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九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数 导学案
【知识清单】
知识点01：列二次函数解应用题
　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
知识要点：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
知识点02：建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
知识要点：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
　　①首先必须了解二次函数的基本性质；
　②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
　　③借助二次函数的性质来解决实际问题.
【典型例题】
考点1：图形问题
例．1．抛物线与直线交于，两点，抛物线在，两点之间的部分以及线段所围域内（包括边界）恰有4个整点（横、纵坐标都是整数的点叫做整点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据抛物线解析式，确定顶点坐标，进而得到点，、必在所要求区域内，再扩充一个整点，将代入抛物线解析式，得到，然后根据点的纵坐标在1和2之间（不包括1，但包括2），据此即可得到答案．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标为，
直线经过点，
点，、必在抛物线在，两点之间的部分以及线段所围域内（包括边界），
此区域恰有4个整点，
第4个整点必为，
将代入，得：，
，
解得：，
故选A．

【点睛】本题考查了二次函数图象和系数的关系，函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
考点2：拱桥问题
例2．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，可设此函数解析式为：，利用待定系数法求解．
【详解】解：设此函数解析式为：，
由题意得：在此函数解析式上，
则
即得，
那么．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键是借助二次函数解决实际问题．
考点3：销售问题
例3．某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，利用每天售出服装的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出y关于x的函数关系式，再结合要确保盈利且日销售量为整数，即可得出x的取值范围．
【详解】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，每天售出服装的利润为y元，由题意得：
，
又∵要确保盈利，且日销售量为整数，
∴，且x为偶数，
∴y关于x的函数解析式为（，x为偶数）．
故选：A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
考点4：投球问题
例4．竖直上抛的物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，则小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将，代入，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．
【详解】解：依题意得：，，
把，代入得，
当时，，
故小球达到的离地面的最大高度为：．
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用，利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键，属于基础题．
考点5：喷水问题
例5．某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离与水流喷出的高度之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将配方成顶点式求解即可．
【详解】
∴当时，y取得最大值4，
∴水流喷出的最大高度是．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
考点6：增长率问题
例6．某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额增长率三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：二月份的营业额为，三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加，
为，
则列出的方程是．
故选D．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键；注意本题的等量关系为3个月的营业额之和．
【巩固提升】
选择题
1．如图，有长为的篱笆，现一面完全利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，围成的花圃的面积最大时的长是（ ）米．

A．4 B．5 C．3 D．
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）

B．
C． D．
3．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱的高度为（ ）米．

A．米 B．3米 C．米 D．4米
4．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：，，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（ ）
A．30万元 B．38万元 C．46万元 D．48万元
5．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．小球运动到最高点所需的时间是（　　）
A．2s B．3s C．4s D．5s
6．为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（　　）
A． B． C． D．
7．根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．如图，在正方形中，为上的点，为边上的点，且，，设，的面积为，则与之间的函数关系式是 ．

9．如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降 米时，水面宽度为米．

10．一种商品每件的进价为100元，在某段时间内以每件a元的价格出售，可卖出件．若要使利润最大，则商品的定价为 元．
11．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间的函数关系是，当飞行时间t为 时，小球达到最高点．
12．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为，，，水嘴高，则水柱落地点到水嘴所在墙的距离是 ．

三、解答题
13．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为，菱形的面积（单位：）随其中一条对角线的长（单位：）的变化而变化．
(1)请直接写出与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)当菱形风筝面积为时，求菱形风筝的边长是多少？
14．兰兰家新建了一个蔬菜大棚，大棚的样式如图1，大棚入口的外形呈抛物线形状，宽度是，最高点距地面，现要在大棚的入口正中间加3根木条做一个简易的长方形门框，如图2．

(1)若门框的高不低于，且长方形门框的宽的长度不小于，则长方形门框的宽度应该在什么范围内？
(2)在（1）的条件下，为了节省木料，求3根木条长度和的最小值．
15．商社电器销售部门从厂家购进了、两种型号的空气净化器．已知一台型空气净化器的进价比一台型空气净化器的进价多300元，用7500元购进型空气净化器和用6000元购进型空气净化器的台数相同．
(1)一台型空气净化器和一台型空气净化器的进价各为多少元？
(2)在销售过程中，型空气净化器因为净化能力强、噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大型空气净化器的销量，商社电器决定对型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当每台型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，每台售价每降低50元，每天将多售出1台．请问当商社电器将每台型空气净化器的售价定为多少元时，每天销售型空气净化器的利润最大，最大值为多少？
16．一个物体从地面竖直向上抛，有这样的关系式：（不计空气阻力），其中是物体距离地面的高度，是初速度，是重力加速度（g取），t是抛出后所经历的时间．圆圆用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球以的初速度从地面竖直向上抛．
(1)当小球的高度为米时，求时间的值；
(2)小球的高度能达到米吗？请作出判断，并说明理由．
17．阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材】某公园计划修建一个图所示的喷水池，水池中心处立着一个高为的实心石柱，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，且离池面的高度为．
【素材】距离池面米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流．
【任务解决】
(1)小张同学设计的水池半径为，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求．
(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？
18．2022年第一季度我省GDP总值约为10000亿元，第三季度的GDP总值约为11025亿元．
(1)假定第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率相同，求这个增长率；
(2)若保持这样的增长率不变，估计到2023年第一季度，我省的GDP总值能否突破12000亿元？并说明理由．
参考答案
1．D
【分析】设，根据矩形的面积公式得到矩形的面积与x的函数关系，再根据自变量的取值范围即可求解．
【详解】解：设，则，
∵，即，
∴，
∴，
∵二次函数对称轴为，开口向下，
∴当时，随x的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是抓住题干条件写出二次函数解析式并结合自变量的取值范围求出最值．
2．A
【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在，，之间三个阶段，用含x的代数式表示出的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．
【详解】解：菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，
，，
，
，
，，，
设直线的解析式为，将，代入，得：
，
解得，
直线的解析式为．
轴，
N的横坐标为x，
（1）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，
，
，
，
该段图象为开口向上的抛物线；
（2）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中，上的高为，
，
该段图象为直线；
（3）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，
由，可得直线的解析式为，
，，
，
，
该段图象为开口向下的抛物线；
观察四个选项可知，只有选项A满足条件，
故选A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及坐标与图形，菱形的性质，二次函数、一次函数的应用等知识点，解题的关键是分段求出函数解析式．
3．C
【分析】设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以所在的直线为x轴，以的中点O为坐标原点，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，点M，N的横坐标为5，再求出抛物线的解析式，即可求解．
【详解】解：如图，设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以所在的直线为x轴，以的中点O为坐标原点，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，点M，N的横坐标为5，
设抛物线的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴支柱的高度为米．
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．
4．C
【分析】首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式，进而求出最值即可．
【详解】解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售辆，总利润为W万元，根据题意得出：
，
∴当时，取最大值，且最大值为46，
∴该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为46万元，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意得出函数关系式，并将函数关系式化为顶点式．
5．B
【分析】先将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数性质即可求解．
【详解】解： ，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为45．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，将实际问题化为数学问题，并熟知二次函数的性质是解题关键．
6．A
【分析】根据点A到点O的距离为4，得到,代入求得，再将解析式化为顶点式即可得解；
【详解】点A到点O的距离为4，
,
把代入得
，
，
，
水流喷出的最大高度为，
故选择：Ａ
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确的求出函数解析式是解题的关键．
7．B
【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
8．
【分析】根据正方形的性质利用“”证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，再根据的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积列式整理即可得解．
【详解】解：在正方形中，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
即：，
化简为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，证明是解答本题的关键．
9．
【分析】如图所示，建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，根据题意，令即可得到答案．
【详解】解：如图所示，建立如下平面直角坐标系：

设抛物线的解析式为，
将代入解析式得到，解得，
，
根据题意，当时，，
此时，水面下降（米），
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数解决实际问题，读懂题意，建立平面直角坐标系求出抛物线解析式是解决问题的关键．
10．150
【分析】设利润为元，一件的利润为元，可卖出件，利润等于二者之积，列出二次函数关系式，求最值即可得到结果．
【详解】解：设利润为元，
由题意得：
，
∵，，
∴当时，，
∴商品的定价为 150元时，利润最大，
故答案为：150．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据利润（售价进价）卖的件数，列出函数关系式再求最值是解题的关键．
11．2
【分析】只需要求出抛物线的顶点坐标即可得到答案．
【详解】解：∵小球的飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间的函数关系是，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴当飞行时间t为时，小球达到最高点，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟知小球到达最高点的时间值即为抛物线的顶点坐标的横坐标的值是解题的关键．
12．6
【分析】以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，易得点和点的坐标，设抛物线的解析式为：，代入点的坐标求得函数的解析式，再求出点的坐标即可得到的长度．
【详解】解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则，，，
∵点是最高点，
∴设抛物线的解析式为：，
将点坐标代入，可得：，
解得：，
∴，
令，解得：，，
∴点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键．
13．(1)
(2)
【分析】（1）首先表示出菱形对角线的长，再利用菱形面积求法得出答案；
（2）根据二次函数的值为600求出对角线长，结合菱形对角线互相垂直平分和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：一条对角线的长为，则另一对角线长为：，
则；
（2）依题意得：，
解得：，，
即菱形风筝的对角线为、，
因为菱形对角线互相垂直平分，
所以菱形的边长为：．
当菱形风筝面积为时，菱形风筝的边长是.
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意结合菱形的性质得出与之间的关系式是解题关键．
14．(1)
(2)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点坐标代入即可求出解析式；
（2）设A点的横坐标为x，则B点的横坐标为，AB的长度为，求出，的长即可．
【详解】（1）解：如图，以大棚入口的左端点为原点建立直角坐标系，由题意知顶点C坐标为，D点坐标为，
设抛物线的解析式为，

将D点坐标代入，得，解得 ，
抛物线的解析式为 ，
当 时，，，
则的长度最大为，
的范围为；
（2）设A点的横坐标为x，则B点的横坐标为，的长度为，
，
，得，
点A的纵坐标为 ，
如图，木条 ，
令3根木条长度和为l，
，
当时，y随x的增大而减小，所以当时，l取得最小值为 ．
即3根木条长度和的最小值为 ．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，解题关键是求出函数解析式．
15．(1)每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
(2)当商社电器将每台型空气净化器的售价定为元时，每天销售型空气净化器的利润最大，最大值为3200．
【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；
（2）设B型空气净化器的售价为a元，每天销售的B型空气净化器的利润为w元，则可得w关于x的二次函数，即可求得结果．
【详解】（1）解：设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为元，
由题意得，＝，
解得：，
经检验是原方程的根，
则，
答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
（2）解：设B型空气净化器的售价为a元，每天销售的B型空气净化器的利润为w元，则每天的销售量为个，
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴当时，w最大，且最大值为3200．
即当商社电器将每台型空气净化器的售价定为元时，每天销售型空气净化器的利润最大，最大值为3200．
【点睛】本题考查了分式方程的应用及二次函数的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程及函数关系式是解题的关键．
16．(1)小球的高度为米时，所用时间为或；
(2)小球的高度不能达到米．理由见解析
【分析】（1）把，代入所给关系式求出二次函数解析式，再代入解析式求t的值即可；
（2）把代入函数解析式得到关于t的一元二次方程，由判别式判定方程是否有解即可．
【详解】（1）解：把代入得：
，
当时，，
即，
解得：．
答：小球的高度为米时，所用时间为或；
（2）解：小球的高度不能达到米，
理由如下：
把代入得：
，
∴，
∵，
∴无实数解，
∴小球的高度不能达到米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意找出等量关系是解决问题的关键．
17．(1)符合要求，花坛的半径至少为，理由见解析
(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过米
【分析】（1）设二次函数顶点式，利用待定系数法求出二次函数解析式，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得到答案；
（2）令，则，解得或舍，即可得到答案．
【详解】（1）解：符合要求，理由如下：
由题意可得，顶点为，
设解析式为，
函数过点，
代入解析式得，，
解得，
解析式为：，
令，则，
解得或舍去，
花坛的半径至少为；
（2）令，则，
解得或舍，
为了不影响水流，小水池的半径不能超过米．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，数形结合和准确计算是解题的关键．
18．(1)5%
(2)能突破，理由见解析
【分析】（1）设这个增长率为x，利用第三季度的GDP总值=第一季度的GDP总值第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用预计2023年第一季度我省的GDP总值=2022年第三季度我省的GDP总值每季度我省GDP总值的增长率，可求出预计2023年第一季度我省的GDP总值，再将其与12000亿元比较后即可得出结论．
【详解】（1）设第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率为，根据题意得
，
解得，（不合题意，舍去），
答：第二季度、第三季度我省GDP总值的增长率为5%；
（2）到2023年第一季度，我省的GDP总值能突破12000亿元，
理由：2022年第四季度我省GDP总值为（亿元）；
2023年第一季度我省GDP总值为（亿元）（亿元），
∴到2023年第一季度，我省的GDP总值能突破12000亿元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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