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九年级数学上册 23.2.3 关于原点对称的点的坐标 导学案
【知识清单】
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反
在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤
1）确定关键点(通常为图形顶点等特殊点)的坐标；
2）写出关键点关于原点对称的点坐标；
3）在直角坐标系中标出对称点的坐标；
4）顺次连接对称点，所作的图形为所求图形.
【典型例题】
考点1：求关于原点对称的点的坐标
例．1．如果点关于原点对称的点在第四象限，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】首先根据题意判断出点在第二象限，再根据第二象限内点的坐标特点即可得到答案．
【详解】解：∵关于原点对称的点在第四象限，
∴点在第二象限，
∴，．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，以及各象限内点的坐标符号，关键是判断出点所在象限．
考点2：已知两点关于原点对称求参数
例2．已知点和点关于原点对称，则等于（ ）
A．7 B． C．1 D．
例2．B
【分析】根据点的坐标关于原点对称可进行求解．
【详解】解：由点和点关于原点对称，可知：，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键．
考点3：判断两个点是否关于原点对称
例3．在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、B两点关于（ ）
A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称
【答案】C
【分析】根据两点对应的坐标互为相反数可知两点关于原点对称，从而问题求解．
【详解】解：∵A、B两点的横坐标与纵坐标分别互为相反数，
∴A、B两点关于原点对称；
故选：C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的两点的坐标特征，掌握这一特征是解题的关键．
考点4：说出一个图形到另一个图形的运动过程
例4．下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平移、旋转的性质，结合图形，对选项进行一一分析，再解答．
【详解】解：A、不能通过平移得到，故本选项错误；
B、是平移变换，不能通过旋转得到，故本选项错误；
C、既符合平移变化，又能旋转得到，故本选项正确；
D、是旋转变化，但不能通过平移得到，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查平移和旋转的性质，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．
考点5：按图形的变换要求画出另一个图形
例5．在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（ ）

B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用关于原点对称点的性质，得出符合题意的图形．
【详解】解：把各点的横坐标、纵坐标都乘以，
所得到的图形与原图形关于原点对称，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确得出图形的位置关系是解题关键．
【巩固提升】
选择题
1．点关于原点对称的点B的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，已知，，，将 先向左平移个单位，再绕原点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是( )

A． B． C． D．
3．已知点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且与第二象限内的点Q关于原点对称，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为（　　）
A．8 B． C．32 D．
5．直线经过点和，则直线（ ）
A．平行于轴 B．平行于轴 C．经过原点 D．无法确定
6．在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
7．直线l1：y＝﹣x＋1与直线l2关于点（1，0）成中心对称，下列说法不正确的是（　　）
A．将l1向下平移1个单位得到l2
B．将l1向左平移1个单位得到l2
C．将l1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到l2
D．将l1向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到l2
8．在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1，C2的交点共有
A．1个 B．1个或2个
C．1个或2个或3个 D．1个或2个或3个或4个
二、填空题
9．已知点M的坐标为，则M关于原点对称的点的坐标为 ．
10．在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则 ．
11．在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则的值是 ．
12．对于平面图形上的任意两点，，如果经过某种变换（如：平移、旋转、轴对称等）得到新图形上的对应点，，保持，我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”．对于三种变换：
①平移、②旋转、③轴对称，
其中一定是“同步变换”的有 （填序号）．
三、解答题
13．如图：在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．

(1)画出向下平移4个单位的图形；
(2)画出将绕点O逆时针方向旋转180°后的图形，并写出此时、、的坐标．
14．已知点与点关于原点对称，求点M、N两点的坐标．
15．已知：点与点关于原点对称．
(1)分别求a，b的值；
(2)求点A关于x轴的对称点的坐标；
(3)求点B关于y轴的对称点的坐标．
16．如下图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观查点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下：
（1）分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标．
（2）从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来．
（3）根据你发现的特征，解答下列问题：若△ABC内有一个点M（2a+5，1-3b）经过变换后，在△PRQ内的坐标称为N（-3-a，-b+3），求关于x的不等式的解集．
17．如图，将AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？
18．按要求画图
(1)将三角形向上平移3格，得到三角形；
(2)将三角形绕点A旋转180度，得到三角形；
(3)如果三角形沿直线m翻折，点B落到点处，画出直线m，及翻折后的三角形．
参考答案
1．A
【分析】根据关于原点对称点的特点进行解答即可．
【详解】解：∵点与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点的横、纵坐标互为相反数．
2．C
【分析】先根据平移的性质求出平移后点的坐标，再利用旋转的性质求出点关于原点对称的点的坐标即可．
【详解】解：，
将先向左平移个单位后点坐标为，
点关于原点对称的点，
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键是掌握绕原点旋转180°的图形的坐标特点，即对应点的横纵坐标都互为相反数．
3．A
【分析】根据点P与第二象限内的点Q关于原点对称，得到点在第四象限，再根据点到坐标轴的距离，即可得解．
【详解】解：∵点P与第二象限内的点Q关于原点对称，
∴点在第四象限，
∵点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，
∴，，
∴点P的坐标为；
故选A．
【点睛】本题考查已知点到坐标轴的距离求点的坐标．解题的关键是掌握关于原点对称的点的横纵坐标均为相反数，以及点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值．
4．B
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，求出a，b的值，进而可得出结论．
【详解】解：∵点关于原点的对称点为，
，，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键．
5．C
【分析】根据两坐标点的特征，得出两点的横纵坐标都互为相反数，得出两点关于原点对称，故直线经过原点．
【详解】解：直线上的点和的横纵坐标都互为相反数，
这两点关于原点对称，
则直线经过原点，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质的知识，观察两点得出两点关于原点对称，是解答本题的关键．
6．C
【分析】根据这两点的坐标特点，即可判定．
【详解】解：点和点的横纵坐标都互为相反数，
A、两点关于原点对称，
故选：C．
【点睛】本题考查了关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键．
7．B
【分析】设直线l2的点（x，y），则（2﹣x，﹣y）在直线l1：y＝﹣x＋1上，代入可得直线l2解析式，根据直线l1与直线l2的解析式即可判断．
【详解】解：设直线l2的点（x，y），则（2﹣x，﹣y）在直线l1：y＝﹣x＋1上，
∴﹣y＝﹣（2﹣x）＋1，
∴直线l2的解析式为：y＝﹣x，
A、将l1向下平移1个单位得到y＝﹣x，故此选项正确；
B、将l1向左平移1个单位得到y＝﹣x＋，故此选项错误；
C、将l1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到y＝﹣x，故此选项正确；
D、将l1向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到y＝﹣x，故此选项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，求得直线l2的解析式是关键．
8．C
【详解】试题分析：根据关于原点对称的关系，可得C2，根据直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点，可得答案．
试题解析：函数y=x2-2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，C2图象是y=-x2-2x，
a非常小时，直线y=a（a为常数）与C1没有交点，与C2有一个交点，所以直线y=a（a为常数）与C1、C2有一个交点；
直线y=a经过C1的顶点时，与C2有一个交点，共有两个交点；
直线y=a（a为常数）与C1有两个交点时，直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有3个交点；
故选C．
考点：二次函数图象与几何变换．
9．
【分析】运用点的坐标关于原点对称的坐标的关系，求出答案．
【详解】点的坐标关于原点对称的坐标为，
点M的坐标是关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】此题考查的知识点为：点的坐标关于原点对称的性质；准确掌握关于原点对称的点的坐标关系是解答此题的关键．
10．1
【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵点和点关于原点对称，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点，熟知关于原点对称的点横纵坐标互为相反数是解题的关键．
11．0
【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A与交点B关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案．
【详解】由一次函数与反比例函数的图象和性质可知，其交点，两点关于原点对称，
∴，
故答案为：0．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象的交点，理解正比例函数、反比例函数图象的对称性是正确解题的关键．
12．①
【分析】根据平移变换、旋转变换和轴对称变换的性质，依据“同步变换”的定义判断可得．
【详解】平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的所有点平移的方向和距离都相等，
故平移变换一定是“同步变换”；
若将线段PQ绕点P旋转，则PP′=0，而QQ′≠0，故旋转变换不一定是“同步变换”；
将相对于直线倾斜的线段PQ经过该直线的轴对称变换，所得PP′≠QQ′，故轴对称变换不一定是“同步变换”，
故答案是：①．
【点睛】考查几何变换的类型，熟练掌握平移变换、旋转变换和轴对称变换的性质是解题的关键．
13．(1)图见解析
(2)图见解析，
【分析】（1）根据平移规则，确定的位置，再进行连线即可得到；
（2）根据成中心对称的性质，画出，进而写出、、的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）如图，，即为所求；
由图可知：．
【点睛】本题考查坐标与平移，坐标与旋转．熟练掌握平移的性质，成中心对称的性质，是解题的关键．
14．点，点
【分析】根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列式求解即可．
【详解】解：∵与点关于原点对称，
∴， 解得，
∴点，点．
【点睛】本题考查已知关于原点对称的两点，求参数．熟练掌握关于原点对称的点的特征，是解题的关键．
15．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据关于原点对称点的坐标特征，得到关于a，b的方程，解之即可；
（2）根据a，b的值得到点A坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征求解；
（3）根据关于y轴对称点的坐标特征求解．
【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称，
∴，
解得：；
（2）∵，
∴，
∴点A关于x轴的对称点的坐标为；
（3）∵，
∴点B关于y轴的对称点的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化，解题的关键是掌握关于原点和坐标轴对称点的坐标特征．
16．（1）A(4，3)，P(-4，-3)；B(3，1)，Q(-3，-1)；C(1，2)，R(-1，-2)；（2）ABC与PQR关于原点对称；（3），具体过程见解析．
【分析】（1）根据图像与坐标轴之间的位置关系，将各个点的坐标写出来；
（2）根据（1）中写出的各点的坐标，发现点A、P，点B、Q，点C、R的横纵坐标互为相反数，所以可推推得ABC与PQR关于原点对称；
（3）根据（2）所得出的原点对称的结论，即点M、N的横纵坐标互为相反数，可以得出a、b的值，再代入不等式可解得最后的答案．
【详解】解：（1）根据图像与坐标轴之间的位置关系，得出：点A的坐标为(4，3)，点P的坐标为(-4，-3)；点B的坐标为(3，1)，点Q的坐标为(-3，-1)；点C的坐标为(1，2)，点R的坐标为(-1，-2)．
（2）根据（1）中写出的各点的坐标，发现点A、P，点B、Q，点C、R的横纵坐标互为相反数，所以ABC与PQR关于原点对称．
（3）∵由（2）可知ABC与PQR关于原点对称，
∴点M、N也是关于原点对称的，
∴点M、N的横纵坐标互为相反数，可得：，
解得：a=-2，b=1，将a、b的值代入关于x的不等式：，
解得：．
【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标表示形式、判断两点是否关于原点对称、解一元一次不等式，解题的关键在于判断两点之间的对称方式：若两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标值互为相反数；若两点关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标值互为相反数；若两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数．
17．图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的
【分析】把A（2，2），B（4，0）的纵坐标，横坐标分别乘-1得A′（-2，-2），B′（-4，0），可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的．
【详解】解：把A（2，2），B（4，0）的纵坐标，横坐标分别乘-1得A′（-2，-2），B′（-4，0），在平面直角坐标系中画出图形，如图所示：
所得的三角形和原三角形大小和形状不变，△A′OB′可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的．
【点睛】本题考查了坐标与图形变换的知识，体现了数形结合的数学思想．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据网格结构找出平移后的点的位置，然后顺次连接即可；
（2）三角形绕点A旋转180度，找出的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据图形确定出变换即可．
【详解】（1）如图所示
（2）如图所示
（3）如图所示
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，解题的关键是掌握作平移、轴对称和中心对称的图形的方法．
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