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3.2.1函数的最值
班级 姓名
学习目标
理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.
会求一些简单函数的最大(小)值
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材,完成右边的内容 函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有f(x) Mf(x) M x0∈I，使得 结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的 【即时训练1】(1)设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　)A．有最大值B．有最小值C．既有最大值又有最小值D．既无最大值又无最小值(2)如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则它的最大值是________，最小值是________．
利用函数图形求函数的最值 【即时训练2】画出函数在下列区间上的的图象，并完成填空求出该函数对应区间的最值。(1)当，的最大值___________， 最小值___________； (2)当，的最大值___________， 最小值___________； (3)当，的最大值___________， 最小值___________； 【即时训练3】(1)函数f(x)＝的最大值是________．(2)已知函数,函数最大值是__________，最小值是________；(3)已知函数，函数最大值是___________，最小值是________.
利用函数的单调性求函数的最值 【即时训练4】(1)函数f(x)＝－2x在区间[1，2]上的最小值是(　　)A．－ B． C．1 D．－1(2)函数f(x)＝2x＋(　　)A．有最小值2，无最大值 B．有最大值2，无最小值C．有最小值，有最大值2 D．无最大值，也无最小值
分段函数的单调性与最值 【即时训练5】已知函数f(x)＝(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
思考题含参问题 1．若函数f(x)＝－x2＋2x在定义域[0，m]上的值域为[0，1]，则(　　)A．1≤m≤2 B．m>1 C．m＝2 D．1课后作业
一、基础训练题
1．函数y＝－x2＋2x在[1,2]上的最大值为(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．不存在
2．函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　)
A．2 B. C. D．－
3．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元
4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)
A． B．－ C．－2 D．2
6．函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上的最大值为________．
7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
8．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最大值为________；最小值为________．
9．已知函数f(x)＝，求f(x)的最大、最小值．
10．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
二、综合训练题
11．已知函数f(x)＝，下列结论正确的是(　　)
A．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，＋∞)
B．单调减区间是[1，＋∞)
C．定义域、值域分别是[－1，3]，[0，2]
D．单调减区间是(－∞，1]
12．(多选题)已知函数f(x)＝x，g(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝＋g(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．函数y＝－g(x)在(0，＋∞)上单调递减
C．函数y＝f(x)＋g(x)的最小值为0
D．函数y＝f(x)－g(x)的最小值为－
能力提升题
13．(多选题)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])，下列结论正确的是(　　)
A． x∈[－2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3
B． x∈[－2,2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<－3
C． x∈[0,3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3
D． x∈[－2,2]， t∈[0,3]，f(x)＝g(t)
3.2.1函数的最值
参考答案
【答案】A
【解析】因为函数y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.对称轴为x＝1，开口向下，
故在[1,2]上为单调递减函数，所以ymax＝－1＋2＝1.
【答案】B
【解析】函数y＝在[2,3]上为减函数，∴ymin＝＝.
3、【答案】C
【解析】设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，
∴公司获得利润L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.
∴当x＝9或10时，L最大为120万元，故选C.
4、【答案】C
【解析】f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a.
∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2，
∴f(x)在[0,1]上单调递增．
又∵f(x)min＝－2，
∴f(0)＝－2，即a＝－2.
f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
5、【答案】A　
【解析】∵f(x)＝－x＋在上单调递减，∴f(x)最大值＝f(－2)＝2－＝.
6、【答案】－4　
【解析】∵y＝在区间[2,4]上单调递减，y＝－3x在区间[2,4]上单调递减，
∴函数f(x)＝－3x在区间[2,4]上单调递减，∴f(x)最大值＝f(2)＝－3×2＝－4.]
7、【答案】(1,3]
【解析】由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，
又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，
∴18、【答案】　
【解析】∵f(x)＝＝＝1－，
∴函数f(x)在[2, 4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝＝，
f(x)max＝f(4)＝＝.
9、解：方法一：数形结合，画出函数的图像，由图像得出函数最大值和最小值；（略）
方法二：利用分段函数单调性的求法如下：
当－≤x≤1时，由f(x)＝x2，得f(x)最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0；
当1＜x≤2时，由f(x)＝，得f(2)≤f(x)＜f(1)，
即≤f(x)＜1.
综上f(x)max＝1，f(x)min＝0.
10、解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为＝12.
所以这时租出了88辆车．
(2)设每辆车的月租金为x元．则租赁公司的月收益为
f(x)＝(100－)(x－150)－×50，
整理得f(x)＝－＋162x－21000＝－(x－4050)2＋307050.
所以，当x＝4050时， f (x)最大，最大值为f(4050)＝307050.即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大．最大月收益为307050元．
11、【答案】C
【解析】要使函数f(x)＝有意义，则有－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，
所以函数f(x)＝的定义域为[－1，3].
因为－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4∈[0，4]，所以f(x)∈[0，2].
因为y＝－x2＋2x＋3的对称轴为x＝1，
所以f(x)的单调减区间是[1，3].
12、答案：BCD
解析：对于A：函数y＝＋g(x)＝＋，当x＝时，y＝2＋，当x＝1时，y＝2，所以函数y＝＋g(x)在(0，＋∞)上不单调递增，A错误．
对于B：函数y＝－g(x)＝－，因为函数y＝和函数y＝－在(0，＋∞)上单调递减，所以y＝－g(x)在(0，＋∞)上单调递减，B正确．
对于C：因为函数y＝f(x)＋g(x)＝x＋在[0，＋∞)上单调递增，且当x＝0时，y＝0，所以y＝f(x)＋g(x)的最小值为0，C正确．
对于D：函数y＝f(x)－g(x)＝x－＝(－)2－，
当＝时，函数y＝f(x)－g(x)取最小值，且最小值为－，D正确．
13、【答案】AC　
【解析】在A中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，
所以当x＝2时，函数的最小值为－3，因此a<－3，A正确；
在B中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，
所以当x＝－2时，函数的最大值为5，因此a<5，B错误；
在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，所以当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，
当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数的值域为[－1,3]，
由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；
在D中， x∈[－2,2]， t∈[0,3]，f(x)＝g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，
而f(x)的值域是[－3,5]，g(t)的值域是[－1,3]，D错误．
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