×6＝3456（平方分米）
答：这个正方体的表面积是3456平方分米。
【点睛】
根据正方体的表面积公式即可解答。
17．（1）7.2 m ；
（2）1.44 m ；
（3）1.728 m
【解析】
【分析】
（1）利用给定的正方体边长，再用正方体的表面积公式进行计算，同时注意无盖，说明只能算5个面的面积。
（2）占地面积即计算该容器的底面积。
（3）运用正方体的体积公式即可求出能装多少水。
【详解】
（1）正方体容器中无盖，只能计算5个面，即：
1.2×1.2×5
＝1.44×5
＝7.2（m ）
答：制作这个容器至少需要铁皮7.2m 。
（2）容器占地面积为：1.2×1.2＝1.44（m ）
答：容器占地面积为1.44m 。
（3）1.2×1.2×1.2
＝1.44×1.2
＝1.728（m ）
答：这个容器能装水1.728m 。
【点睛】
本题主要考查的是正方体的表面积、体积及实际运用，需要牢记正方体的体积公式和表面积公式。
18．29.25平方厘米
【解析】
【详解】
2×2×6＋1×1×4＋0.5×0.5×4＋0.25×0.25×4＝29.25（平方厘米）
答：得到的立体图形的表面积为29.25平方厘米。
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