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方法技巧专题1 数列求和问题 解析版
一、数列求和的常用方法知识框架
二、数列求和方法
【一】公式求和法
1.例题
【例1】求1＋2＋22＋…＋2n的和.
【解析】这是一个首项为1，公比为2的等比数列前n＋1项的和，
所以1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.（这里容易弄错项数）
【例2】已知等比数列{an}中，a3＝4，S3＝12，求数列{an}的通项公式.
【解析】当q＝1时，a3＝4，a1＝a2＝a3＝4，S3＝a1＋a2＋a3＝12，
所以q＝1符合题意，an＝4.
当q≠1时，解得q＝－，an＝a3qn－3＝n－5.
故数列通项公式为an＝4或an＝n－5.
【注意：上述解法中忽视了等比数列前n项和公式中q＝1这一特殊情况.】
【例3】在公差为的等差数列{}中，已知＝10，且，2＋2，5成等比数列．
(1)求，；
(2)若<0，求||＋||＋||＋…＋||.
【解析】(1)由题意得·5＝(2＋2)，
即 所以或.
所以或.
(2)设数列{}的前n项和为.因为<0，由(1)得＝－1，，则
当≤11时，||＋||＋||＋…＋||＝.
当≥12时，||＋||＋||＋…＋||＝＝.
综上所述，||＋||＋||＋…＋||
2.巩固提升综合练习
【练习1】在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（　　）
A． B． C． D．
【解析】，所以，故选B.
【练习2】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
【解析】(1)设的公差为d，由题意得由 得，
所以的通项公式为；
(2)由(1)得，
所以当时，取得最小值，最小值为－16.
【练习3】在平面直角坐标系中，已知，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的坐标；
【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可求的值.
（2）利用等差数列和等比数列的前项和公式可求的坐标.
【解析】（1），因为，故，故.
（2）
，所以.
【练习4】公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的前10项和
【解析】因为，又成等比数列，所以，且，解得：，所以；
因为，所以递减，且，
所以时，；所以
.
【二】分组求和法
1.例题
【例1】求和：1＋2＋3＋…＋.
【解析】1＋2＋3＋…＋＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
＝＋＝＋1－.
【例2】求数列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn.(其中a≠0，n∈N*)
【解析】当a＝1时，an＝n，于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
当a≠1时，an＝＝(1－an).
∴Sn＝[n－(a＋a2＋…＋an)]＝＝－.
∴Sn＝
【例3】 求和
【解析】，
所以=略
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2，a3＋a4＝32.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝a＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】　(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
则an＝a1qn－1，且an>0，
由已知得
化简得即
又∵a1>0，q>0，∴a1＝1，q＝2，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝a＋log2an ＝4n－1＋n－1，
∴Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n－1)
＝＋＝＋.
【练习2】已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为等比数列，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）∵数列是等差数列,满足，，
∴公差.∴数列的通项公式为.
因为，，∴，
又因为数列是公比为等比数列，∴. ∴.
（2）.
【三】奇偶并项求和法
1.例题
【例1】求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.
【解析】12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)
＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5 050.
【例2】已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝6，S4＝30，n∈N*，数列{bn}满足
bn·bn＋1＝an，b1＝1.
(1)求an，bn；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意可得a1＋a1q＝6，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝30，解得a1＝q＝2(负值舍去)，可得an＝a1qn－1＝2n，由bn·bn＋1＝an＝2n，b1＝1，可得b2＝2，即有bn＋1·bn＋2＝an＋1＝2n＋1，可得＝2，可得数列{bn}中奇数项、偶数项分别为公比为2的等比数列，
即有
(2)当n为偶数时，前n项和为Tn＝(1＋2＋…＋)＋(2＋4＋…＋)
＝＝3·()n－3；
当n为奇数时，前n项和为Tn＝Tn－1＋＝3·()n-1－3＋＝()n+3－3.
综上可得，Tn＝
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知为数列的前项和，且满足，，则_____．
【解析】由知，当时，．
所以，所以数列所有的奇数项构成以3为公比的等比数列，
所有的偶数项也构成以3为公比的等比数列．
又因为，所以，，．
所以．
【练习2】已知函数，且，则__________．
【答案】
【解析】当为奇数时，
.
当为偶数时，
.
所以
【四】倒序相加法求和
1.例题
【例1】求和
【解析】设 ①
②
①+②得，所以
【例2】设， .
【解析】由于，
故原式.
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则（ ）
A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
【解析】∵正数数列是公比不等于1的等比数列，且
∴，即.
∵函数，∴
令，则
∴
∴， 故选C.
【练习2】已知函数，若 ，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题知
令
又
于是有
因此
所以
当且仅当时取等号。本题正确选项：
【五】错位相减求和
1.例题
【例1】求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，n∈N*.
【解析】设Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
则2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，
∴－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1＝(1－n)×2n＋1－2，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
【例2】在数列，中，，，.等差数列的前两项依次为，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【解析】
（1）∵，∴，，则的公差为
故的通项公式为.
（2），①
，②
①②得.
又，从而是首项为2，公比为2的等比数列，
故.
，
，
，
即，即.
2.巩固提升综合练习
【练习1】求和：
【解析】当时，
当时，
当且时， ①
②
①－②得
所以
【练习2】已知数列{an}满足an≠0，a1＝，an－an＋1＝2anan＋1，n∈N+.
(1)求证：是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】　(1)由已知可得，－＝2，
∴是首项为3，公差为2的等差数列，
∴＝3＋2(n－1)＝2n＋1，∴an＝.
(2)由(1)知bn＝(2n＋1)2n，
∴Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)2n－1＋(2n＋1)2n……①
2Tn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)2n＋(2n＋1)·2n＋1……②
①－②得，－Tn＝6＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)2n＋1＝6＋－(2n＋1)2n＋1
＝－2－(2n－1)2n＋1，
∴Tn＝2＋(2n－1)2n＋1.
【练习3】已知等比数列的前项和为，若，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
当 时，不成立，当 时， ，两式相除得 ，解得： ， 即 ， ， ，
，
两式相减得到： ，
所以 ，故选D.
【练习4】已知数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)若,求的前项和.
【解析】（1）数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，
，解得，或（舍，．
（2），
，①
，②
①②，得
，．
【六】裂项求和
1.例题
【例1】已知等差数列为递增数列，且满足,．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，为数列的前n项和，求．
【解析】（1）由题意知
，或
为递增数列，，故数列的通项公式为
（2）
.
【例2】求和：＋＋＋…＋，n≥2，n∈N*.
【解析】　∵＝＝，
∴原式＝＝
＝－(n≥2，n∈N*).
【例3】已知数列的前项和满足，且.
（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.
【解析】（1） 当时，，[]
又，所以，
当时，，
所以，
可得，所以为等差数列.
又，得，又，所以.
（2）
，
所以.
要使，即，
解得，所以.
【例4】已知数列的通项公式为，求它的前n项和。
解：设则
所以，，解得，
所以
2.巩固提升综合练习
【练习1】设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，.若，，成等比数列.
（I）求及；
（Ⅱ）设， 求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）由题意，得，即，，解得，
所以，；
（Ⅱ）因为，
所以.
【练习2】在数列{an}中，已知a1＝1＋，且，n∈N*.
(1)记bn＝(an－1)2，n∈N*，证明数列{bn}是等差数列；
(2)设{bn}的前n项和为Sn，证明.
【解析】证明：(1)，
因为bn＋1－bn＝＝2，所以数列{bn}是以3为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋2)，所以
所以
.
【练习3】已知数列的首项，前项和为，且
（Ⅰ）设，证明数列是等比数列；
（Ⅱ）设，求的前项和的取值范围.
【解析】（Ⅰ）由知：当时
两式相减得：
又 ，
故
是公比为，首项为的等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
由 得：
是单调递增的，故 的取值范围是
【练习4】已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【解析】（1）解：∵，∴时，.又时，满足上式，
∴，∵，，∴，，
又∵，，解得，，∴，.
（2）∵，
∴
【七】其他方法
1.例题
【例1】已知数列满足对时，，其对，有，则数列的前50项的和为__________．
【答案】
【解析】数列{an}满足对1≤n≤3时，an=n，且对 n∈N*，有an+3+an+1=an+2+an，
可得a1=1，a2=2，a3=3，a4=1+3﹣2=2，
a5=2+2﹣3=1，a6=2，a7=3，a8=2，a9=1，a10=2，…，
则数列{an}为周期为4的数列，且以1，2，3，2反复出现，可得数列{n an}的前50项的和为
（1+5+…+49）+2（2+6+…+50）+3（3+7+…+47）+2（4+8+…+48）
=×（1+49）×13+2××（2+50）×13+3×（3+47）×12+2×（4+48）×12=2525．
故答案为：2525．
【例2】数列的首项为1，其余各项为1或2，且在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则__________．（用数字作答）
【答案】3993
【解析】第个1为数列第项，
当时；当时；
所以前2019项有45个1和个2，
因此
【例3】若数列满足， ，数列的通项公式 ，则数列的前10项和___________
【答案】
【解析】由，当n=1，代入得-4,依次得发现规律， 利用，得b=- ， ，求出.
故答案为：
【例4】等差数列中，，.若记表示不超过的最大整数，（如）.令，则数列的前2000项和为__________．
【答案】5445.
【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a4=12，S7=49．
∴2a1+5d=12，d=49，解得a1=1，d=2．
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．bn=[lgan]=[lg（2n﹣1）]，
n=1，2，3，4，5时，bn=0．
6≤n≤50时，bn=1；
51≤n≤500时，bn=2；
501≤n≤2000时，bn=3．
∴数列{bn}的前2000项和=45+450×2+1500×3=5445．
故答案为：5445.
【例5】“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若则__________．(用M表示)
【答案】
【解析】由“斐波那契”数列可知
。
所以 ，[
所以
三、课后自我检测
1．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为 ( )
A． B． C． D．
【解析】
[由在上为奇函数，知，令，则，得到．由此能够求出数列{的通项公式]
由题已知是上的奇函数
故，
代入得：
∴函数关于点对称，，令，则，得到．
∵，
倒序相加可得，即 ，故选：B．
2．设f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x＋ln，记an＝f(n－5)，则数列{an}的前8项和为________．
【答案】－16
【解析】数列{an}的前8项和为
f(－4)＋f(－3)＋…＋f(3)＝f(－4)＋(f(－3)＋f(3))＋(f(－2)＋f(2))＋(f(－1)＋f(1))＋f(0)＝f(－4)＝－f(4)＝－＝－16.
3．.求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1).
【解析】当n为奇数时，
Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)
＝2·＋(－2n＋1)＝－n.
当n为偶数时，
Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n＋3)＋(2n－1)]＝2·＝n.
∴Sn＝(－1)nn (n∈N*).
4．已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
（1）求的通项公式；
（2）求和：．
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d.
因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n 1.
（2）设等比数列的公比为q.
因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.
所以.
从而.
5．等差数列的前项和为，已知，公差为大于0的整数，当且仅当=4时，取得最小值.
（1）求公差及数列的通项公式；
（2）求数列的前20项和.
（1）设的公差为，则由题可知：.
，即.
解得.
因为为整数，=2
所以数列的通项公式为
（2）当时，；当时，
=272
6．已知数列满足：，，.
（1）求、、；
（2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；
（3）求和.
【解析】（1）， ，
可得；
，；
（2）证明：
，
可得数列为公比为，首项为等比数列，即；
（3）由（2）可得，
．
7．已知数列是首项为，公差为的等差数列.
（1）若，，，数列的前项积记为，且，求的值；
（2）若，且恒成立，求的通项公式.
【解析】（1）设的前项和为，则，
∴，令；
（2）当时，，∴或（舍）.
当时，，解得或.
若，当时，，解得或（舍去）.此时不成等差数列，故舍去.
当时，依题意可知：数列是等差数列，故，
∴；
8．已知数列有，是它的前项和，且．
（1）求证：数列为等差数列.
（2）求的前项和.
【解析】（1）当时，
所以，，
两式对应相减得，
所以
又n=2时，
所以，所以，
所以数列为等差数列.
（2）当为偶数时，
当为奇数时，
综上：
9．已知数列满足,.
（1）证明:数列为等比数列;
（2）求数列的前项和.
【解析】（1） ， ，
则，又，
是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
，
故其前项和为:.
数列的前项和为:.
10．在正项等比数列{}中，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列{}满足，求数列{}的前项和．
【解析】设正项等比数列{an}的公比为(,
（1）∵∴,所以
∴q＝2，(舍去)，所以；
（2）∵，
∴，①
，②
①﹣②得＝，
∴.
11．已知正项数列其前n项和满足，且是和的等比中项.
（1）求证：数列为等差数列，并计算数列的通项公式；
（2）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记 ，求.
【分析】
（1）由得，从而得到，由此利用是和的等比中项，能求出数列的通项公式（2）由，令，得到，由此利用错位相减法能求出.
【解析】
（1）∵正项数列，前n项和Sn满足，①
，②
由①-②，得，
整理，得，
∵是正数数列，，
∴是公差为4的等差数列，
由得或，
当 时，，不满足是和的等比中项，
当时，，满足是和的等比中项，
.
（2），
由符号[x]表示不超过实数x的最大整数，知当时，，
令，
，
，③
，④
③-④，得，
，
.
12．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和公式．
【解析】（1）公差d不为0的等差数列的前n项和为，
，可得，
且，，成等比数列，可得，即，
解得，，
则；
，
，
则数列的前n项和为
．
13．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2(t∈R)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列的前n项和Tn.
【解析】　(1)因为a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2，
所以(t＋1)S1＝a＋3a1＋2，所以t＝5.
所以6Sn＝a＋3an＋2. (ⅰ)
当n≥2时，有6Sn－1＝a＋3an－1＋2，(ⅱ)
①－②得6an＝a＋3an－a－3an－1，所以(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0，
因为an>0，所以an－an－1＝3，
又因为a1＝1，所以{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，
所以an＝3n－2(n∈N+)．
(2)因为bn＋1－bn＝an＋1，b1＝1，所以bn－bn－1＝an(n≥2，n∈N+)，
所以当n≥2时，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝an＋an－1＋…＋a2＋b1＝.
又b1＝1也适合上式，所以bn＝(n∈N+)．
所以＝＝·＝·，
所以Tn＝·＝·＝.
14．已知数列与的前项和分别为和，且对任意恒成立．
（1）若，求；
（2）若对任意，都有及成立，求正实数的取值范围．
【分析】（1）根据可得．再由，利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．
（2）对任意，，
∴．．即，．
∴数列是等比数列，公比为2．∴．
又．利用成立，及其数列的单调性即可得出．
【解析】（1），∴时，．
时，．时适合上式．
．
，，又．
数列是等差数列，首项为2，公差为1．
．
（2）对任意，都有，．
．，．
数列是等比数列，公比为2．
．
又．
成立，
，
对任意，都成立，∴，正实数的取值范围是．
15．已知数列的首项，其前和为，且满足.
（1）用表示的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）当时，证明：对任意，都有.
【分析】
（1）令即可求解；
（2）当时，通过作差法可求得，再书写一项，通过两式作差可得，分类讨论的奇偶，即可求解；
（3）可结合放缩法公式，，分别对化简后的表达式
进行放缩，
再结合裂项公式，的特点即可进一步求解
【解析】（1）由条件得，.
（2）法一：由条件得，
两式相减得，故，
两式再相减得，
构成以为首项，公差为的等差数列；
构成以为首项，公差为的等差数列；
由（1）得；
由条件得，得，从而，
法二：
设，即
则有
时，，即
（3）证明：当时，且，由（2）可知
①当时，
②当时，，
.
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