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方法技巧专题4 立体几何中的向量方法 解析版
线线平行 设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)， 则l∥m a∥b (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)
线面平行 设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)， 则l∥α a·u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
面面平行 设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)， 则α∥β u∥v (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)
【例1】如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．
求证：四边形AEC1F是平行四边形．
[解析]　以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F，
∴＝，＝，
∴＝，
又∵FAE，FEC1，∴AE与FC1平行且相等
∴四边形AEC1F是平行四边形．
【例2】在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．
求证：MN∥平面A1BD．
[证明]　法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝.
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD．
法二：＝－＝－＝(－)＝，∴∥，∴MN∥平面A1BD．
法三：＝－＝－＝－＝－＝－.
即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN∥平面A1BD．
【例3】在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.
[证明]　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，
则＝(0，－1,1)，＝(1,1,0)，
设平面CB1D1的法向量为m＝(x1，μ1，z1)，
则，即
令y1＝1，可得平面CB1D1的一个法向量为m＝(－1,1,1)，
又平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
所以m＝－n，所以m∥n，故平面A1BD∥平面CB1D1.
【例4】如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．，，，.
(1) 求证：；
(2) 求直线与平面所成角的正弦值；
(3) 线段上是否存在点，使平面若存在，求出；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：取AB中点O，连接EO，DO．
因为EB=EA，所以EO⊥AB．
因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD
因为EO∩OD=O
所以AB⊥平面EOD
因为ED 平面EOD
所以AB⊥ED．
（2）解：因为平面ABE⊥平面ABCD，且 EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB
所以EO⊥平面ABCD，
因为OD 平面ABCD，所以EO⊥OD．
由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．
因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．
所以，平面ABE的一个法向量为．
设直线EC与平面ABE所成的角为θ，
所以 ，
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为．
（3）解：存在点F，且时，有EC∥平面FBD．证明如下：由 ，，所以．
设平面FBD的法向量为=（a，b，c），则有
所以取a=1，得=（1，1，2）．
因为=（1，1，﹣1） （1，1，2）=0，且EC 平面FBD，所以EC∥平面FBD．
即点F满足时，有EC∥平面FBD．
【练习1】长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.
[证明]　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E，F.
∴＝，＝(－a，b，c)，
∴＝.
又FE与AC1不共线，∴直线EF∥AC1.
【练习2】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
[证明]　∵EF⊥平面AEB，AE 平面AEB，BE 平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2，2,0)，∴＝(0,2,2)，＝(2,2,0)，＝(2,0，－2)．
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1,1，－1)，
∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.
∵AB 平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
【练习3】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
设正方体的棱长为2，则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，
∴＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,1)，＝(－2，－2，2)．
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
则，即
令x＝1，则y＝1，z＝2，
∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．
若平面D1BQ∥平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量．
设Q(0,2，c)，则＝(－2,0，c)，
∴n1·＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，
这时n1·＝－2－2＋4＝0.
∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
【例1】如图，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中点，求证：.
【解析】如图，以B为原点，BA、所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则0，，2，，2，，，
，，
，
即，；
【例2】如图所示，正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD．
【证明】　法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．
因为在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．
所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．
因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.
·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.
所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD．
又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD．
法二：建系同方法一．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则，即
令x＝1得平面A1BD的一个法向量为n＝(1,2，－)，
又＝(1,2，－)，所以n＝，即∥n.
所以AB1⊥平面A1BD．
【例3】 如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
【解析】　由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，
则＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝－2,0，.
设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
则
令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)．
设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.
∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．
【例4】如图，在三棱锥中，平面，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是线段上一点．
（1）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
（2）是否存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
【解析】不妨设，在平面中作，以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．
（1）因为点是的中点，
所以点的坐标为．
所以，，．
设是平面的法向量，则即
取，则，所以平面的一个法向量为．
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
（2）假设存在点使得平面平面，设．
显然，．
设是平面的法向量，则即
取，则，，所以平面的一个法向量为．
因为，所以点的坐标为．
所以，．
设是平面的法向量，则即
取，则，所以平面的一个法向量为．
因为平面平面，所以，即，，解得．
所以的值为2，即当时，平面平面．
【练习1】如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.
【证明】　以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M.
所以＝，＝(0, ，1)，＝(，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n⊥，n⊥，
所以
取y＝1，得x＝1，z＝－.则n＝(1,1，－)．
因为＝.所以n＝－ ，得n与共线．
所以AM⊥平面BDF.
【练习2】如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD．
求证：平面DEA⊥平面ECA．
[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA＝2，
则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)．
所以＝(，1，－2)，＝(0,0,2)，＝(0,2，－1)．
分别设平面CEA与平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
则即
解得即解得
不妨取n1＝(1，－，0)，n2＝(，1,2)，
因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2.
所以平面DEA⊥平面ECA．
【例1】如图，在三棱柱OAB O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
【解析】　建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，
∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)．
∴|cos〈，〉＝＝＝.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
【例2】如图，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
【解析】　(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT 平面PAB，MN 平面PAB，
所以MN∥平面PAB．
(2)如图，取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，
且AE＝＝＝.
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.
由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，
＝(0,2，－4)，＝，＝.
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则
即
可取n＝(0,2,1)．
于是|cos〈n，〉|＝＝.
所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.
【例3】如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A PB C的余弦值.
[解析]　(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD．
因为AB∥CD，所以AB⊥PD．
又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD．
因为AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．
(2)在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点F.
由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD．
以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系F xyz.
由(1)及已知可得A，P，B，C，
所以＝，＝(，0,0)，
＝，＝(0,1,0)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则
即
所以可取n＝(0，－1，－)．
设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则
即
所以可取m＝(1,0,1)，则cos〈n，m〉＝＝＝－.
所以二面角A PB C的余弦值为－.
【例4】如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面，，为棱上一点，为的中点，四棱锥的体积为.
（1）若为棱的中点，是的中点，求证：平面平面；
（2）是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：因为、分别是、的中点，所以，
在矩形中，，所以，
又因为、分别是、的中点，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面平面.
（2）解：假设棱上存在点满足题意.
在等边三角形中，为的中点，于是，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以是四棱锥的高，
设，则，，
所以，所以，
以为坐标原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，
设，
，，
设平面的一个法向量为，有，
令，则，
易知平面的一个法向量，
所以，
因为，所以，
所以存在点，位于的靠近点的三等分点.
【练习1】已知四棱锥S ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为多少？
【解析】依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥S ABCD的棱长为，
则A(0，－1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(－1,0,0)，∴E点坐标为，
＝，＝(－1,0，－1)，cos〈，〉＝＝－，
故异面直线所成角的余弦值为.
【练习2】如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.
(1)求证：PD⊥平面PAB．
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【解析】 (1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD．所以AB⊥PD．
又因为PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB．
(2)取AD的中点O，连接PO，CO.
因为PA＝PD，所以PO⊥AD．
又因为PO 平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．
因为CO 平面ABCD，所以PO⊥CO.
因为AC＝CD，所以CO⊥AD．
如图，建立空间直角坐标系O xyz.
由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，－1,0)，P(0，0,1)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
令z＝2，则x＝1，y＝－2.
所以n＝(1，－2,2)．
又＝(1,1，－1)，所以cos〈n，〉＝＝－.
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
(3)设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0,1]使得＝λ.
因此点M(0,1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ)．
因为BM 平面PCD，所以要使BM∥平面PCD当且仅当·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.
解得λ＝.所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时＝.
【练习3】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．
(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E AG C的大小．
【解析】　(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP 平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.
又BP 平面ABP，所以BE⊥BP.
又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.
(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)，
故＝(2,0，－3)，＝(1，，0)，＝(2,0,3)．
设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，
由可得
取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－，2)．
设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量，
由可得
取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
故所求的角为60°.
【练习4】如图，在三棱锥P ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.
(1)求证：AB∥GH；
(2)求二面角D GH E的余弦值．
【解析】　(1)证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC．
又因为EF 平面PCD，DC 平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
又因为EF 平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，
所以EF∥GH.又因为EF∥AB，所以AB∥GH.
(2)在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，
所以∠ABQ＝90°.又因为PB⊥平面ABQ，
所以BA，BQ，BP两两垂直．
以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设BA＝BP＝BQ＝2，
则E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，所以＝(－1,2，－1)，＝(0,2，－1)，＝(－1，－1,2)，＝(0，－1,2)．
设平面EFQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
由m·＝0，m·＝0，
得
取y1＝1，得m＝(0,1,2)．
设平面PDC的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
由n·＝0，n·＝0，
得取z2＝1，得n＝(0,2,1)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
因为二面角D GH E为钝角，
所以二面角D GH E的余弦值为－.
【例1】　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)．
所以＝(0,1,0)，＝(－2,1,1)，＝(－1，－1,2)．
设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d，
则所以所以令z＝1，此时n＝(1,1,1)，
所以d＝＝＝，即点A到平面EFG的距离为.
【例2】在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为________.
【答案】
【解析】以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，易求平面EFD1B1的法向量n＝，又＝，∴所求距离为＝. 故答案为：
【例3】在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，
即，解得，故，
显然平面// 平面，
所以平面与平面之间的距离．
【练习1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面,，,是中点.
（I）求直线与平面所成的角的正弦值；
（II）求点到平面的距离．
【解析】因为两两互相垂直，如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，， ，，；
设平面的一个法向量，由可得：，
令，则.
(I)设所求角为，又 ，则，
(II)设点到平面距离为， 则.
【练习2】　如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求D1A1到平面EFGH的距离．
【解析】因为点E，F分别为BB1，CC1的中点，
所以EF∥B1C1∥A1D1.
又因为A1D1 平面EFGH，EF 平面EFGH，
所以A1D1∥平面EFGH，
所以D1A1到平面EFGH的距离即为点D1到平面EFGH的距离．
以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则E，F，G，D1(0,0,1)，
所以＝(－1,0,0)，＝.
设平面EFGH的法向量为n＝(x，y，z)，
则即令z＝6，可得n＝(0，－1,6)．
设D1A1到平面EFGH的距离为d，连接D1F，又＝，
所以d＝＝，即D1A1到平面EFGH的距离为.
【练习3】如图，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点，
求直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离.
【解析】因为M，R分别为AO，AD的中点，
所以MR∥OD.
在正方形ABCD中，N，R分别为BC，AD的中点，
所以NR∥CD.
又MR∩NR=R，OD∩CD=D，
所以平面MNR∥平面OCD.
又MN平面MNR，所以MN∥平面OCD.
所以直线MN与平面OCD的距离、平面MNR与平面OCD的距离都等于点N到平面OCD的距离.以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，N(2，1，0)，
所以=(0，1，0)，=(0，2， 2)，=( 2，0，0)，
设平面OCD的法向量为n=(x，y，z)，则，
令z=1，得n=(0，1，1)为平面OCD的一个法向量.
所以点N到平面OCD的距离d=|·|=，
所以直线MN与平面OCD的距离、平面MNR与平面OCD的距离都等于
1．如图，已知在四棱锥中，平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，分别是的中点．
（1）求证：//平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
【解析】（1）法一：，则//,
依题意得，//,,
所以为平行四边形，
//
又平面， 平面, ∴//平面
法二：以为原点，以分别为建立空间直角坐标系，
由 ，分别是的中点，可得：
∴，
设平面的的法向量为，
则有：
令，则，
∴，又平面 ∴//平面
（2）设平面的的法向量为，
又
则有：
令，则，
又，
∴，
∴求直线 与平面所成的角的正弦值为
（3）
∴点到平面的距离.
2．如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.
(1)求直线与平面的夹角；
(2)求点到平面的距离.
【解析】设，因为菱形和矩形所在的平面互相垂直，所以易得平面；以点为坐标原点，以为轴， 为轴，过点且平行于的方向为轴正方向，建立空间坐标系，
（1）由已知得：,,,,,
因为轴垂直于平面，
因此可令平面的一个法向量为，又,
设直线与平面的夹角为，
则有, 即，
所以直线BF与平面ABCD的夹角为.
（2）因为,,
设平面的法向量为，
，令得，
又因为,
所以点到平面的距离.
3．如图,在四棱锥S-ABCD中，平面，底面ABCD为直角梯形，,,且
（Ⅰ）求与平面所成角的正弦值.
（Ⅱ）若E为SB的中点，在平面内存在点N，使得平面，求N到直线AD,SA的距离.
【解析】（I）以点A为原点，以AD所在方向为x轴，以AS所在方向为z轴，以AB所在方向为y轴，建立空间直角坐标系，D(1,0,0),S(0,0,2),,,,
设平面的一个法向量为
则由
设与平面所成角为，
则
（II）设,S(0,0,2),B(0,2,0),E(0,1,1),
由
故N到直线AD,SA的距离分别为1,1.
4．如图：正三棱柱的底面边长为，是延长线上一点，且，二面角的大小为；
（1）求点到平面的距离；
（2）若是线段上的一点 ，且，在线段上是否存在一点，使直线平面？ 若存在，请指出这一点的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设为的中点，则，在正三棱柱中，平面,而平面，所以，而,因此平面，而平面，所以有 为二面角的平面角，如图所示：
，,
侧棱；
又 ,知
点 到平面的距离
（2）由（1）可知，，，，当时，有 成立，而 平面 ，所以 平面，故存在，当时，符合题意。
5．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点为的中点.
（1）求证： 平面；
（2）设在线段上存在点，使二面角的大小为，求此时的长及点到平面的距离.
【解析】（1）证明：连结AD1，交A1D于点O，
∵四边形ADD1A1为正方形，
∴O是AD1的中点，∵点E为AB的中点，连接OE．
∴EO为△ABD1的中位线，∴EO∥BD1，
又∵BD1不包含于平面A1DE，OE 平面A1DE，
∴BD1∥平面A1DE．
由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
B ( 1,2,0 ),E(1,1,0),
设
设平面的法向量为
则 得
令,有
而平面的一个法向量为
要使二面角的大小为
而
解得：，故=，此时
.
故点E到平面的距离为.
6．如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形， ，分别为的中点，且.
（1）证明：平面ABC；
（2）求二面角的余弦值；
【解析】（1）证明：取线段的中点，连接.
因为，，所以且 SO⊥AB，
所以平面.
（2）建立如图所示空间直角坐标系,则
,
为平面的一个法向量.
由（1）得：，.
设为平面的一个法向量，则
即
取 ，则
所以
由图可知：二面角是锐角二面角，
所以二面角的余弦值为.
7．如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为四边形为矩形，所以为的中点.连接，
在中，分别为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）易知两两垂直，如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，所以.
设平面的法向量为，
则即解得
令，得
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
，据此可得 ，
则平面的一个法向量为，
，于是.
故二面角的正弦值为.
（3）设存在点满足条件. 由，
设，整理得，
则.
因为直线与平面所成角的大小为，
所以
解得，
由知，即点与重合.
故在线段上存在一点，且.
8．如图，在四棱锥中，，，，，，点在线段上，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由．
【解析】（Ⅰ）在四边形中，，，，根据勾股定理，可求出,利用勾股定理的逆定理可知：，以为空间直角坐标系的原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
所以，因为，
所以，因此可求出坐标为,
因为,所以;
（Ⅱ）设平面的法向量为,,
，
设平面的法向量为,
，
设的夹角为，；
（Ⅲ）设存在线段上存在点，使得，
,设平面的法向量为,
,
,
因为,所以,
.
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