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九年级数学上册 23.1 图形的旋转 导学案
【知识清单】
1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
知识要点：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　
　 (3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
知识要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
3. 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键
沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
知识要点：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
【典型例题】
考点1：判断图形旋转图案
例1．观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）
A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移
C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转
【答案】C
【分析】根据平移、旋转、轴对称的特点即可解答．
【详解】解：依次几何变换顺序是轴对称、平移、旋转．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平移、旋转、轴对称的特点，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
考点2：找旋转中心、旋转角、对应点
例2．如图，是由旋转后得到的，下列说法正确的是（ ）

A．旋转中心不是点 B．
C．旋转方向是顺时针 D．
【答案】D
【分析】由旋转中心，旋转方向，旋转前后的对应边，旋转角的含义可以直接求解．
【详解】解：是由旋转后得到的，
旋转中心为点A，，旋转方向可以是顺时针，也可以是逆时针，旋转角为，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质以及基本概念是解题的关键．
考点3：旋转的规律性问题
例3．如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，再根据菱形的性质及全等三角形的性质，即可求得坐标.
【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转， ，
∴旋转4次后回到原来的位置，
∵，
∴第2023次旋转结束时，点C在第三象限，
如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，

∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故第2023次旋转结束时，点C的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查菱形的性质和旋转的性质，全等三角形的判定及性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键.
考点4：旋转的性质
例4．如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则下列结论正确的个数有（　　）．
①，②，③， ④

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据旋转的性质和是正方形，从而得到，根据，，得到，根据，得到，从而得到，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半的得到，从而得到，根据特殊直角三角函数值得到．
【详解】解：绕点C顺时针方向旋转得到，
，，
是正方形
，
，
，故①错误；
，
，，
，
，故③正确；
，
，
，故②正确；
，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的旋转及正方形的性质，熟记旋转的性质及解直角三角形和角度之间的计算是解题的关键．
考点5：旋转综合题
例5．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，比较简单．
【巩固提升】
选择题
1．历时7年研发建设完成，拥有自主知识产权的“云巴”（如图）在重庆璧山正式运行，云巴在轨道上运行可以看作是（　　）

A．对称 B．旋转 C．平移 D．跳跃
2．下列图案中，可以看作由“基本图案”通过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
3．将两块全等的含角的直角三角板按图1的方式放置，已知，固定三角板，然后将三角板绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，与分别交于点D、E，与交于点F．当，旋转角的度数是（ ）．

A． B． C． D．
4．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，将绕点A逆时针旋转至，点B、C的对应点分别为点D、E，下列结论中不一定正确的是（ ）．

A． B． C． D．
6．在如图右侧的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（ ）

A．A B．B C．C D．D
7．下列说法：（1）解方程时，去分母得；（2）若一个等腰三角形的两边长分别为5和9，则该三角形的周长是23；（3）选择边长相等的正三角形、正方形、正六边形和正八边形中两种地砖密铺地面，不可以选择正三角形于正八边形；（4）等边三角形和线段都是旋转对称图形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，若将绕点B顺时针旋转90°，得到，则点的坐标为（　　）

A． B． C． D．
9．如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）

A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
10．运动“冰壶滑行到终点．直升机螺旋桨的转动．气球冉冉升起．钢架雪车加速前进”属于旋转的是 ．
11．如图，将绕着点O顺时针旋转得到，若，则旋转角度是 ．

12．如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②平分，③，④，其中正确结论的序号是 ．

13．如图，△ABC纸片的面积为12cm2，其中一边BC的长为6cm，将其经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙无重叠的长方形BCDE，则长方形的周长为 cm．
14．在平面直角坐标系中，把点向右平移7个单位得到点，再将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标是 ．
15．如图，在中，点在上，连接，，点在上，连接，，若，的面积为，则的长为 ．

三、解答题
16．如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好成为的中点．

(1)旋转中心为点 ，并求出旋转角= 度；
(2)求出的度数和的长．
17．如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，点E、F在AB上，且∠ECF＝60°．
（1）①在图1中画出；点A关于直线CF的对称点G；②若EF＝AF，求证：BE＝EF；
（2）如图2，∠ABP＝120°，射线BP交CE的延长线于点P，求证：PB+AF＝PF．
18．如图1，在中，，，过点A作于点D，点M为线段AD上一点（不与A，D重合），在线段BD上取点N，使，连接，．

(1)观察猜想
线段与的数量关系是 ，与的位置关系是 ．
(2)类比探究
将绕点D旋转到如图2所示的位置，请写出与的数量关系及位置关系，并就图2的情形说明理由．
19．如图，已知各顶点的坐标分别为，，．
（1）画出以点为旋转中心，按逆时针方向旋转后得到的；
（2）将先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到．
①在图中画出；
②如果将看成是由经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．

(1)平移，使平移后点A的对应点的坐标为，请画出平移后的；
(2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，点A、B、C的对应点分别为、、．
21．如图，为等腰三角形，顶点的坐标，底边在轴上．将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，请你求出点的坐标．
参考答案
1．C
【分析】根据平移与旋转定义判断即可．
【详解】解：“云巴”在轨道上的运行可以看作是平移．
故选：C．
【点睛】本题考查对平移与旋转的理解及在实际当中的运用．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的．正确理解平移与旋转的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据平移的定义可得答案．
【详解】解：、能通过基本图形平移得到，故此选项符合题意；
、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项不符合题意；
、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项不符合题意；
、不能通过基本图形平移得到，故本选项不符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解答此题的关键．
3．A
【分析】根据三角形内角和定理得，根据直角三角形性质和对顶角相等得，求出即可．
【详解】解：由题意得到，，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
所以，
即旋转角是．
故选：A
【点睛】此题考查了图形的旋转、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理、直角三角形的性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置．
【详解】解：如图，
绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B．
5．C
【分析】根据旋转的性质得出，，，再根据三角形内角和定理和等边对等角得出，进而判断各选项即可得出答案．
【详解】根据旋转的性质有：，，，
∴在中，，
∴，
故A、B、D项正确，
C项不一定，故C项符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解答本题的关键．
6．B
【分析】根据平移和旋转的定义，依次进行判断即可得．
【详解】解：A、图形由经过平移得到，选项说法正确，不符合题意；
B、图形不能由经过旋转或平移得到，，是由翻折得到的，选项说法错误，符合题意；
C、图形由经过旋转得到，选项说法正确，不符合题意；
D、图形由经过旋转和平移得到，选项说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平移，旋转，解题的关键是掌握平移，旋转的定义．
7．B
【分析】方程去分母，判断（1）；等腰三角形的定义，分类讨论判断（2）；密铺能构成判断（3）；旋转对称图形的定义，判断（4）．
【详解】解：
去分母，得：；故（1）错误；
若一个等腰三角形的两边长分别为5和9，则该三角形的周长是23或19；故（2）错误；
选择边长相等的正三角形，正方形，正六边形和正八边形中两种地砖密铺地面，不可以选择正三角形于正八边形；故（3）正确；
等边三角形和线段都是旋转对称图形；故（4）正确；
综上：正确的有2个；
故选B．
【点睛】本题考查一元一次方程去分母，等腰三角形的定义，正多边形和旋转对称图形．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
8．C
【分析】过作轴于点C，由旋转的性质可得，，进而求解．
【详解】解：过作轴于点C，

由旋转可得，轴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴点坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题的关键是掌握求点的坐标的常用方法．
9．B
【分析】根据旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质判断即可．
【详解】解：①，
，
由旋转的性质可知，，
，故本选项结论错误，不符合题意；
②当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意；
③由旋转的性质可知，，，
，，
，
，本选项结论正确，符合题意；
④只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是旋转变换，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键．
10．直升机螺旋桨的转动
【分析】根据旋转和平移的定义可得答案．
【详解】解：冰壶滑行到终点属于旋转加平移；直升机螺旋桨的转动属于旋转；气球冉冉升起属于平移；钢架雪车加速前进属于平移，
故答案为：直升机螺旋桨的转动．
【点睛】本题考查了生活中常见的旋转和平移现象，熟知旋转和平移的定义是解题的关键．
11．/度
【分析】对应线段构成的即为旋转角度．
【详解】解：由旋转角度的定义可知：
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转角度的定义．掌握相关定义是解题关键．
12．①③④
【分析】根据旋转的性质即可判断结论①是否正确；可证得，据此可判断结论②是否正确；根据，，即可判断结论③是否正确；可证得，据此可判断结论④是否正确．
【详解】①根据旋转的性质可知，结论①正确．
②根据旋转的性质可知，，
∴．
∴．
∴不平分．
结论②错误．
③根据旋转的性质可知，，
又，，
∴．
结论③正确．
④根据旋转的性质可知，，
根据②的证明过程可知，
∴．
∴．
结论④正确．
综上所述，结论①③④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查图形的旋转和平行线的判定，牢记图形旋转的性质和平行线的判定方法是解题的关键．
13．16
【分析】延长AT交BC于点P，利用三角形的面积公式求出AP，求出BE，CD，DE，可得结论．
【详解】解：延长AT交BC于点P，
∵AP⊥BC，
∴ BC AP=12，
∴×6×AP=12，
∴AP=4（cm），
由题意，AT=PT=2（cm），
∴BE=CD=PT=2（cm），
∵DE=BC=6cm，
∴长方形BCDE的周长为6+6+2+2=16（cm）．
故答案为：16．
【点睛】本题考查图形的拼剪，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
14．
【分析】首先根据平移的性质得出的坐标，再根据旋转的性质画出图，由图即可得出答案．
【详解】解：根据题意画出图如图所示：
，
由图可得：点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、平移的性质、旋转的性质，熟练掌握平移的性质、旋转的性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
15．
【分析】先进行把绕点逆时针旋转，，绕点逆时针旋转，根据性质可以得出，继而利用勾股定理可得，利用面积即可求解．
【详解】如图，绕点逆时针旋转，点与对应，点与对应，绕点逆时针旋转，点与对应，点与对应

∵，，，
∴旋转后与重合，与重合，
∴，，
∵，，
∴，
∴点，，三点共线，，
∴，
∴，，，
∴
∴，，
在，由勾股定理得：，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了旋转及勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质与勾股定理得应用．
16．(1)A；130
(2)，
【分析】（1）由“逆时针旋转一定角度后与重合”可得旋转中心点，求出即可得旋转角；
（2）根据旋转的性质即可求解．
【详解】（1）解：，
即，
逆时针旋转一定角度后与重合，
∴旋转中心为点A，旋转的度数为130；
故答案为：A；130
（2）解：逆时针旋转一定角度后与重合，
，，，
，
∵点C恰好成为AD的中点，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的相关知识点．熟记相关结论进行几何推理是解题关键．
17．（1）①见解析，②见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据对称的性质画出点G，根据对称的性质和全等三角形的性质可求证BE＝EF.（2）将△ACF绕C点逆时针旋转至AC与BC重合，根据全等三角形的性质可求证PB+AF＝PF.
【详解】解：（1）①如解图（1）：G为点A关于直线CF的对称点；
②连接FG、CG、EG，
∵G为点A关于直线CF的对称点；
∴△ACF≌△GCF，
∴AC＝CG，∠ACF＝∠GCF，∠FGC＝∠A．
又∵AC＝BC，
∴CG＝CB，
∵∠ACB＝120°，∠ECF＝60°，
∴∠ECG＝60°﹣∠GCF＝60°﹣∠ACF，∠BCE＝60°﹣∠ACF，
∴∠ECG＝∠ECB，
在△GCE和△BCE中
∴△GCE≌△BCE（SAS），
∴EG＝BE，∠B＝∠EGC，
∵∠ACB＝120°，
∴∠A+∠B＝60°，
∴∠EGC+∠FGC＝60°，
又∵AF＝EF＝FG，
∴△FEG为等边三角形，
∴EF＝EG＝BE，即BE＝EF．
（2）证明：由AC＝BC，∠ACB＝120°，故可将△ACF绕C点逆时针旋转120°到△BCF′位置，如解图2，
∵△ACF≌△BCF′，
∴∠A＝∠CBA＝∠CBF′＝30°，AF＝BF’，∠ACF＝∠BCF′
又∵∠FBP＝120°，
∴∠FBP+∠ABC+∠CBF′＝180°，
∴B、P、F′在同一直线上，
又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCF′+∠BCE＝60°，即∠PCF’＝60°．
在△CFP和△CF′P中，
，
∴△CFP≌△CF′P（SAS）
∴FP＝F′P，
∵PB+BF′＝BP+AF，
∴PB+AF＝PF
【点睛】本题综合考查图形对称、图形旋转和全等三角形的性质和判定.
18．(1)，
(2)，，理由见解析
【分析】（1）延长交于点，先证明为等腰直角三角形，再证明，问题随之得解；
（2）延长交于点，同（1），先证明为等腰直角三角形，再证明，问题随之得解．
【详解】（1）解：如下图，延长交于点，

，，
为等腰直角三角形，
，
是的中线，
，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：，；
（2）解：，，理由如下：
延长交于点E，

，，
为等腰直角三角形，
，
，
根据旋转可知，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解相关知识，作出辅助线，构建三角形是解答关键．
19．（l）见解析；（2）①见解析；②平移方向为由到的方向，平移距离是个单位长度
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到；
（2）①利用点平移的规律写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
②根据平移的规律解答即可.
【详解】解：（l）如图所示．
（2）①如图所示：
②连接，．
平移方向为由到的方向，平移距离是个单位长度．
【点睛】本题考查了作图-平移及旋转：根据平移和旋转的性质，找到对应点，顺次连接得出平移和旋转后的图形．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由点的坐标可知平移方式为向右平移3个单位长度，再向上平移一个单位长度，由此可作图；
（2）根据旋转可进行作图．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．

（2）解：如图所示，即为所求．
【点睛】本题主要考查图形与坐标、平移及旋转，熟练掌握图形与坐标是解题的关键．
21．点的坐标为
【分析】过点作于，过点作于，根据点的坐标求出、，再利用勾股定理列式计算求出，根据等腰三角形三线合一的性质求出，根据旋转的性质可得，然后运用三角形面积以及勾股定理求出，再求出，然后写出点的坐标即可．
【详解】解：如图，
过点作于C，过点作于D，
∵，
∴，，
由勾股定理得，，
∵为等腰三角形，是底边，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化 旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
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