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九年级数学上册 23.2.1 中心对称 导学案
【知识清单】
中心对称：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
知识要点：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的)
【典型例题】
考点1：中心对称
例1．下列图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形定义把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；可分析出答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念，熟记中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合是解题的关键．
考点2：画已知图形关于某点对称的图形
例2．如图由个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，是与网格线的交点，将绕着点顺时针旋转．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（ ）

嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上；
淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形
A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对
【答案】C
【分析】画出旋转后的图形，根据图形解答．
【详解】如图，取格点，连接，，取格点E，F．
∵，
∴，
∴，
∴点A关于点O的对称点与点C重合，点C关于点O的对称点与点A重合．
同理可证：点B与点关于点O对称，
∴旋转后的三角形的三个顶点均在格点上，
故嘉嘉说法正确；
由中心对称的性质得，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴旋转前后两个三角形可形成平行四边形，
故淇淇说法正确．
故选C．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，中心对称的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
考点3：画两个图形的对称中心
例3．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）
点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】如图，连接，，根据交点的位置可得答案．
【详解】解：如图，连接，，
根据交点的位置可得：对称中心为，
故选C
【点睛】本题考查的是确定中心对称的对称中心，掌握中心对称的性质是解本题的关键．
考点4：根据中心对称的性质求面积、长度、角度
例4．如图， 与 关于点 成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）

A．点与点是对称点 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称的性质判断即可．
【详解】解：与关于点成中心对称，
点与是一组对称点，，，，
，都不合题意；
∴，
∴
∴，
C不符合题意；
与不是对应角，
不成立，
D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．对于以下说法，其中正确的有（ ）
①对角线相互垂直的四边形是菱形；②成中心对称的两个图形是全等形；③平行四边形的对称中心是对角线的交点；④正方形的对角线平分一组对角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（ ）
A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点
5．如图，在平面直角坐标系中，画关于点O成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，若与关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为，，，则对称中心E点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（ ）

A． B．
C． D．
8．如图，与关于O成中心对称，下列不成立的是（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题
9．如图所示，与关于O成中心对称，那么 ， ， ，点A、O与 三点在同一直线上， 三点在同一直线上， 三点在同一直线上．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是 ．
11．关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过 ．
12．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，，则 ， ．

三、解答题
13．在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都为，与构成的图形是中心对称图形．

(1)画出此中心对称图形的对称中心；
(2)画出将沿直线方向向上平移格得到的；
(3)以点为旋转中心将顺时针方向旋转度得到，画出．
14．正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中作出绕点逆时针旋转的，再作出关于原点成中心对称的．

15．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．

(1)把向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的；
(2)把绕原点O旋转180°后得到对应的，请画出旋转后的；
(3)观察图形可知，与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标．
16．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点分别为，，．

(1)画，使它与关于点C成中心对称，则的坐标为______；
(2)平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的，则的坐标为______；
(3)若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为______．
17．如图，直线：与y轴交于点A，与直线：交于点B，直线与y轴交于点C，点在射线上，过点P作直线轴，垂足为E，直线交直线于点Q．

(1)求点B的坐标及线段的长；
(2)当点P在线段的延长线上，且线段与关于点B成中心对称时，求点P 的坐标；
(3)当时，求m的取值范围．
参考答案
1．B
【分析】设，再根据中点的坐标特点求出x、y的值，找出循环的规律即可得出点的坐标．
【详解】解：设，
点、、，点关于的对称点为，
，，
解得，，
．
同理可得，，，，，，，，
每个操作循环一次．
∵，
点的坐标与相同．
故选：B．
【点睛】本题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键．
2．C
【分析】①根据菱形判定方法做出判断；②根据成中心对称定义做出判断；③根据平行四边形性质判断；④根据正方形性质做出判断．
【详解】解：①应为对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故①错误；②成中心对称的两个图形是全等形正确；③平行四边形的对称中心是对角线的交点正确；④正方形的对角线平分一组对角正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形判定方法、成中心对称定义、平行四边形性质及正方形性质，熟记相关概念及判定、性质是解题关键．
3．D
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
4．D
【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点．
【详解】解：如图对称中心是PQ的中点，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键．
5．B
【分析】分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标，由此即可得．
【详解】解：由图可知，，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标为，即为，
的中点坐标均为，
与的对称中心是，
故选：B．
【点睛】本题考查了求对称中心，正确找出两个三角形旋转后的对应点是解题关键．
6．A
【分析】连接对应点AA1、CC1，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心E点，在坐标系内确定出其坐标．
【详解】解：如图，连接AA1、CC1，则交点就是对称中心E点．
∴E（3， 1）．
故选：A．
【点睛】此题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．确定E点位置是解决问题的关键．
7．A
【分析】依据与关于点成中心对称，即可得到，进而得到正确结论．
【详解】解：∵与关于点成中心对称，
∴，故选项B不符合题意；
∴，，故选项C不符合题意；
∴，
∴，故选项D不符合题意；
而和不是对应边，不一定相等，故选项A符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查中心对称，关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．掌握中心对称的概念和性质是解题的关键．也考查了全等三角形的性质．
8．C
【分析】根据中心对称的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵与关于O成中心对称，
∴，，，
故A，B，D正确，不符合题意．
∵和不是对应边，
∴不一定相等，故C错误，符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题关键．
9．
【分析】根据成中心对称图形的性质：对应点到对称中心的距离相等，对应点与对称中心在同一条直线上，进行作答即可．
【详解】解：与关于O成中心对称，那么，
点A、O与三点在同一直线上；
B、、O三点在同一直线上；
C、、O三点在同一直线上；
故答案为：．
【点睛】本题考查成中心对称图形的性质．熟练掌握成中心对称图形的性质，是解题的关键．
10．（0，0）
【分析】画出图形，探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：如图，由题意，，，，
发现3次一个循环，
∵，
∴的坐标与的坐标相同，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查图形规律及画中心对称图形，解题的关键是根据题意提取出图形规律．
11．对称中心
【分析】根据中心对称图形的性质可进行求解．
【详解】解：由中心对称图形的性质可知：关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过对称中心；
故答案为对称中心．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
12． 1 /30度
【分析】根据中心对称图形的性质即可得到答案．
【详解】解：根据中心对称图形的性质得，，
∴，．
故答案为：①1，②．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，掌握关于中心对称的两个图形是全等形是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接两对对应点，交点即为对称中心；
（2）将的各个顶点按平移条件找出它的对应点、、，顺次连接、、，即得到平移后的图形；
（3）观察一对对应点的位置关系即可求出答案．
【详解】（1）解：对称中心点，如图所示，

（2）如图所示；

（3）如图所示．

【点睛】本题考查旋转变作图，平移作图，解题的关键是掌握中心对称图形和平移、旋转的性质．
14．见详解
【分析】将的顶点绕点逆时针旋转得到点，顺次连接即可；再根据中心对称的特征，得出的各顶点关于原点成中心对称的点，连接各点即可．
【详解】解：如下图，、即为所求．

【点睛】本题主要考查了作旋转变换图形和中心对称图形，理解并掌握旋转图形和中心对称图形的特征是解题关键．
195．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)
【分析】（1）根据平移的性质，确定的位置，连线即可得到；
（2）根据旋转的性质，确定的位置，连线即可得到；
（3）根据成中心对称的性质，连接，两条线段的交点即为对称中心．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）如图所示，即为所求；
（3）由图可知，对称中心的坐标为：．
【点睛】本题考查坐标与平移，坐标与旋转．熟练掌握平移的性质，成中心对称的性质，是解题的关键．
16．(1)画图见解析，
(2)画图见解析，
(3)
【分析】（1）直接利用关于点对称的性质得出的对应点进而求出即可；
（2）利用平移的性质得出平移规律进而得出答案；
（3）利用旋转对称图形得出对应点的连线的交点进而得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求，此时坐标为；
（2）如图所示：即为所求，此时坐标为；

（3）将绕某点旋转可得到，则旋转中心的坐标为：．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及图形的平移等知识，根据题意得出对应点坐标是解题关键．
17．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据直线上点的坐标特征求得A、C的坐标，即可求得，解析式联立，解方程组即可求得B点的坐标；
（2）根据题意得出，即可得到，解得m的值，即可求得P的坐标；
（3）根据，借助图象即可得到当时，则，解得；当时，则，解得．
【详解】（1）在直线中，令，则，
∴，
在直线中，令，则，
∴，
∴，
解得，，
∴；
（2）设，则，
∵线段与关于点B成中心对称　
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）设，则，
由题意可知，，
当时，则，
解得；
当时，则，
解得，
综上，m的取值范围是或．

【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，中心对称的性质，根据题意表示出点的坐标是解题的关键．
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