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九年级数学上册 23.2.2 中心对称图形 导学案
【知识清单】
中心对称图形：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
知识要点：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
【典型例题】
考点1：中心对称图形的识别
例．1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称的定义，即可．
【详解】A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是掌握中心对称的定义，学会识别中心对称图形．
考点2：判断中心对称图形的对称中心
例2．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是（ ）

A．点G B．点H C．点I D．点J
【答案】C
【分析】关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题．
【详解】解：

∵与关于某点成中心对称，
∴对应点B和E的连线与对应点C和F的连线的交点I是对称中心．
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质．
考点3：在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形
例3．围棋起源于我国，古时称“弈”，传为帝尧所作，春秋战国时期即有记载．当白棋落在图中哪个位置时，由棋子摆成的图案（不考虑颜色）为中心对称图形（ ）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】由图可知，当白棋落在①或④位置时，由棋子摆成的图案是轴对称图形；当白棋落在②位置时，由棋子摆成的图案是中心对称图形；当白棋落在③位置时，由棋子摆成的图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
考点4：中心对称图形规律问题
例4．下列图案不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：A．由中心对称图形的定义可得，该选项图案是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．由中心对称图形的定义可得，该选项图案不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．由中心对称图形的定义可得，该选项图案是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．由中心对称图形的定义可得，该选项图案是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在三张透明纸上，分别有、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有（ ）
①图1，的角平分线
②图2，过点P垂直于直线l的垂线
③图3，点M与点N的对称中心
A．① B．①② C．②③ D．①②③
3．如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（ ）．
A．A和H B．I和E C．E和F D．E和I
4．如图，老师让同学们利用棋子在棋盘上拼出一个中心对称图形（颜色忽略），为了增加难度，加入了方向角，则下一个棋子应该放在中心点的（ ）

A．西北方向的处 B．西南方向的处 C．东南方向的处 D．西南方向的处
5．如图，将①②③④中的一块涂成阴影后能与图中原有阴影部分组成中心对称图形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．已知点与点关于对称，则？指的是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．2
7．下列说法正确的是（ ）
A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小
B．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
C．在平面直角坐标系中，一点向右平移a个单位长度，则该点的纵坐标加a
D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行
二、填空题
8．平行四边形 （是/不是）中心对称图形．
9．已知与关于某点中心对称，若对称点，C的坐标分别是，，则对称中心的坐标是 ．
10．在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是 ．
11．如图，矩形的面积为，对角线交于点O，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形……依此类推，则平行四边形的面积为 ．

三、解答题
12．如图，方格纸中四边形的四个顶点均在格点上，将四边形向右平移5格得到四边形．再将四边形，绕点A逆时针旋转，得到四边形．

(1)在方格纸中画出四边形和四边形．
(2)四边形与四边形，是否成中心对称？若成中心对称，请画出对称中心；若不成中心对称，请说明理由．
13．下面是由半径相同的圆组成的花瓣，观察图形，回答下列问题：

(1)是轴对称图形的有 　 　，是中心对称图形的有 　 　（分别用图形的代码填空）．
(2)若“花瓣”在圆中是均匀分布的，试根据（1）小题的结果总结“花瓣”的个数与花瓣图形的对称性（轴对称或中心对称）之间的规律．
14．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，是斜边长为2的等腰直角三角形．

(1)以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到．请画出，并写出点，的坐标；
(2)点B和点可以看做是关于y轴上某个点中心对称吗？如果可以，请直接写出对称中心的坐标；如果不可以，请简要说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，．

解答下列问题：
(1)与关于点成中心对称，请画出（点的对应点分别为点）；
(2)将先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请画出（点的对应点分别为点）；
(3)格点满足射线平分，则点的坐标为______．
16．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．

(1)在图中作出关于轴对称的图形；
(2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______；
(3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）
参考答案
1．D
【分析】根据中心对称和轴对称的概念得出结论即可．
【详解】解：该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项不符合题意；
该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项不符合题意；
该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项不符合题意；
该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确记忆轴对称图形是沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，中心对称图形是绕某点，旋转后与自身重合的图形是解题关键．
2．D
【分析】由角平分线所在的直线是这个角的对称轴可判断①；根据垂直的性质可判断②；根据成中心对称的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分可判断③．
【详解】①经过点O进行折叠，使与重合，折痕纪委角平分线，故①能通过折叠透明纸实现；
②经过点P折叠，使折痕两边的直线l重合，折痕即为过点P垂直于直线l的垂线，故②能通过折叠透明纸实现；
③经过点N，M折叠，展开，展开，然后再折叠使点N，M重合，两次折痕的交点即为点N，M的对称中心，故③能通过折叠透明纸实现．
故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的对称性，垂线的性质，中心对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
3．D
【分析】由中心对称的特征可知点E是对称中心，点A的对称点是是点I．
【详解】解：如图，连接对应点可知，点E是对称中心，点A的对称点是是点I．
故选D．
【点睛】本题实际考查了中心对称的性质，关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，由此可以得出对称中心A的位置．
4．D
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、B、C均无法找到一个点，使其绕着某个点旋转能与原来的图形重合，
D能找到一个点，使其绕着某个点旋转能与原来的图形重合，此时红点即对称点：

故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对应点．
5．C
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合中心对称图形的概念进行求解．
【详解】解：由图可得，应该将③涂成阴影，可与图中原有阴影部分组成中心对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6．C
【分析】根据中心对称的性质：对称中心是对称点连线的中点即可得到答案；
【详解】解：∵点与点关于对称，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称的性质，解题的关键是对称中心是对称点连线的中点．
7．B
【分析】分别利用图形平移以及旋转的性质，中心对称图形的性质，分别判断即可．
【详解】A.平移不改变图形的形状和大小，旋转也不改变图形的形状和大小，故此选项错误；
B.在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，此选项正确；
C.在平面直角坐标系中，一点向右平移a个单位长度，则该点的横坐标加a，故此选项错误；
D.在平移过程中，对应角相等，对应线段相等且平行，在旋转过程中，对应线段有可能不平行，故此选项错误．
故选：B
【点睛】此题主要考查了图形几何变换的类型，利用平移的性质分析是解题的关键．
8．是
【分析】根据中心对称图形的定义即将图形绕某点旋转后与原图形完全重合，判断即可．
【详解】平行四边形是中心对称图形，
故答案为：是．
【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键．
9．
【分析】根据中心对称的性质，对应点连线的中点即为对称中心，据此求解．
【详解】解：∵对称点，C的坐标分别是，，
∴对称中心的坐标是，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化中心对称，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
10．③
【分析】根据中心对称图形的性质判断即可．
【详解】解：选择标有序号③的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，
故答案为：③．
【点睛】本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是利用中心对称图形的性质，属于中考常考题型．
11．
【分析】根据矩形的性质求出的面积等于矩形的面积的，求出的面积，再分别求出、、、的面积，即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等．
12．(1)见解析
(2)四边形与四边形成中心对称，对称中心为点
【分析】（1）按照要求先作出各个点的对应点，再顺次相连即可作出要求图形；
（2）根据中心对称的的概念，即可解答．
【详解】（1）如图所示，即为所求，
（2）四边形与四边形成中心对称，对称中心为点．

【点睛】本题考查了平移作图和旋转变换作图，中心对称的概念，再作图时正确作出对应点，是解题的关键．
13．(1)①②③④⑤，①③⑤
(2)见解析
【分析】（1）中心对称图形：图形绕某一点旋后与原来的图形重合；轴对称图形：沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合；
（2）花瓣个数的奇偶性影响了图形的对称性．
【详解】（1）解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知：
是轴对称图形的有①②③④⑤，是中心对称图形的有①③⑤．
故答案为：①②③④⑤；①③⑤．
（2）解：规律：当“花瓣”是偶数个，既是中心对称图形，也是轴对称图形；
若花瓣是奇数个，则是轴对称图形．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．掌握相关定义是解题关键．
14．(1)见解析，，
(2)可以，
【分析】（1）找到旋转后的对应点，再依次连接，再根据等腰直角三角形的性质求出相应长度，可得坐标；
（2）根据B和点的坐标和中心对称的性质求出中点，即可判断结果．
【详解】（1）解：如图，即为所求；其中，
过作轴，垂足为C，
由旋转可知是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；

（2）∵，，
∴，
又，
则，即，
∴点B和点可以看做是关于y轴上某个点中心对称，对称中心是．
【点睛】本题考查了旋转作图，找对称中心，等腰直角三角形的性质，解题的关键是能正确画出旋转后的图形．
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据网格线的特点及中心对称的性质作图；
（2）根据网格线的特点及平移的性质作图；
（3）根据正方形的性质求解．
【详解】（1）解：即为所求；
；
（2）解：即为所求；
；
（3）解：格点如图所示，点的坐标为，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图-旋转和平移，掌握网格线的特点、中心对称的性质及平移的性质是解题的关键．
16．(1)作图见解析
(2)
(3)作图见解析，
【分析】（1）由题意确定点，，的位置，再连线即可；
（2）根据中心对称的性质求解即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接，交轴的交点即为所求的点．
【详解】（1）解：如图所示：

即为所求；
（2）解： 由与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点，
，，
点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：如图所示：

点即为所求，．
【点睛】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的性质是解答本题的关键．
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