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第05课 根与系数的关系
知识点01 一元二次方程的根与系数的关系
方程的根与系数的关系
数学语言 设的两个根为，则
文字语言 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比
使用条件 （1）方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0；（2）方程有实数根，即△≥0
重要推论 设一元二次方程的两根为，则
常见变形 （1） （2） （3） （4） （5）
【注意】
（1）利用一元二次方程的根与系数的关系进一步讨论根的符号
设一元二次方程( a≠0)的两根为，则
两个正数根
两个负数根
两根异号且正根的绝对值较大
两根异号且负根的绝对值较大
（2）利用一元二次方程的根与系数的关系求两根的和与积的两点注意
①一元二次方程必须有两个实数根(△≥0)．
②中的负号与方程中a，b的符号不要混淆．
考法01 已知一个根，利用根与系数的关系求另一个根
【例题1】
1．已知关于的方程有一个根是，求另一个根．
【方法总结】
已知一元二次方程的一个根，求另一个根的方法
（1）方法1(利用根与系数的关系):当方程的二次项系数、一次项系数已知，常数项未知时，利用两根的和求另一个根；当方程的二次项系数、常数项已知，一次项系数未知时，利用两根的积求另一个根．
（2）方法2(利用根的定义):先把方程的已知根代入方程求出未知系数或常数项，再解方程求另一个根．
考法02 利用根与系数的关系求某些代数式的值
【例题2】
2．方程的两根为，，则= ．
巧用根与系数的关系，求特殊代数式的值
第一步：算 计算出 的值
第二步：变 将所求的代数式变形为用表示的式子
第三步：代 代入所求的代数式计算
考法03 利用根与系数的关系确定待定字母的值
【例题3】
3．关于x的一元二次方程有两个不等实根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根满足，求k的值．
【方法总结】
利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数时，千万不要忘记将系数代回验证△≥0，因为根与系数的关系是在一元二次方程中△≥0的前提下使用的．
考法04 已知两数的和与积，构造一元二次方程解决问题
【例题4】
4．已知两个数的和是8，积为15，求这两个数．
题组A 基础过关练
5．已知一元二次方程2x2+x﹣5=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（　　）
A． B．- C．- D．
6．设是一元二次方程的两根，则 ．
7．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为 ．
8．若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的两个根，则x1x2的值是 ，x1+x2的值是 ．
9．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
10．如果一元二次方程的两实数根分别为，，不解方程，求下列代数式的值．
（1）； ．
11．已知关于的方程
（1）取何值时，①方程有实数根？②方程没有实数根？
（2）若方程的两个实数根为，，且，试求的值．
题组B 能力提升练
12．设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( )
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
13．已知是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根，且，则a= .
14．一元二次方程的两根为和，则 ．
15．若m，n是方程x2＋3x﹣2＝0的根，则2m2＋8m＋2n﹣5的值是 ．
16．已知关于x的一元二次方程．
（1）请判断该方程实数根的情况；
（2）若原方程的两实数根为，，且满足，求p的值．
17．阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2＝；x1 x2＝．
应用：（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1 x2＝　 　．
（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值．
18．已知关于x的方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
19．关于的方程有两个不相等的实数根，．
求的取值范围．
若，试说明此方程有两个负根．
在的条件下，若，求的值．
20．已知x1、x2是方程x2－4x＋2＝0的两根，求：
(1)＋；
(2)(x1－x2)2的值．
题组C 培优拔尖练
21．已知实数，满足条件，，则 ．
22．已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则＝ ．
23．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．
参考答案：
1．
【分析】设方程的另一根为x1，利用根与系数的关系得到x1=，然后求x1即可；
【详解】解：设方程的另一个根是，
由一元二次方程的根与系数的关系得：，
解得；
所以方程的另一个根是－4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1 x2=．
2．．
【详解】试题分析：∵方程的两根为，，∴，，∴===．故答案为．
考点：根与系数的关系．
3．（1）k﹥；（2）k=2
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＞0，代入求得k的取值范围即可；
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到，结合k的取值范围解方程即可．
【详解】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根
∴
解得：k﹥；
故答案为：k﹥.
（2）∵k﹥，
∴＜0
又∵
∴ ，
∴,
∵,
∴2k+1=k2+1，
解得：k1=0,k2=2
又 ∵k﹥
∴k=2．
故答案为：k=2．
4．3和5
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出一元二次方程，解出方程即可．
【详解】解：根据一元二次方程的根与系数的关系，知道要求的两个数是方程的两个根，解这个方程得
所以这两个数是3和5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据关系列出一元二次方程是本题的关键．
5．D
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2，x1x2，再利用完全平方公式变形得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】根据题意得：x1+x2，x1x2，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×（．
故选D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
6．
【分析】由根与系数的关系得到两根和与两根积，代入所求的式子中即可得到结果．
【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程的两根，
∴x1+x2=2，x1x2=-1，
∴x1+x2+x1x2=2+（-1）=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，熟记一元二次方程根与系数关系的内容是解题的关键．
7．-1
【分析】先把变型为，然后利用根与系数的关系求得α+β与αβ的值，最后代入到中，即可求解．
【详解】解：根据题意，一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，
利用根与系数的关系得α+β＝3；αβ=－3，
原式==，
故答案为－1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两个根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解答本题的关键．
8． -3；
【分析】由根与系数的关系可求得（x1+x2）与x1x2的值．
【详解】∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的两个根，
∴x1x2的值是，x1+x2的值是．
故答案为：-3；．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，．
9．（1）；（2）
【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即Δ≥0求解即可；
（2）由韦达定理把x1+x2和x1x2分别用含m的式子表达出来，然后根据完全平方公式将变形，即可求解．
【详解】（1）∵方程有实数根，
∴，
∴，
解得：；
（2）∵方程两实数根分别为，，
∴，，
∵，
∴，
，
解得：，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记（1）“当△≥0时，方程有实数根”；（2）掌握根与系数的关系即韦达定理，是解题的关键．
10．(1)；(2)-1.
【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1 x2＝1．
（1）将代数式x12+x22变形为只含x1+x2、x1 x2的代数式，代入数据即可得出结论；
（2）将代数式（x1﹣2）（x2﹣2）展开后代入数据即可得出结论．
【详解】∵方程x2﹣3x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1 x2＝1．
（1）x12+x222x1 x2＝32﹣2×1＝7；
（2）（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1 x2﹣2（x1+x2）+4＝1﹣2×3+4＝﹣1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x2＝3，x1 x2＝1是解题的关键．
11．（1）①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程没有实数根；（2）．
【分析】(1)首先利用根的判别式得出关于x的方程的判别式,再根据①当△≥0,方程有实数根;②当△<0,方程没有实数根;
(2)根据根与系数的关系得到，,代入得出关于k的方程,解方程即可.
【详解】解：．
①当，时，方程有两个不相等的实数根；
②当，时，方程没有实数根；
（2）∵方程的两个实数根为，，
∴，，
依题意，得，
解得：，（不合题意，舍去），
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式△=及根与系数的关系，当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
12．C
【分析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．
【详解】解：∵a是方程x2+x-2009=0的根，
∴a2+a=2009；
由根与系数的关系得：a+b=-1，
∴a2+2a+b
=（a2+a）+（a+b）
=2009-1=2008．
故选C．
13．5
【分析】根据根与系数的关系用a表示出x1+x2和x1x2，代入已知条件可得到关于a的方程，则可求得a的值．
【详解】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝a，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣5）2﹣4a＝25﹣4a．
∵|x1﹣x2|＝，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝5，∴25﹣4a＝5，解得：a＝5．
故答案为5．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
14．2025
【分析】由题意可知-3+1=0,则=3-1,则+3+2017=3-1+3+2017=3(+)-1+2017,根据一元二次方程根与系数的关系,可得结果.
【详解】由题意-3+1=0,
则=3-1.
原式=3-1+3+2017
=3(+)-1+2017
=-1+2017
=2025
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,将转化为3-1是解决本题目的关键.
15．
【分析】根据韦达定理得到m+n=﹣=﹣3，mn==﹣2，将原式变形为2m2＋6m＋2（m＋n）﹣5，代入mn和m+n即可求解．
【详解】∵m，n是方程x2＋3x﹣2＝0的解，
∴m2＋3m＝2，m+n=﹣=﹣3，mn==﹣2
∵2m2＋8m＋2n﹣5=2m2＋6m＋2m＋2n﹣5=2（m2＋3m）＋2（m＋n）﹣5，
∴原式=2×2+2（﹣3）-5= -7，
故答案为-7．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，代数式的值等，解题的关键是要记住和会应用一元二次方程两根和与两根积与系数的关系.
16．（1）总有两个实数根；（2）p＝﹣2或4．
【分析】（1）将一元二次方程转化为一般形式，计算根的判别式，变形，判断符合即可；
（2）根据一元二次方程根与系数关系，得到两根之和，两根之积，代入，解关于p的方程即可．
【详解】（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p＝0．
∵△＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）
＝25﹣24+4p2+4p＝4p2+4p+1＝（2p+1）2
∵无论p取何值，（2p+1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
（2）由一元二次方程根与系数关系知：x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2﹣p
∵x12+x22＝3p2+5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3p2+5，
即52﹣2（6﹣p2﹣p）＝3p2+5，∴p2﹣2p﹣8 =0
解得：p＝﹣2或4．
∴p＝﹣2或4．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．熟记根的判别式符号与方程根的个数关系，根与系数关系是解题关键．
17．（1）2，1；（2）m≥﹣；（3）m的值为﹣
【分析】（1）根据韦达定理求解；
（2）根据求解；
（3）x1＝x2或x1＝﹣x2．
【详解】（1）x1+x2＝2，x1 x2＝1；
故答案为2，1；
（2）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个实数根x1、x2，
∴△＝4（m+1）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣；
（3）∵|x1|＝x2，
∴x1＝x2或x1＝﹣x2，
当x1＝x2，则△＝0，所以m＝﹣，
当x1＝﹣x2，即x1+x2＝2（m+1）＝0，
解得m＝﹣1，
而m≥﹣，∴m＝﹣1舍去．
∴m的值为﹣．
18．（1），；（2）不存在正数使方程的两个实数根的平方和等于，理由详见解析．
【分析】（1）方程有两相等的实数根，利用△=0求出m的值，化简原方程求得方程的根．
（2）利用根与系数的关系x1+x2=﹣=4m﹣8，x1x2==4m2，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，代入即可得到关于m的方程，求出m的值，再根据△来判断所求的m的值是否满足原方程．
【详解】解：（1）∵a=，b=﹣（m﹣2），c=m2，方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣2）]2﹣4××m2=﹣4m+4=0，
∴m=1．
原方程化为：x2+x+1=0，
x2+4x+4=0，
（x+2）2=0，
∴x1=x2=﹣2．
（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．理由如下：
∵x1+x2=﹣=4m﹣8，x1x2==4m2
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（4m﹣8）2﹣2×4m2
=8m2﹣64m+64
=224，
即：8m2﹣64m﹣160=0，
解得：m1=10，m2=﹣2（不合题意，舍去）．
又∵m1=10时，△=﹣4m+4=﹣36＜0，
此时方程无实数根，
∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0 方程有两个不相等的实数根；②△=0 方程有两个相等的实数根；③△＜0 方程没有实数根；△≥0时，根与系数的关系为：．
19．（1）；（2）详见解析；（3）．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△=4（k-1）2-4k2＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2（k-1），x1 x2=k2，由于k＜，k≠0，所以x1+x2=2（k-1）＜0，x1 x2=k2＞0，然后根据有理数乘法的运算性质得到x1，x2都为负数；
（3）先根据x1，x2都为负数，去绝对值得到-x1+x2=4，两边平方后变形得到（x1+x2）2-4x1x2=16，则4（k-1）2-4k2=16，然后解方程即可．
【详解】（1）根据题意得，
解得；
（2）∵，，
∴，，
∴，都为负数，即此方程有两个负根；
（3）∵，都为负数，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac以及一元二次方程的根与系数的关系，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
20．（1）2；（2）8.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1＋x2＝4，x1x2＝2，代入（1）（2）式
可得结果.
【详解】解：由题意，得x1＋x2＝4，x1x2＝2，
(1)＋＝＝＝2；
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝42－4×2＝8.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数，解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式. 易得到两根之和与两根之积的具体数值, 把所求代数式整理成与之有关的式子而求解.
21．
【分析】由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，∴a+b＝7，ab＝2，∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．
22．
【分析】根据一元二次方程根的定义得到a、b是一元二次方程的两根，得到a和b的和与积，再把两根和与两根积求出，代入所求的式子中即可求出结果．
【详解】解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b
∴a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴由韦达定理得：a+b＝3，ab＝1，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义、分式的通分，对一元二次方程根的定义的理解是解题的关键．
23．（1）；（2）15．
【分析】（1）由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式△，则可求得的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可求出、的值，进而可求出求的值
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
，
即的取值范围为：；
（2）、是一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
，，
．
【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得△．

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