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方法技巧专题3 空间几何体外接球和内切球 解析版
一、 空间几何外接球和内切球知识框架
二、求外接球半径常用方法
【一】高过外心
1.例题
【例1】已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA＝AB＝2，
∴连结AC，BD，交于点O，连结PO，
则PO⊥面ABCD，OA＝OB＝OC＝OD，
OP，∴O是球心，球O的半径r，
∴球O的表面积为S＝4πr2＝8π．故选：C．
2.巩固提升综合练习
【练习1】在三棱锥中..，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，由余弦定理可求得，
再由正弦定理可求得的外接圆的半径，
因为，所以P在底面上的射影为的外心D，且，
设其外接球的半径为，则有，解得，
所以其表面积为，故选B.
【二】高不过外心
1.例题
【例1】（1）长方体的8个顶点在同一个球面上，且，，，则球的表面积为______．
（2）已知正三棱柱的底面边长为3，外接球表面积为，则正三棱柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
（3）已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，面，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1） （2）D （3）A
【解析】（1）因为长方体的8个顶点在同一个球面上，
所以球的直径等于长方体的对角线长，
设球的半径为，因为，，，
所以，球的表面积为，故答案.
（2）正三棱柱的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为：外接球表面积为
外接球的球心在上下两个底面的外心MN的连线的中点上，记为O点，如图所示
在三角形中，
解得 故棱柱的体积为： 故答案为：D.
（3）取中点，连接
且 四边形为平行四边形
，又
为四边形的外接圆圆心
设为外接球的球心，由球的性质可知平面
作，垂足为 四边形为矩形，
设，
则，解得：
球的体积：本题正确选项：
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，则三棱柱外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，
球的球心为，因为三棱柱的侧棱与底面垂直，
所以球的球心为的中点，且直线与上、下底面垂直，且，，所以在中，
，即球的半径为，所以球的体积为，故选D。
【练习2】四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【解析】
连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA,
OE⊥底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，
可得，可得，解得PA=1,故选C.
【练习3】四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面，底面为梯形，，且，则此球的表面积等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
由已知可得，底面四边形为等腰梯形，
设底面外接圆的圆心为，连接，则，
，又，设四棱锥外接球的球心为，
则，即四棱锥外接球的半径为．
此球的表面积等于．故选：C．
三、常见空间几何体外接球
【一】长（正）方体外接球
1.例题
【例1】若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球的表面上，则此球的表面积为________
【解析】长方体外接球半径：，所以外接球面积：
【例2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______
【解析】设正方体棱长为，则，∴.
设球的半径为，则由题意知.故球的体积.
2.巩固提升综合练习
【练习1】如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.
【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱，如图所示：
[
其中，三角形是腰长为的直角三角形，侧面是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的半径为.∴该几何体的外接球的表面积为.故答案为.
【练习2】 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）
B． C． D．
【解析】平面截面所得圆面的半径为，直线被球截得的线段为球的截面圆的直径，为
【二】棱柱的外接球
1.例题
【例1】直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．
【解析】，，，所以底面外接圆的半径：，是直三棱柱，，所以几何体外接球半径；故该球的表面积为:
【例2】直三棱柱的所有棱长均为，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由直三棱柱的底面边长为，得底面外接圆的半径：，
又由直三棱柱的侧棱长为，则，所以外接球半径，
∴外接球的表面积．故选：C
2.巩固提升综合练习
【练习1】设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是，，，则此直三棱柱的高是________.
【解析】设边长为，则外接圆半径为，因为所以 即直三棱柱的高是.
【三】 棱锥的外接
1.例题
【例1】已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为 （ ）
A. B. C. D.
【解析】如图所示，设底面正方形的中心为，正四棱锥的外接球的球心为
底面正方形的边长为 正四棱锥的体积为
，解得
在中，由勾股定理可得：
即，解得故选
【例2】在三棱锥中， ， ， 面，且在三角形中，有，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【解析】设该三棱锥外接球的半径为.
在三角形中， ∴
∴根据正弦定理可得，即.
∵∴∵∴
∴由正弦定理， ，得三角形的外接圆的半径为.∵面
∴∴∴该三棱锥外接球的表面积为故选A.
【例3】已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在平面相互垂直，，，，则球的表面积为　　
． ． ． ．
【解析】，，，，
，
和所在平面相互垂直，
，球的表面积为．
故选：．
【例4】三棱锥的底面是等腰三角形，，侧面是等边三角形且与底面垂直，，则该三棱锥的外接球表面积为　　
A ． B ． C ． D ．
【解析】 如图， 在等腰三角形中， 由，得，
又，设为三角形外接圆的圆心，
则，．
再设交于，可得，，则．
在等边三角形中， 设其外心为，
则．
过作平面的垂线， 过作平面的垂线， 两垂线相交于，
则为该三棱锥的外接球的球心， 则半径．
该三棱锥的外接球的表面积为．
故选：．
【例5】在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，
所以，
可得，所以，
即为外接球的球心，球的半径 所以四面体的外接球的表面积为：
.故选：B
【例6】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径．若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为　
A． B． C． D．
【解析】如下图所示，
设球的半径为，由于是球的直径，则和都是直角，
由于，，所以，和是两个公共斜边的等腰直角三角形，
且的面积为，
，为的中点，则，
平面平面，平面平面，平面，所以，平面，
所以，三棱锥的体积为，
因此，球的体积为，故选：．
【例7】在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A．7π B．8π C． D．
【答案】D
【解析】如图，取BD中点H，连接AH，CH
因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形
所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°
设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F
则由AH＝2可得AEAH，EHAH
分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点
记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°
所以OE＝1，则R＝OA
则三棱锥外接球的表面积
故选：D
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知正四棱锥的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【解析】设点P在底面ABCD的投影点为,则平面ABCD,故而底面ABCD所在截面圆的半径,故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径R=,故外接球的表面积为故选C.
【练习2】如图，正三棱锥的四个顶点均在球的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为，则球的表面积是　　
A． B． C． D．
【解析】如图，设，，
，，又，，
在中，，得：，，，故选：．
【练习3】已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥
其中，且底面，
根据余弦定理可知：
可知根据正弦定理可知外接圆直径
，如图，设三棱锥外接球的半径为，球心为，过球心向作垂线，则垂足为的中点
，在中，
外接球的表面积 故选
【练习4】已知三棱锥中， 平面，且， .则该三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【解析】∵， ∴ 是以 为斜边的直角三角形
其外接圆半径 ，则三棱锥外接球即为以C为底面，以 为高的三棱柱的外接球
∴三棱锥外接球的半径满足
故三棱锥外接球的体积 故选D.
【练习5】已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【解析】由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形，侧面ABE⊥底面BCDE.
如图所示，矩形ABCD的中心为M,球心为O,F为BE中点，OG⊥AF.设OM=x,
由题得在直角△OME中，，又MF=OG=1,AF=,
，解（1）（2）得故选B.
【练习6】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【解析】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的四棱锥，其中是边长为4的正方形，平面平面．
设为的中点，为正方形的中心，为四棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心，则球心为过点且与平面垂直的直线与过且与平面垂直的直线的交点．
由于为钝角三角形，故在的外部，从而球心与点P在平面的两侧．
由题意得，
设球半径为，则,
即，解得，
∴，
∴．选D．
【练习7】已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1，将三棱锥补成一个正方体（棱长为1），则正方体外接球为正三棱锥外接球，所以球的直径为，故其表面积为．选A．
【练习8】（2020·南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A．π B．π C．π D．3π
【答案】A
【解析】取线段BC的中点D，连结AD，SD，
由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS，
由题意得BC⊥平面ADS，
分别取AD，SD的三等分点E，F，
在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，
两条直线的交点即球心O，
连结OA，则球O半径R＝|OA|，
由题意知BD，AD，DE，AE，
连结OD，在Rt△ODE中，，OEDE，
∴OA2＝OE2+AE2，
∴球O的表面积为S＝4πR2．
故选：A．
【练习9】四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：
由已知可得与为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为的中点O，
因为,且,所以,
所以,
所以四面体的外接球半径,则表面积.故答案选：C
【四】墙角型
1.例题
【例1】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．
故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径，
则：.故选：B．
【例2】已知四面体的四个面都为直角三角形，且平面，，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】且为直角三角形
又平面，平面 平面
由此可将四面体放入边长为的正方体中，如下图所示：
正方体的外接球即为该四面体的外接球
正方体外接球半径为体对角线的一半，即
球的表面积：本题正确选项：
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是　　
B． C． D．
【解析】该几何体是把正方体 截去两个四面体 与，
其外接球即为正方体 的外接球，
由．
外接球的半径．该几何体外接球的表面积是．故选：．
【练习2】在三棱锥一中，，、、两两垂直，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解析】在三棱锥一中，，、、两两垂直，
以、、为棱构造棱长为1的正方体，
则这个正方体的外接球就是三棱锥的外接球，
三棱锥的外接球的半径，
三棱锥的外接球的表面积为：．故选：．
四、空间几何内切球
1.例题
【例1】正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
【答案】，．
∴得：，
∴．∴．
【例2】若三棱锥中，，其余各棱长均为 5 ，则三棱锥内切球的表面积为　　．
【答案】
【解析】由题意可知三棱锥的四个面全等， 且每一个面的面积均为．
设三棱锥的内切球的半径为，则三棱锥的体积，
取的中点，连接，，则平面，
，，
，
，解得．
内切球的表面积为． 故答案为：．
2.巩固提升综合练习
【练习1】一个几何体的三视图如图所示， 三视图都为腰长为 2 的等腰直角三角形， 则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为　　
A ． B ． C ． D ．
【解析】 由题意可知几何体是三棱锥， 是正方体的一部分， 如图： 正方体的棱长为 2 ，
内切球的半径为，可得：，解得，
几何体的外接球的半径为：，该几何体的外接球半径与内切球半径之比为：．
故选：．
【练习2】球内切于圆柱， 则此圆柱的全面积与球表面积之比是　　
A ． B ． C ． D ．
【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，
，．此圆柱的全面积与球表面积之比是：
．故选：．
五、球与几何体各棱相切
1.例题
【例1】已知一个全面积为24的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的半径为
【解析】对于球与正方体的各棱相切，则球的直径为正方体的面对角线长，
即,
2.巩固提升综合练习
【练习1】把一个皮球放入如图 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（ ）
A.cm B. cm C. cm D. cm
【解析】
六、课后自我检测
1．已知三棱锥的各顶点都在一个球面上，球心在上，底面，球的体积与三棱锥体积之比是，，则该球的表面积等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于，且平面，所以，设球的半径为，根据题目所给体积比有，解得，故球的表面积为.
2．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据三视图可知，几何体是底面为矩形，高为的四棱锥，且侧面PAB垂直底面ABCD，如图所示：
还原长方体的长是2，宽为1，高为
设四棱锥的外接球的球心为O，则过O作OM垂直平面PAB，M为三角形PAB的外心，作ON垂直平面ABCD，则N为矩形ABCD的对角线交点，
所以外接球的半径
所以外接球的体积 故选A
3．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，
其中底面．，，．则该阳马的外接球的直径为．
该阳马的外接球的表面积为：．故选：．
4．如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，将，，分别沿，，折起，使得、、三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知△是等腰直角三角形，且平面．
三棱锥的底面扩展为边长为1的正方形，
然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，
正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：．
球的半径为，球的表面积为．故选：．
5．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积是：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三视图还原几何体如图，
可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2．[
把该三棱柱补形为正方体，则正方体对角线长为．
∴该三棱柱外接球的半径为：．则球O的表面积是：412π．故选：C．
6．已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由O为球心，OA＝OB＝OC＝R，可得O在底面ABC的射影为△ABC的外心，
AB＝6，，，可得△ABC为AC斜边的直角三角形，
O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M，可得 OM AB BCOM 124，解得OM＝2，
R2＝OM2+AM2＝4+12＝16，即R＝4，球O的体积为πR3π 64π．故选：D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，，若，则堑堵的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，在直三棱柱中，
因为，所以为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径，
又由，所以直三棱柱的外接球的直径，
所以，所以外接球的体积为，故选C.
8．一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A．6π B．12π C．32π D．48π
【答案】B
【解析】由题得几何体原图如图所示，
其中SA⊥平面ABC,BC⊥平面SAB,SA=AB=BC=2,所以AC=2,,
设SC中点为O,则在直角三角形SAC中，OA=OC=OS=,
在直角三角形SBC中，OB=,所以OA=OC=OS=OB=,
所以点O是四面体的外接球球心，且球的半径为.
所以四面体外接球的表面积为.故选：B
9．已知在三棱锥中，，，，平面平面，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意, ，是直角三角形
又平面平面，所以，三棱锥外接球半径等于的外接圆半径
,,
球的表面积为故选D。
10．已知三棱锥的体积为6，在中，，，，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理得
是直角三角形
设三棱锥的高为则三棱锥体积，解得
取边的中点为，则为外接圆圆心
连接，则平面，如下图所示：
则
则
球的表面积本题正确选项：
11．已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原题如下图所示：
由，得：
则
设外接圆圆心为，则
由正弦定理可知，外接圆半径：
设到面距离为
由为球直径可知：
则
球的半径
球的表面积
本题正确选项：
12．在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的外接球体积为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平面平面，平面平面，，平面，平面，
，所以，是边长为的等边三角形，
由正弦定理得的外接圆的直径为，
所以，该球的直径为，则，
因此，三棱锥的外接球体积为．故选：．
13．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，
所以r=R，=，
所以球与圆锥的表面积之比为故选：B．
14．体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________.
【答案】　6
【解析】　设球的半径为R，由R3＝，得R＝1，所以正三棱柱的高h＝2.
设底面边长为a，则×a＝1，所以a＝2.
所以V＝×(2)2×2＝6.
15．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，且PD＝1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为________．
【答案】(14－6)π
【解析】四棱锥P ABCD的体积为V＝PD·S正方形ABCD＝×1×22＝，
如图所示，
易证PD⊥AD，PD⊥CD，PA⊥AB，PC⊥BC，
所以，四棱锥P ABCD的表面积为S＝2××2×1＋2××2×＋22＝6＋2，
所以，四棱锥P ABCD的内切球的半径为R＝＝＝，
因此，此球的最大表面积为4πR2＝4π×2＝(14－6)π.
16．《九章算术》中将底面是直角三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱称之为“堑堵”，现有一“堑堵”型石材，其底面三边长分别为3,4,5，若此石材恰好可以加工成一个最大的球体，则其高为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
如图，是过球心且与底面平行的轴截面，设球的半径为r，由AC＝3，BC＝4，可得AB＝5，由等面积法可得：×3×4＝(3＋4＋5)r，解得r＝1.∴此石材d的高为2r＝2.故选C.
17．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)
A.4π B. C.6π D.
【答案】　B
【解析】　由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.
则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.
2r＝4＞3，不合题意.
球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.
由2R＝3，即R＝.
故球的最大体积V＝πR3＝π.
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