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2023-2024 学年九年级上学期数学第一单元测试卷
总分：120分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定成立的是（　　）
A．∠BAD = 60° B．AC = BD C．AB = BC D．OA = 2OD
2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对边相等
C．对角相等 D．对角线互相垂直平分
3．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC长为（　　）
A． B． C．5 D．4
4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若OE = 3，则BC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线平分对角
C．对角线互相平分 D．对角相等
6．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH。若BC = EF = 2，CD = CE = 1，则GH=（　　）
A．1 B． C． D．
7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，点F分别是BC，AB上的点，连接DE，DF，EF，满足∠DEF=∠DEC，若AF=1，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
（第7题图） （第8题图） （第9题图）
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°且BA = 6，AC = 8，点D是边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　）
A．5 B．3.6 C．2．4 D．4.8
9．如图，在平行四边形ABCD中，AD = 2，AB = 2，∠ABC = 60°，E、F是对角线BD上的动点，且BE = DF，M、N分别是边AD，边BC上的动点，下列四种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．关于 ABCD的叙述，正确的是（　　）
A．若AC = BD，则 ABCD是菱形
B．若AB = AD，则 ABCD是矩形
C．若AB⊥BC，则 ABCD是正方形
D．若AC⊥BD，则 ABCD是菱形
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
11．如图，在Rt△ABC中，斜边AB上的中线CD = 5，则AB = ________。
12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边中点，GH垂直平分DE且分别交AB、DE于点G、H，则AG的长为________。
13．如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，若AB = 1，则CE + CG的值为________。
14．如图，在正方形ABCD中，点F在边CD的延长线上，点E是边BC上的一点，且BE = DF，连接EF交边AD于点G，过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N，若BE = 5，CN = 8，则线段AN的长为________。
15．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若AO = 5，则BD = ________。
16．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB = 60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GD的长等于________。
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为CD边中点，OE = 2，则菱形ABCD的周长为________。
18．如图，在正方形ABCD中，AD = 10，点E在BC边上（不与端点重合），BF⊥AE于点F，连接DF，当△ADF是等腰三角形时，EC的长等于________。
19．如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，F为边BC延长线上一点，且AE = CF，点G为边BC上一点，且∠BGE = 2∠BFE，△BEG的周长为8，AE = 1，DG与EF交于点H，连接CH，则CH的长为________。
20．如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形等边三角形ABE、CE与DB相交于点F，则∠AFD = ________度。
三、解答题：本大题共6小题，每小题10分，共60分。
21．如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE // AB，DF // AC。
（1）求证四边形AFDE是菱形；
（2）若∠BAC = 90°，且AD = 2，求四边形AFDE的面积。
22．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE // AC，CE // BD。
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若OD = 20，∠DOC = 60°，求四边形OCED的面积。
23．如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD = 30°，BD = 6。求：
（1）∠BAD的度数和AB、AC的长；
（2）DH⊥BC，求DH的长。
24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，BE // AC，AE // BD，OE与AB交于点F。
（1）求证：四边形AEBO 的为矩形；
（2）若OE = 10，AC = 16，求菱形ABCD的面积。
25．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2。
（1）若CE = 1，求BC的长；
（2）求证：AM = DF + ME。
26．如图，矩形ABCD中，AD=6，DC =8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2。
（1）若DG = 6，求AE的长；
（2）若DG = 2，求证：四边形EFGH是正方形。
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参考答案与解析
一、单项选择题
1．C
2．A
3．A
4．D
5．B
6．C
7．B
8．D
9．C
10．D
二、填空题
11．8
12．0.5
【解析】连接DG、EG，DG=EG，再由勾股定理，AG2 + AD2 = (4-AG)2 + BE2
13．
【解析】如图，过点E做 EM⊥BC，EN⊥CD
可证：△EMF≌△END
∴ ED = EF = DG
由此可证：△ADE≌△CDG
∴ CE + CG = CE + AE =AC
14．4
15．10
16．
【解析】如图，过点F作FH // CD，连接DB，先证明FH是△CDE的中位线，得FH=1，再证明△AEG≌△FHG（AAS），得GH=GE，求出DE的长
17．16
18．5
19．
20．60
三、解答题
21．
（1）证明：∵ DE // AB，DF // AC
∴ 四边形AFDE是平行四边形
∵ AD平分∠BAC
∴ ∠FAD = ∠EAD
∵ DE // AB
∴ ∠EDA = ∠FAD
∴ ∠EDA = ∠EAD
∴ AE = DE
∴ 平行四边形AFDE是菱形
（2）4
（解析：先证明四边形AFDE是正方形，再根据AD求出正方形边长，最后求面积即可）
22．
（1）略
（解析：根据矩形性质得出OC=OD，再根据菱形判定定理得出即可）
（2）200
23．
（1）解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∠ACD=∠ACB，∠BAD=∠BCD，AB=AD，OB=OD，OA=OC
∵ ∠ACD = 30°
∴ ∠BAD = ∠BCD = 2 × 30° = 60°
∵ AB = AD
∴ △ABD是等边三角形
∵ BD = 6
∴ AB = BD = 6
∵ OB = 3，∠AOB = 90°
根据勾股定理，得：AO = = =
∴ AC = 2AO =
（2）解：∵ ∠BCD = 60°，BC = CD
∴ △BCD是等边三角形
又∵ DH ⊥ BC
∴ BH = HC = BC = 3
∴ DH = = =
24．
（1）证明：∵ BE // AC，AE // BD
∴ 四边形AEBO是平行四边形
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴ AC ⊥ BD
∴ ∠AOB = 90°
∴ 四边形AEBO是矩形
（2）96
（解析：有勾股定理和菱形面积公式解答即可）
25．
（1）解：∵ 四边形ABCD是菱形
∴ AB // CD
∴ ∠1 = ∠ACD
∵ ∠1 = ∠2
∴ ∠ACD = ∠2
∴ MC = MD
∵ ME ⊥ CD
∴ CD = 2CE
∴ BC = CD = 2
（2）略
（解析：如图，延长AB交DF与点G，由AM=MG，ME=MF，只需再证明DF=GF即可）
26．
（1）解：∵AD = 6, AH = 2
∴ DH = AD - AH = 4
∵∠A = ∠D = 90°
∴ 在Rt△AEH中，HG2 = DH2 + DG2
在Rt△AEH中，HE2 = AH2 + AE2
∵ 四边形EFGH是菱形
∴ HG = HE
∴ DH2 + DG2 = AH2 + AE2
42 + 62 = 22 + AE2
∴ AE = 4根号3
（2）证明：∵ AH = DG = 2
又∵ 四边形EFGH是菱形
∴ HG = HE，
在Rt△DHG和Rt△AEH中，
HG = EH
DG = AH
∴ Rt△DHG ≌ Rt△AEH（HL）
∴ ∠DHG = ∠AEH
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90°
∴ ∠DHG + ∠AHE = 90°
∴ ∠GHE = 90°
∵四边形EFGH是菱形
∴四边形EFGH是正方形
（2）略
（解析：先用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到∠DHG=∠AEH，因为∠AEH+∠AHE=90°，∠DHG+∠AHE=90°，可得菱形的一个角为90°，进而判定该菱形为正方形。）
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