资源简介

专题21　　电场力的性质
题型 选择题 命题趋势和备考策略
高考考点 库仑定律的简单应用；库仑力作用下物体的平衡；电场强度和电场线的理解及应用；电场强度的叠加与计算 【命题规律】 近3年新高考卷对于本节内容考查共计22次，主要考查： 1. 库仑定律作用下物体的平衡； 2. 等量同种、异种电荷周围的电场、电势的分布特点； 3. 电场强度的叠加与计算； 【备考策略】 根据电荷间的相互作用规律，能正确判断电场力的方向，并掌握两个电场力公式和三个电场强度公式的使用条件和求解的方法和技巧；熟练巧记电荷周围电场和电势的分布，并能判断电场和电势的高低，能将空间问题转化为平面的问题；理解电场的叠加原理，掌握电场强度的四种特殊的计算方法； 【命题预测】 电场是每年高考必考的知识点之一，本节电场力的性质即可单独命题，也可和磁场综合命题出现在各省的考试卷中。其中电场的叠加问题、等量的同种电荷和异种电荷周围的电场、电势的分布又属于近几年来的热门考点。2024年考生务必熟练掌握电荷周围的电场和电势的分布特点，学会空间问题转化为平面问题的方法和技巧。
新高考 2023 海南卷8题、湖北卷3题、浙江卷8题、山东卷11题、海南卷12题、湖南卷5题、全国乙卷24题
2022 天津卷2题、辽宁卷10题、海南卷8题、江苏卷9题、河北卷6题、湖南卷2题、山东卷3题、全国乙卷6题、浙江卷10题、浙江春招1题
2021 江苏卷10题、湖北卷8题、山东卷6题、河北卷10题、海南卷10题
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知识梳理
一、库仑定律　电荷守恒定律 2
二、电场、电场强度 2
三、电场线 3
考点突破
考点一　库仑定律的理解及应用 4
考点二 库伦力作用下的平衡问题 5
角度1：三个点电荷共线平衡 6
角度2：共点力作用下的平衡问题 8
角度3：库仑力作用下的动态平衡问题 9
考点三　电场强度的理解及叠加 11
角度1：等效法 12
角度2：对称法 14
角度3：补偿法 15
角度4：微元法 16
考点四　电场中的平衡和加速问题 19
角度1：三个点电荷共线平衡 19
角度2：共点力作用下的平衡问题 21
角度3：库仑力作用下的动态平衡问题 22
考点过关
【素质基础练】 24
【能力提高练】 31
【高考通关练】 39
一、库仑定律　电荷守恒定律
1．点电荷
有一定的电荷量，忽略形状和大小的一种理想化模型．
2．电荷守恒定律
(1)起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电．
(2)带电实质：物体带电的实质是得失电子．
(3)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变．
3．库仑定律
(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上．
(2)表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量．
(3)适用条件：①真空中；②点电荷．
[深度思考]　计算两个带电小球之间的库仑力时，公式中的r一定是指两个球心之间的距离吗？为什么？
答案　不一定．当两个小球之间的距离相对于两球的直径较小时，两球不能看做点电荷，这时公式中的r大于(带同种电荷)或小于(带异种电荷)两个球心之间的距离．
二、电场、电场强度
1．电场
(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质．
(2)基本性质：对放入其中的电荷有力的作用．
2．电场强度
(1)定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F与它的电荷量q的比值．
(2)定义式：E＝，q为试探电荷．
(3)矢量性：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向．
3．场强公式的比较
4．电场的叠加
(1)电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的矢量和．
(2)运算法则：平行四边形定则．
5．等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线分布图
连线中点O处的场强 连线上O点场强最小，指向负电荷一方 为零
连线上的场强大小(从左到右)　　　 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小
三、电场线
1．定义
为了形象地描述电场中各点场强的强弱及方向，在电场中画出一些曲线，曲线上每一点的切线方向都跟该点的场强方向一致，曲线的疏密表示电场的强弱．
2．电场线的三个特点
(1)电场线从正电荷或无限远处出发，终止于无限远或负电荷处；
(2)电场线在电场中不相交；
(3)在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏．
考点一　库仑定律的理解及应用
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
3．对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示．
(1)同种电荷：F＜k；(2)异种电荷：F＞k.
4．不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看做点电荷了．
【典例1】（2023·贵州·校考模拟预测）两个完全相同的金属小球，所带电荷量之比为，当它们相距为R（R远大于小球半径r）时，相互作用大小为F。现让两球接触一下，然后放到相距为的两点，这时两球相互作用力大小可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】ABCD．设两球的带电量大小分别为3q、5q，根据库仑定律得，相距R时的相互作用力为
若两小球带同种电荷，所以接触后再分离，两球的带电量大小各为4q，根据库仑定律得
若两小球带异种电荷，所以接触后再分离，两球的带电量大小各为q，根据库仑定律得，所以接触后两小球的相互作用力可能为或。
故选A。
1．如果接触前两金属球带同种电荷，电荷量分别为q1和q2，两球接触时，总电荷量平均分配，两球的电荷量都等于.
2．如果接触前两金属球带异种电荷，电荷量分别为q1和q2，且q1＞q2，接触时，先中和再将剩余的电荷量(q1－q2)平均分配，两球的电荷量都等于.
【变式1】（2023·上海·统考模拟预测）三个大小相同的带电导体球，带电量分别为、和，让与先接触，然后让与接触，最终所带的电荷量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】相同大小的三个带电导体球，根据电荷守恒定律得，与先接触后两球分别带电为
再让与接触，两球最后分别带电为
故选A。
【变式2】（2023·贵州·校考模拟预测）取一对用绝缘柱支撑的不带电的导体A和B，使它们彼此接触。A、B下方均连有两片金属箔片。手握绝缘棒，把带正电荷的带电体C移近导体A，下列判断正确的是（　　）
A．仅有A下方的金属箔片张开 B．仅有B下方的金属箔片张开
C．导体A和B带等量异种电荷 D．导体A带正电、导体B带负电
【答案】C
【详解】把带正电荷的带电体C移近导体A，则导体A外端由于静电感应带负电荷，导体B外端由于静电感应带正电荷，即导体A和导体B下方的金属箔片均张开，根据电荷守恒定律可知，导体A和导体B的带电量是相等的。
故选C。
考点二 库伦力作用下的平衡问题
电场力的两个表达式
表达式
适用范围 真空中的点电荷 任意电场
静电场中带电体平衡问题的解题思路
确定研究对象，如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”和“隔离法”，确定研究对象；
受力分析：分析方法和动力学的受力分析方法一致，唯一的区别是多了一个库仑力；
三个自由点电荷的平衡问题
条件：两个点电荷在第三个点电荷的合场强为零，或每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。
规律
①“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上
②“两同夹一异”——正负电荷相互间隔
③“两同夹一小”——中间电荷电荷量最小
④“远小近大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷
角度1：三个点电荷共线平衡
【典例2】（2023·重庆北碚·统考）如图所示，在光滑绝缘水平面上有三个孤立的点电荷、Q、，Q恰好静止不动，、围绕Q做匀速圆周运动，在运动过程中三个点电荷始终共线。已知、分别与Q相距、，不计点电荷间的万有引力，下列说法正确的是（ ）
A．、的电荷量之比为 B．、的电荷量之比为
C．、的质量之比为 D．、的质量之比为
【答案】C
【详解】AB．点电荷Q恰好静止不动，因此根据库仑定律，则有：
所以Q1、Q2的电荷量之比为，故AB错误；
CD．对Q1、Q2：它们间的库仑引力提供向心力，则有：，所以Q1、Q2的质量之比为 ，故C正确，D错误。
故选C。
【变式】（2023·辽宁丹东·统考模拟预测）如图所示，同一直线上的三个点电荷、、，恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知、间的距离是、间距离的2倍。下列说法错误的是（　　）
A．若、为正电荷，则为负电荷
B．若、为负电荷，则为正电荷
C．
D．
【答案】C
【详解】AB．三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，近小远大”原理，即两边的电荷电性相同和中间的电性相反，则q1、q3电性一定相同，q2电性一定与前两者相反，故AB正确，不符合题意；
CD．根据库仑定律，根据平衡，对：，解得
对于：，解得，所以，故C错误，符合题意；D正确，不符合题意。
故选C。
角度2：共点力作用下的平衡问题
【典例3】（2023·海南·统考高考真题）如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点（小球可视为点电荷），已知AP：BP = n：1，试求Q1：Q2是多少（ ）

A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1
【答案】C
【详解】对小球受力分析如图所示

由正弦定理有
其中∠CPH = ∠OPB，∠CHP = ∠HPD = ∠APO
其中△APO中，
同理有，其中，，联立有Q1：Q2= 2n3：1
故选C。
【变式】（2023·海南·统考二模）用绝缘细线a、b将两个带电小球1和2连接并悬挂，已知小球2的重力为G，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，两小球连线与水平方向夹角为30°，细线b水平，则（　　）
A．小球1带电量一定小于小球2的带电量
B．细线a拉力大小为
C．细线b拉力大小为
D．小球1与2的质量比为
【答案】B
【详解】A．由，可知，不能确定小球1与小球2的带电量，故A不符合题意；
C．对小球2，由平衡条件可得，，解得细线b拉力大小为，故C不符合题意；
BD．对小球1，由平衡条件可得，，
解得细线a拉力大小为
小球1与2的质量比为，故B符合题意，D不符合题意。
故选B。
角度3：库仑力作用下的动态平衡问题
【典例4】（多选）（2023·全国·模拟预测）如图所示，已知带电小球A、B的电荷量分别为、，A球固定，B球用长为L的绝缘丝线悬挂在O点，静止时A、B相距为d，若A球电荷量保持不变，B球缓慢漏电，不计两小球半径，则下列说法正确的是（　　）
A．丝线对B球的拉力逐渐变大
B．A球对B球的库仑力逐渐变小
C．当AB间距离减为时，B球的电荷量减小为原来的
D．当AB间距离减为时，B球的电荷量减小为原来的
【答案】BD
【详解】AB．根据题意，对B受力分析，受重力、丝线拉力和库仑力，如图所示
由相似三角形可得，
根据库仑定律可知，由于B球缓慢漏电，则F减小，由于、、均不变，则d逐渐减小，FT不变，故A错误，B正确；
CD．根据AB分析可知，当AB间距离减为时，库仑力减小到原来的，根据可知，B球的电荷量减小为原来的，故C错误，D正确。
故选BD。
【变式】（2023·浙江台州·统考二模）如图所示，两个质量分别为和的带电小球A、B（可视为质点）通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计），两球静止，O为滑轮正下方AB连线上的一个点。两球到O点距离分别为和，到滑轮的距离分别为和，且，细绳与竖直方向的夹角分别为和，两球电荷量分别为和。则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A．由于两球的电场力是相互作用力，故无法比较两球电荷量的大小，A错误；
B．绳子上的力处处相等，对绳子跨过定滑轮的节点受力分析可知，
所以，B错误；
CD．对两球受力可知，根据相似三角形
，
可得，，故C错误，D正确。
故选D。
考点三　电场强度的理解及叠加
1．求解电场强度的常规方法
电场强度是静电学中极其重要的概念，也是高考考点分布的重点区域之一．求电场强度常见的有定义式法、点电荷电场强度公式法、匀强电场公式法、矢量叠加法．
2．求解电场强度的非常规思维方法
(1)等效法：在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图8甲、乙所示．
(2)对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如：如图9，均匀带电的球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向．
(3)填补法：将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
(4)微元法：将带电体分成许多元电荷，每个元电荷看成点电荷，先根据库仑定律求出每个元电荷的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强．
角度1：等效法
【典例5】（2023·北京·统考模拟预测）如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z＜0的空间，z＞0的空间为真空。将电荷量为q的点电荷置于z轴上z=h处，则在xOy平面上会产生感应电荷，空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在 z轴上处的场强大小为（k为静电力常量）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在z轴 处，合场强为零，该点场强为q和导体近端感应电荷产生电场的场强的矢量和；q在处产生的场强为
由于导体远端离处很远，影响可以忽略不计，故导体在处产生场强近似等于近端在处产生的场强；处场强为，故
根据对称性，导体近端在处产生的场强为
电荷q在处产生的场强为
故处的合场强为，故选D。
电场强度是矢量，叠加时应遵从平行四边形定则，分析电场的叠加问题的一般步骤是：
(1)确定分析计算场强的空间位置；
(2)分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向；
(3)依次利用平行四边形定则求出矢量和．
【变式】（2021·辽宁朝阳·统考模拟预测）如图所示，的空间为真空，区域内充满无限大导体，固定电荷为的点电荷，静电力常量为k。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则感应电荷在处形成的电场强度大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】感应电荷形成的电场与原电荷形成电场等大反向，因此只要求出在点处场强大小即可。根据点电荷电场强度，其中
所以，故B正确，ACD错误。
故选B。
角度2：对称法
【典例6】（2023·全国·模拟预测）一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为（）的固定点电荷。已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为（k为静电力常量）（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】点电荷在b点的电场强度方向向右，大小为
要使b点的电场强度为零，圆盘在b点的电场强度方向向左，大小为
根据对称性可知，圆盘在d点的电场强度方向向右，大小也为
所以d点的场强为
故选D。
【变式】如图所示，在x轴上放置两正点电荷Q1、Q2，当空间存在沿y轴负向的匀强电场时，y轴上A点的场强等于零，已知匀强电场的电场强度大小为E，两点电荷到A的距离分别为r1、r2，则在y轴上与A点对称的B点的电场强度大小为（　　）
A．E B．E C．2E D．4E
【答案】C
【详解】A点场强为零，说明两点电荷在A点的合场强与匀强电场的场强等大反向，即竖直向上，大小为E，根据对称性，两点电荷在B处产生的合场强竖直向下，大小为E，所以B点的场强大小为2E，方向竖直向下；
故选C。
角度3：补偿法
【典例7】（2023秋·河南周口·高三河南省淮阳中学校考期末）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，==2R，已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】假设在O点有一个完整的带电荷量为2q的带电球壳，设完整球壳在N点产生的场强大小为E0，左半球壳在N点产生的电场强度大小为E左，右半球壳在N点产生的电场强度大小为E右，根据电场叠加原理
根据题意， ，解得，A正确，BCD错误。
故选A。
【变式】（2023·全国·高三专题练习）空间中有一正四面体，棱长为l。在4个顶点都放置一个电荷量为的正点电荷，棱、、中点分别为e、f、g，、、中点分别为h、i、j。已知无穷远处电势为0。则下列说法正确的是（　　）
A．e、f、g三点电势不同，h、i、j三点电势相同
B．底面的中心位置点的电场强度为
C．该正四面体内、外整个空间中一共有3个场强为0的位置
D．若将一个负点电荷，从e点沿棱移动到i点，电场力做功为0
【答案】D
【详解】A．根据对称性，六个棱中点分别到四面体各个顶点距离相等，故每个点电荷在六个棱中点各点的电势都相等，所以每条棱的中点电势都相同，故A错误；
B．底面的中心位置O点的电场强度为4个点电荷形成的电场强度的叠加，底面的点电荷形成的电场强度的矢量和为0，故O点的电场强度为由a点的点电荷产生，大小为，故B错误；
C．根据对称性正四面体体心和无穷远处两个地方电场强度为0，故C错误；
D．e、i电势差为0，故点电荷从e点沿棱移动到i点，电场力做功为0，D正确。
故选D。
角度4：微元法
【典例8】（2023·上海·一模）下列选项中的各圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各圆环间彼此绝缘．坐标原点O处电场强度最大的是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据点电荷的电场强度公式可得各圆环上的电荷在O点的电场场强大小，再根据矢量合成，求出合场强，最后比较它们的大小即可．由于电荷均匀分布，则各圆环上的电荷等效集中于圆环的中心，设圆的半径为r，则A图O点处的场强大小为；将B图中正、负电荷产生的场强进行叠加，等效两电荷场强方向间的夹角为90°，则在O点的合场强,方向沿x轴负方向；C图中两正电荷在O点的合场强为零，则C中的场强大小为，D图由于完全对称，易得合场强ED=0．故O 处电场强度最大的是图B．故答案为B．
【考点定位】本题考查电场的叠加,要注意采用等效思想及矢量的运算．难度：中等．
【变式】（2022秋·江苏南通·高三校联考期中）如图所示，电量为Q的正电荷均匀地分布在半径为r的圆环上M为圆环平面内的点，过圆心O点的x轴垂直于环面，N为x轴上一点，ON=h，静电力常量为k。则（　　）
A．M、O两点场强都为零
B．N点场强大小为
C．M、O、N 三点中 O 点电势最高
D．过M点以O点为圆心的圆上各点电势不相等
【答案】B
【详解】A．在圆环上任取一点，则在圆环上一定存在关于O点对称的另一点，这两个对称的点在O点产生的电场强度大小相同方向相反，则O点总场强为零。下图为圆环的平面图，线段AB为过M点的直径。线段CD垂直于线段AB， A点到M点的距离小于B点到M点的距离。所以A、B两点在M点产生的电场强度指向圆心。 C、D两点到M点的距离相同，所以C、D两点在M点产生的电场强度为0。在圆弧AC上任取一点F。连接F与M并延长交于圆上K点。由几何关系得F点到M点的距离小于K点到M点的距离。所以F、K两点在M点产生的电场强度指向K点。 F点关于直径AB对称的点为G点。连接GM并延长交于圆上J点。同理， G、J两点在M点的电场强度指向J点。整个图关于直径AB对称，综上根据对称性和矢量叠加原理得M点的电场强度指向圆心。故A错误；
B．设圆环上电荷的线密度为，则有
在圆环上任取一小段 ，这一小段小到其上的电荷可以看成点电荷，则该小段上的电荷量为
则该小段上的电荷在N点产生的电场强度在x轴上的分量为 （方向沿着x轴正方向）
则圆环上的所有电荷在N点产生的电场强度，沿x轴的分量为（方向沿着x轴正方向）
根据对称性和矢量叠加原理可得，圆环上的所有电荷在N点产生的电场强度，沿垂直于x轴方向的分量为零。故B正确；
C．根据B选项的分析，在线段ON上除O点外任取一点，该点的电场强度沿x轴正方向，沿着电场线方向前进电势降低所以
根据A选项的分析，在线段MO上除O点外任取一点，该点的电场强度指向圆心，沿着电场线方向前进电势降低所以 ，故C错误；
D．根据A选项的分析，过M点以O点为圆心的圆上各点的电场强度都指向圆心，所以在该圆上移动电荷时，每时每刻电场力与位移方向垂直，即电场力不做功，所以该圆上的每个点的电势相同。故D错误。
故选B。
考点四　电场中的平衡和加速问题
1．电场力方向
正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反．
2．恰当选取研究对象，用“整体法”或“隔离法”进行分析．
3．基本思路：(1)平衡问题利用平衡条件列式求解．
(2)非平衡问题利用牛顿第二定律求解．
4．库仑力作用下电荷的平衡问题与力学中物体的平衡问题相同，可以将力进行合成与分解．
5．列平衡方程，注意电荷间的库仑力与电荷间的距离有关．
角度1：三个点电荷共线平衡
【典例9】（2023·重庆北碚·统考）如图所示，在光滑绝缘水平面上有三个孤立的点电荷、Q、，Q恰好静止不动，、围绕Q做匀速圆周运动，在运动过程中三个点电荷始终共线。已知、分别与Q相距、，不计点电荷间的万有引力，下列说法正确的是（ ）
A．、的电荷量之比为 B．、的电荷量之比为
C．、的质量之比为 D．、的质量之比为
【答案】C
【详解】AB．点电荷Q恰好静止不动，因此根据库仑定律，则有：
所以Q1、Q2的电荷量之比为，故AB错误；
CD．对Q1、Q2：它们间的库仑引力提供向心力，则有：，所以Q1、Q2的质量之比为 ，故C正确，D错误。
故选C。
【变式】（2022·辽宁丹东·统考模拟预测）如图所示，同一直线上的三个点电荷、、，恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知、间的距离是、间距离的2倍。下列说法错误的是（　　）
A．若、为正电荷，则为负电荷
B．若、为负电荷，则为正电荷
C．
D．
【答案】C
【详解】AB．三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，近小远大”原理，即两边的电荷电性相同和中间的电性相反，则q1、q3电性一定相同，q2电性一定与前两者相反，故AB正确，不符合题意；
CD．根据库仑定律，根据平衡，对：，解得
对于：，解得，所以，故C错误，符合题意；D正确，不符合题意。
故选C。
角度2：共点力作用下的平衡问题
【典例10】（2023·海南·统考高考真题）如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点（小球可视为点电荷），已知AP：BP = n：1，试求Q1：Q2是多少（ ）

A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1
【答案】C
【详解】对小球受力分析如图所示

由正弦定理有
其中∠CPH = ∠OPB，∠CHP = ∠HPD = ∠APO
其中△APO中，
同理有，其中，，联立有Q1：Q2= 2n3：1
故选C。
【变式】（2023·海南·统考二模）用绝缘细线a、b将两个带电小球1和2连接并悬挂，已知小球2的重力为G，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，两小球连线与水平方向夹角为30°，细线b水平，则（　　）
A．小球1带电量一定小于小球2的带电量
B．细线a拉力大小为
C．细线b拉力大小为
D．小球1与2的质量比为
【答案】B
【详解】A．由，可知，不能确定小球1与小球2的带电量，故A不符合题意；
C．对小球2，由平衡条件可得，，解得细线b拉力大小为，故C不符合题意；
BD．对小球1，由平衡条件可得，，
解得细线a拉力大小为
小球1与2的质量比为，故B符合题意，D不符合题意。
故选B。
角度3：库仑力作用下的动态平衡问题
【典例11】（多选）（2023·全国·模拟预测）如图所示，已知带电小球A、B的电荷量分别为、，A球固定，B球用长为L的绝缘丝线悬挂在O点，静止时A、B相距为d，若A球电荷量保持不变，B球缓慢漏电，不计两小球半径，则下列说法正确的是（　　）
A．丝线对B球的拉力逐渐变大
B．A球对B球的库仑力逐渐变小
C．当AB间距离减为时，B球的电荷量减小为原来的
D．当AB间距离减为时，B球的电荷量减小为原来的
【答案】BD
【详解】AB．根据题意，对B受力分析，受重力、丝线拉力和库仑力，如图所示
由相似三角形可得，
根据库仑定律可知，由于B球缓慢漏电，则F减小，由于、、均不变，则d逐渐减小，FT不变，故A错误，B正确；
CD．根据AB分析可知，当AB间距离减为时，库仑力减小到原来的，根据可知，B球的电荷量减小为原来的，故C错误，D正确。
故选BD。
【变式】（2023·云南·模拟预测）如图所示，OA为竖直绝缘墙面，A点固定电荷量为的小球，电荷量为的小球B通过轻绳与O点相连，小球B处于静止状态。已知，将小球A视为场源电荷，小球B视为试探电荷，若小球B的电荷量逐渐减小，则在B靠近A的过程中（　　）

A．小球B受到的静电力大小逐渐减小 B．小球B所处位置的电场强度逐渐减小
C．小球B所处位置的电势逐渐减小 D．小球B的电势能不变
【答案】A
【详解】A．如图所示，对小球B受力分析，三个力构成首尾相连的三角形，重力不变，利用三角形相似可知两球间的静电力F逐渐减小，故A正确；

B．根据可知，变小，则小球B所处位置的电场强度逐渐增大，故B错误；
CD．在靠近过程中小球B受到的静电力做负功，小球B的电势能增大，根据可知电势增大，故CD错误。
故选A。
考点过关
【素质基础练】
1．（2023·浙江温州·统考二模）橡胶板置于绝缘水平桌面上，某同学戴着绝缘手套先用毛皮摩擦橡胶板，使橡胶板带负电，然后手握绝缘手柄将铝板靠近橡胶板，铝板的下表面与橡胶板上凸起的接地铁钉接触，并在其上表面撒上细纸屑，迅速上抬铝板至某一位置后，可以看到细纸屑从铝板上飞溅出来，这就是“静电飞花”实验。下列说法正确的是（ ）
A．铝板未与橡胶板接触所以始终不带电
B．纸屑是因为带正电相互排斥而不断飞散
C．铝板与铁钉接触时，电子从大地通过铁钉流向铝板
D．铝板与铁钉接触时，铝板上、下表面带等量异种电荷
【答案】B
【详解】AD．橡胶板带负电，铝板靠近后，铝板的下表面带正电，上表面带负电，当下表面与接地铁钉接触后，上表面的负电荷会流到大地，只有下表面带正电，A错误，D错误；
B．上抬铝板过程中，下表面的正电荷减小，上表面正电荷增加。纸屑因为与金属板带同种电荷（正电荷）而不断飞散，B正确；
C．因下表面与接地铁钉接触时，上表面的负电荷会流到大地，C错误。
故选B。
2．（2023·贵州·校考模拟预测）两个分别带有电荷量均为Q的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r的两处，它们之间库仑力的大小为F，将其中一球电荷量变为2Q，并把它们的距离变为2r，则两球间库仑力的大小变为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据库仑定律可得，其中一球电荷量变为2Q，并把它们的距离变为2r，则两球间库仑力的大小变为
故选A。
3．（2023·山东淄博·山东省淄博第一中学校联考二模）已经证实，质子是由上夸克和下夸克两种夸克组成的，上夸克带电为，下夸克带电为，e为电子所带电荷量的大小。如果质子是由三个夸克组成的，各个夸克之间的距离都相等且在同一圆周上。如图所示，下列四幅图中能正确表示出各夸克静电力的是（　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】AB．质子带电为＋e，所以它是由2个上夸克和1个下夸克组成的。AB错误；
CD．按题意，三个夸克必位于等边三角形的三个顶点处，设间距为l，这时上夸克与上夸克之间的静电力应为，为斥力；
上、下夸克之间的静电力，为吸引力；
由力的合成知两上夸克所受的静电力的合力斜向外，下夸克受的静电力合力指向两上夸克连线中点，C错误，D正确。
故选D。
4．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）如图所示，水平面内有一半径为的圆，为圆心，、为一直径上的两端点，、为另一直径上的两端点，且垂直。在点、、、分别放置四个电荷量为的点电荷，在垂直于水平面且过圆心点的轴线上有一点，、两点间的距离也为。已知静电力常量为，则点的电场强度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由几何关系可知，、、、的长度均为
根据点电荷的电场强度公式和电场叠加原理，可得点的电场强度大小，故C项正确。
故选C。
5．（2023·上海·统考模拟预测）如图所示，a为匀强电场，b为非匀强电场，三个电荷用轻棒连接为正三角形，则整个系统受合力的情况是（ ）

A．a为0，b为0 B．a为0，b不为0 C．a不为0，b为0 D．a不为0，b不为0
【答案】B
【详解】对于图a，由于是匀强电场，设电场强度为E，则两个＋q的电荷受到的电场力为2Eq方向沿电场线向上，一个－2q的电荷受到的电场力为2Eq方向沿电场线向向下，则图a整个系统受合力为0；同理分析，由于两个＋q的电荷所在的场强更弱，则图b整个系统受合力不为0。
故选B。
6．（2023·天津·模拟预测）图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点，则关于该粒子下列说法错误的是（　　）
A．带正电
B．在c点受力最大
C．在b点的电势能大于在c点的电势能
D．由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
【答案】B
【详解】A．由图可知，该粒子受到正点电荷的库仑斥力，则该粒子带正电，故A正确，不满足题意要求；
B．a、b、c三点中，c点离点电荷最远，可知该粒子在c点受力最小，故B错误，满足题意要求；
C．离正电荷越近，电势越高，可知b点电势大于c点电势，根据
由于该粒子带正电，则该粒子在b点的电势能大于在c点的电势能，故C正确，不满足题意要求；
D．根据点电荷场强公式
可知a、b间同心圆的场强大于b、c间的同心圆场强；根据
由于a、b间同心圆的距离等于b、c间同心圆的距离，则a、b间的电势差大于b、c间的电势差；动能定理可得
可知由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化，故D正确，不满足题意要求。
故选B。
7．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，电荷均匀分布在半球面上，电荷在该半球的中心处产生的电场的电场强度大小等于，半球的一个截面过半球面的直径，该截面与半球面的底面夹角，则该截面左下侧的这部分球面上的电荷在处产生的电场的电场强度大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据对称性，作出球面上的电荷在O点产生的电场分布，如图所示，
由平行四边形定则得到“小瓣”球面上的电荷在O处的电场强度
故选D。
8．（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，半径为的硬塑胶圆环，带有均匀分布的正电荷，单位长度上的电量为，其圆心处的合场强为零，现截去圆环顶部极少一段（），则剩余部分在圆心处产生场强，下列说法中正确的是（ ）
A．处场强方向竖直向下
B．处场强方向竖直向上，大小为
C．处场强大小为
D．处场强大小为
【答案】D
【详解】L段的电量为
则L段在O点产生的电场强度，方向向下，大小为
因为完整的圆环圆心处的合场强为零，所以剩余部分在O点产生的场强与L段在O点产生的电场强度等大反向，即剩余部分在O点产生的场强方向向上，大小表示为，D正确，ABC错误。
故选D。
9．（多选）（2023·河北邢台·校联考一模）如图所示，竖直面内一绝缘细半圆环均匀分布着正电荷，、为圆环水平直径上的两个点且点为圆心，弧和弧都是四分之一圆弧。已知均匀带电圆环内各点的场强均为零，则下列说法正确的是（　　）
A．点电场强度的方向垂直于向下
B．点电场强度的方向斜向下
C．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为
D．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为
【答案】AD
【详解】如图所示，把半圆环补成一个圆环
AB．则点的合场强为零，假设弧在点的电场强度的方向不垂直于，且电场强度的大小为，根据对称性可知，弧在点的电场强度为，且和关于对称，则此种情况下点的合场强不为零，假设不成立，所以点电场强度的方向垂直于向下，故A正确，B错误；
CD．令是弧的中点，是弧的中点，根据电场强度的叠加可得，弧在点的电场强度方向沿方向，弧在点的电场强度方向沿方向，角，则根据电场强度的叠加可得，若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为，故C错误，D正确。
故选AD。
10．（2023·浙江·模拟预测）如图所示，长l=1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ=37°。已知小球所带电荷量q=1.0×10-5 C，匀强电场的场强E=3.0×103 N/C，取重力加速度g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8求：
（1）小球所受电场力F的大小。
（2）小球的质量m。
（3）将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。
【答案】（1）3.0×10-2 N；（2）4.0×10-3 kg；（3）2.0 m/s
【详解】（1）电场力F=qE=3.0×10-2 N 　
（2）由，解得m=4.0×10-3 kg
（3）由动能定理，解得v=2.0 m/s
11．（2023·全国·模拟预测）质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为。在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常量为k，求：
（1）三个小球一起运动的加速度大小；
（2）恒力F的大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）以三个小球为研究对象受力分析如图所示
根据对称性可知，B球的电荷量也为q，设C球所带的电荷量为Q，对A球沿BA方向根据平衡条件可得，解得
设三个小球的加速度都是a，根据牛顿第二定律和库仑定律，对A球受力分析可知，解得
（2）对整体受力分析可知
【能力提高练】
1．（2023·贵州·校考模拟预测）取一对用绝缘柱支撑的不带电的导体A和B，使它们彼此接触。A、B下方均连有两片金属箔片。手握绝缘棒，把带正电荷的带电体C移近导体A，下列判断正确的是（　　）
A．仅有A下方的金属箔片张开 B．仅有B下方的金属箔片张开
C．导体A和B带等量异种电荷 D．导体A带正电、导体B带负电
【答案】C
【详解】把带正电荷的带电体C移近导体A，则导体A外端由于静电感应带负电荷，导体B外端由于静电感应带正电荷，即导体A和导体B下方的金属箔片均张开，根据电荷守恒定律可知，导体A和导体B的带电量是相等的。
故选C。
2．（2023·福建泉州·统考三模）三个相同的带孔金属小球A、B、C串在环形绝缘细绳上，A、B所带的电荷量分别为、，C不带电。将三个小球放在绝缘水平桌面上，保持静止时三个小球的位置如图甲所示。将三个球一起接触后释放，再次静止时，三个小球的位置如图乙所示。不计小球的体积与一切摩擦，则前后两次静止时，细绳中张力大小之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令绳的全长为L，三个球一起接触之前，对A分析有
三个球一起接触后，对A分析有
解得
故选A。
3．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如图所示，在边长为a的等边三角形的三个顶点A、B、C上，分别固定三个电荷量相等的点电荷，其中A、B处的点电荷均带正电，C处的点电荷带负电，O为三角形中心，已知k为静电力常量，则关于O点的电场强度大小，下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据点电荷场强公式可得，三个电荷在O点处产生的场强大小相等，均为
两个正电荷在O点处产生的场强方向夹角为，根据场强叠加原理以及几何知识可得，两个正电荷在O点处产生的合场强也为，方向与负电荷在O点产生的场强方向相同，因此O点处电场强度大小为
故选C。
4．（2023·广东·统考二模）如图所示，电量为的点电荷固定在N点，内壁光滑的绝缘细管竖直固定，N、B两点连线水平。电量为的小球从A点由静止释放，已知，则关于的电场和小球下落到B点的过程，下列说法正确的是（　　）
A．A点的场强大于B点的场强 B．A点的电势高于B点的电势
C．小球在B点的加速度小于重力加速度 D．小球的机械能一直在减小
【答案】D
【详解】A．根据点电荷场强公式可知离点电荷越近，场强越大，则A点的场强小于B点的场强，故A错误；
B．根据沿电场方向电势降低，在的电场中，离越近，电势越高，则A点的电势低于B点的电势，故B错误；
C．小球在B点时，库仑力和管的弹力刚好都处于水平方向，则小球受到的合力等于重力，小球的加速度等于重力加速度，故C错误；
D．小球从A点静止释放到B点过程，库仑力对小球一直做负功，小球的机械能一直在减小，故D正确。
故选D。
5．（2023·全国·模拟预测）如图所示，一半径为R的绝缘环上，均匀地分布有电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心O的距离OP=L。静电力常量为k，关于P点的场强E，下列四个表达式中有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】将圆环半径极限化：当时，带电圆环等同一个点电荷，由点电荷电场强度计算公式可知，在P点的电场强度为，将代入四个选项，只有A、D选项满足；
将距离极限化：当时，均匀带电圆环的中心处产生的电场强度为0，将代入A、D选项，只有D项满足。
故选D。
6．（2023·山东枣庄·统考二模）如图所示，A、B为两个对称的圆锥的顶点，相距2l、圆锥的底面半径为l，C点为圆锥底面圆周上的一点，O点为AB连线的中点，D点为OB连线的中点。现把两个电荷量都是Q的正点电荷分别置于A、B两点。该空间为真空，静电力常量为k。则下列说法正确的是（　　）
A．圆周上各点的电场强度的方向都平行于AB连线
B．圆周上C点的电场强度大小为
C．在OB连线上各点的电场强度都一定大于C点的电场强度
D．将另一个带负电的检验电荷q从C点沿CO、OD的折线路径移动到D点的过程中，其电势能一定逐渐减小
【答案】D
【详解】A．根据等量同种点电荷电场线的分布特点可知，圆周上各点的电场强度的方向都垂直于AB连线。故A错误；
B．圆周上C点的电场强度大小为，故B错误；
C．O到B，电场强度由0逐渐增加，而C点场强不为0。则在OB连线上各点的电场强度不一定大于C点的电场强度。故C错误；
D．将另一个带负电的检验电荷q从C点沿CO、OD的折线路径移动到D点的过程中，一直是逆着电场线运动，电场力做正功，其电势能一定逐渐减小。故D正确。
故选D。
7．（2023·山东·统考二模）学校科技节中某参赛选手设计了运输轨道，如图甲所示，可简化为倾角为θ的足够长固定绝缘光滑斜面。以斜面底端为坐标原点，沿斜面向上为x轴的正方向，且沿x轴部分区域存在电场。在斜面底端由静止释放一质量为m、电荷量为＋q的滑块，在滑块向上运动的一段过程中，机械能E随位置坐标x的变化如图乙所示，曲线A点处切线斜率最大。滑块可视为质点，不计空气阻力，不计滑块产生的电场。以下说法正确的是（　　）
A．在过程中，滑块动能先减小后恒定
B．在处滑块的动能最大，
C．在的过程中重力势能与电势能之和一直增大
D．在过程中，滑块先加速后减速
【答案】D
【详解】A．根据，可知机械能E随位置坐标x的变化图像中图像上某点切线的斜率表示电场力，由于滑块由静止开始运动，则刚刚释放时的电场力大于重力沿斜面的分力，结合图像可知，图像的斜率先增大后减小至0，则电场力先增大至最大值，后减小至0，可知电场力与重力沿斜面的方向大小相等的时刻在中间的某一位置，在该位置，滑块所受合力为0，该位置之后，电场力小于重力沿斜面的分立，根据动能定理可知在过程中，滑块动能先增大后减小，A错误；
B．动能最大位置时，滑块速度最大，滑块所受合力为0，根据上述可知，动能最大的位置在在中间的某一位置，B错误；
C．根据上述可知，在的过程中滑块动能先增大后减小，而滑块在运动过程中只有重力势能、电势能与动能之间的转化，可知在的过程中重力势能与电势能之和先减小后增大，C错误；
D．根据上述可知，在过程中，滑块向上运动，滑块先做加速度增大的加速运动，后做加速度减小的加速运动，再做加速度反向增大的减速运动，最后做匀减速运动，即在过程中，滑块先加速后减速，D正确。
故选D。
8．（2023·全国·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）如题图1所示，x轴上和处分别固定A、B两点电荷，取电场强度沿x轴正方向为正，x轴上区域的电场强度分布如题图2所示，放入其中的电荷仅受电场力作用，由此可知（　　）
A．A、B两点电荷电性相同
B．A、B两点电荷电荷量大小之比
C．在有限范围内，x轴上仅有一处电场强度为零
D．将一正点电荷从处由静止释放，仅在电场力作用下还能回到处
【答案】C
【详解】A．根据图2可知，处的电场强度为0，则A、B两点电荷电性必定相反，A错误；
B．由于处的电场强度为0，则有
解得
B错误；
C．由于处的电场强度为0，可知，A带正电，B带负电，则在AB之间A的电场方向向右，B的电场方向也向右，即AB之间电场的方向始终不可能为0，A的电荷量大一些，A的左侧电场由A电荷决定，即A左侧的电场强度也不可能为0，即在有限范围内，x轴上仅有位置一处电场强度为零，C正确；
D．根据图像，将一正点电荷从处由静止释放，所受电场力方向始终沿x轴正方向，即该电荷将在电场力作用下沿x轴正方向做加速运动，不可能回到处，D错误。
故选C。
9．（2023·山东聊城·统考三模）如图所示，空间正四棱锥的底面边长和侧棱长均为a，水平底面的四个顶点处均固定着电量为的点电荷，顶点P处有一个质量为m的带电小球，在静电力和重力的作用下恰好处于静止状态。将P处小球的电荷量减半，同时加竖直方向的匀强电场，此时P处小球仍能保持静止，重力加速度为g，静电力常量为k，则所加匀强电场强度大小为（　　）

A． B．
C．· D．
【答案】D
【详解】设P处的带电小球电量为Q，根据库仑定律可知，则P点小球受到各个顶点电荷的库仑力大小为
根据几何关系，可知正四棱锥型的侧棱与竖直线的夹角为45°；再由力的分解法则，可有
若将P处小球的电荷量减半，则四个顶点的电荷对P的小球的库仑合力为：
当外加匀强电场后，再次平衡，则有
解得
故选D。
10．（2023·全国·模拟预测）如题图甲为密立根油滴实验的原理图，用喷雾器把许多油滴从上板中间的小孔喷入电场。某次实验过程可以简化为题图乙，其中A、B为水平正对放置的平行金属板，两金属板间加电压，板间距d，经观察发现一带电油滴P在两金属板之间保持静止。若突然撤去两金属板间的电压，且两极板所带电量立即消失，经过一小段时间油滴达到最大速率后再匀速下降时间t到达B板，油滴P从静止出发点到B板的位移为L。设油滴在运动过程中质量和电荷量均保持不变，若油滴质量按正比于最大速率的二次方近似处理，比例系数为；空气阻力与速度大小成正比，比例系数为。重力加速度为g，不计油滴间的作用力。求：
（1）油滴P运动过程中的最大速率；
（2）油滴P所带电荷量；
（3）油滴P从静止到刚到达最大速率过程中重力势能的变化量。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设油滴的质量为m，撤去电压后达到的最大速率为由题意有①
由平衡条件得②
联立①②解得③
（2）未撤电压时油滴保持静止状态,有④
联立②③④解得，
（3）设匀速过程中的位移为h，有⑤
则重力势能的变化量⑥
【高考通关练】
1．（2023·浙江·统考高考真题）某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有辐向电场。粒子从M点射入，沿着由半径分别为R1和R2的圆弧平滑连接成的虚线（等势线）运动，并从虚线上的N点射出，虚线处电场强度大小分别为E1和E2，则R1、R2和E1、E2应满足（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】带电粒子在电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，则有，，联立可得
故选A。
2．（2023·湖北·统考高考真题）在正点电荷Q产生的电场中有M、N两点，其电势分别为、，电场强度大小分别为、。下列说法正确的是（　　）
A．若，则M点到电荷Q的距离比N点的远
B．若，则M点到电荷Q的距离比N点的近
C．若把带负电的试探电荷从M点移到N点，电场力做正功，则
D．若把带正电的试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，则
【答案】C
【详解】A．沿着电场线的方向电势降低，根据正点电荷产生的电场特点可知若，则M点到电荷Q的距离比N点的近，故A错误；
B．电场线的疏密程度表示电场强度的大小，根据正点电荷产生的电场特点可知若，则M点到电荷Q的距离比N点的远，故B错误；
C．若把带负电的试探电荷从M点移到N点，电场力做正功，则是逆着电场线运动，电势增加，故有，故C正确；
D．若把带正电的试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，则是逆着电场线运动；根据正点电荷产生的电场特点可知，故D错误。
故选C。
3．（2023·湖南·统考高考真题）如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°、和30°。若P点处的电场强度为零，q > 0，则三个点电荷的电荷量可能为（ ）

A．Q1= q，，Q3= q B．Q1= －q，，Q3= －4q
C．Q1= －q，，Q3= －q D．Q1= q，，Q3= 4q
【答案】D
【详解】AB．选项AB的电荷均为正和均为负，则根据电场强度的叠加法则可知，P点的场强不可能为零，AB错误；
C．设P、Q1间的距离为r，则Q1、Q3在P点产生的合场强大小有，解得
而Q2产生的场强大小为 ，则P点的场强不可能为零，C错误；
D．设P、Q1间的距离为r，则Q1、Q3在P点产生的合场强大小有，解得
而Q2产生的场强大小为，则P点的场强可能为零，D正确。
故选D。
4．（2023·山东·统考高考真题）如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是（ ）

A．点与点的电场强度大小相等
B．点与点的电场强度方向相同
C．点与点的电势差小于点与点的电势差
D．将试探电荷由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小
【答案】ACD
【详解】D．将六棱柱的上表面拿出

由几何条件可知正电荷在OF中点K的场强方向垂直OF，则K点的合场强与OF的夹角为锐角，在F点的场强和OF的夹角为钝角，因此将正电荷从F移到O点过程中电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，D正确；
C．由等量异种电荷的电势分布可知，，，
因此，C正确；
AB．由等量异种电荷的对称性可知和电场强度大小相等，和电场强度方向不同，A正确B错误；
故选ACD。
5．（2023·海南·统考高考真题）如图所示，正三角形三个顶点固定三个等量电荷，其中带正电，带负电，为边的四等分点，下列说法正确的是（ ）

A．、两点电场强度相同 B．、两点电势相同
C．负电荷在点电势能比在点时要小 D．负电荷在点电势能比在点时要大
【答案】BC
【详解】A．根据场强叠加以及对称性可知，MN两点的场强大小相同，但是方向不同，选项A错误；
B．因在AB处的正电荷在MN两点的合电势相等，在C点的负电荷在MN两点的电势也相等，则MN两点电势相等，选项B正确；
CD．因负电荷从M到O，因AB两电荷的合力对负电荷的库仑力从O指向M，则该力对负电荷做负功，C点的负电荷也对该负电荷做负功，可知三个电荷对该负电荷的合力对其做负功，则该负电荷的电势能增加，即负电荷在M点的电势能比在O点小；同理可知负电荷在N点的电势能比在O点小。选项C正确，D错误。
故选BC。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题21　　电场力的性质
题型 选择题 命题趋势和备考策略
高考考点 库仑定律的简单应用；库仑力作用下物体的平衡；电场强度和电场线的理解及应用；电场强度的叠加与计算 【命题规律】 近3年新高考卷对于本节内容考查共计22次，主要考查： 1. 库仑定律作用下物体的平衡； 2. 等量同种、异种电荷周围的电场、电势的分布特点； 3. 电场强度的叠加与计算； 【备考策略】 根据电荷间的相互作用规律，能正确判断电场力的方向，并掌握两个电场力公式和三个电场强度公式的使用条件和求解的方法和技巧；熟练巧记电荷周围电场和电势的分布，并能判断电场和电势的高低，能将空间问题转化为平面的问题；理解电场的叠加原理，掌握电场强度的四种特殊的计算方法； 【命题预测】 电场是每年高考必考的知识点之一，本节电场力的性质即可单独命题，也可和磁场综合命题出现在各省的考试卷中。其中电场的叠加问题、等量的同种电荷和异种电荷周围的电场、电势的分布又属于近几年来的热门考点。2024年考生务必熟练掌握电荷周围的电场和电势的分布特点，学会空间问题转化为平面问题的方法和技巧。
新高考 2023 海南卷8题、湖北卷3题、浙江卷8题、山东卷11题、海南卷12题、湖南卷5题、全国乙卷24题
2022 天津卷2题、辽宁卷10题、海南卷8题、江苏卷9题、河北卷6题、湖南卷2题、山东卷3题、全国乙卷6题、浙江卷10题、浙江春招1题
2021 江苏卷10题、湖北卷8题、山东卷6题、河北卷10题、海南卷10题
【导航窗口】
知识梳理
一、库仑定律　电荷守恒定律 2
二、电场、电场强度 2
三、电场线 3
考点突破
考点一　库仑定律的理解及应用 4
考点二 库伦力作用下的平衡问题 5
角度1：三个点电荷共线平衡 5
角度2：共点力作用下的平衡问题 6
角度3：库仑力作用下的动态平衡问题 7
考点三　电场强度的理解及叠加 8
角度1：等效法 9
角度2：对称法 9
角度3：补偿法 10
角度4：微元法 11
考点四　电场中的平衡和加速问题 12
角度1：三个点电荷共线平衡 12
角度2：共点力作用下的平衡问题 13
角度3：库仑力作用下的动态平衡问题 14
考点过关
【素质基础练】 15
【能力提高练】 19
【高考通关练】 23
一、库仑定律　电荷守恒定律
1．点电荷
有一定的电荷量，忽略形状和 的一种理想化模型．
2．电荷守恒定律
(1)起电方式：摩擦起电、接触起电、 起电．
(2)带电实质：物体带电的实质是
(3)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到 ，或者从物体的一部分转移到 ；在转移过程中，电荷的总量保持不变．
3．库仑定律
(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在
(2)表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量．
(3)适用条件：① ；②
【深度思考】　计算两个带电小球之间的库仑力时，公式中的r一定是指两个球心之间的距离吗？为什么？
二、电场、电场强度
1．电场
(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间 的一种特殊物质．
(2)基本性质：对放入其中的电荷有 的作用．
2．电场强度
(1)定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F与它的 的比值．
(2)定义式：E＝，q为 电荷，又称检验电荷．
(3)矢量性：规定 电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向．
3．场强公式的比较
4．电场的叠加
(1)电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的 和．
(2)运算法则： 定则．
5．等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线分布图
连线中点O处的场强 连线上O点场强最小，指向负电荷一方 为零
连线上的场强大小(从左到右)　　　 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小
三、电场线
1．定义
为了形象地描述电场中各点场强的强弱及 ，在电场中画出一些曲线，曲线上每一点的 方向都跟该点的场强方向一致，曲线的疏密表示电场的
2．电场线的三个特点
(1)电场线从正电荷或无限远处出发，终止于无限远或 处；
(2)电场线在电场中不相交；
(3)在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线
考点一　库仑定律的理解及应用
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
3．对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示．
(1)同种电荷：F＜k；(2)异种电荷：F＞k.
4．不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看做点电荷了．
【典例1】（2023·贵州·校考模拟预测）两个完全相同的金属小球，所带电荷量之比为，当它们相距为R（R远大于小球半径r）时，相互作用大小为F。现让两球接触一下，然后放到相距为的两点，这时两球相互作用力大小可能是（　　）
A． B． C． D．
1．如果接触前两金属球带同种电荷，电荷量分别为q1和q2，两球接触时，总电荷量平均分配，两球的电荷量都等于.
2．如果接触前两金属球带异种电荷，电荷量分别为q1和q2，且q1＞q2，接触时，先中和再将剩余的电荷量(q1－q2)平均分配，两球的电荷量都等于.
【变式1】（2023·上海·统考模拟预测）三个大小相同的带电导体球，带电量分别为、和，让与先接触，然后让与接触，最终所带的电荷量为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·贵州·校考模拟预测）取一对用绝缘柱支撑的不带电的导体A和B，使它们彼此接触。A、B下方均连有两片金属箔片。手握绝缘棒，把带正电荷的带电体C移近导体A，下列判断正确的是（　　）
A．仅有A下方的金属箔片张开 B．仅有B下方的金属箔片张开
C．导体A和B带等量异种电荷 D．导体A带正电、导体B带负电
考点二 库伦力作用下的平衡问题
电场力的两个表达式
表达式
适用范围 真空中的点电荷 任意电场
静电场中带电体平衡问题的解题思路
确定研究对象，如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”和“隔离法”，确定研究对象；
受力分析：分析方法和动力学的受力分析方法一致，唯一的区别是多了一个库仑力；
三个自由点电荷的平衡问题
条件：两个点电荷在第三个点电荷的合场强为零，或每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。
规律
①“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上
②“两同夹一异”——正负电荷相互间隔
③“两同夹一小”——中间电荷电荷量最小
④“远小近大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷
角度1：三个点电荷共线平衡
【典例2】（2023·重庆北碚·统考）如图所示，在光滑绝缘水平面上有三个孤立的点电荷、Q、，Q恰好静止不动，、围绕Q做匀速圆周运动，在运动过程中三个点电荷始终共线。已知、分别与Q相距、，不计点电荷间的万有引力，下列说法正确的是（ ）
A．、的电荷量之比为 B．、的电荷量之比为
C．、的质量之比为 D．、的质量之比为
【变式】（2023·辽宁丹东·统考模拟预测）如图所示，同一直线上的三个点电荷、、，恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知、间的距离是、间距离的2倍。下列说法错误的是（　　）
A．若、为正电荷，则为负电荷 B．若、为负电荷，则为正电荷
C． D．
角度2：共点力作用下的平衡问题
【典例3】（2023·海南·统考高考真题）如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点（小球可视为点电荷），已知AP：BP = n：1，试求Q1：Q2是多少（ ）

A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1
【变式】（2023·海南·统考二模）用绝缘细线a、b将两个带电小球1和2连接并悬挂，已知小球2的重力为G，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，两小球连线与水平方向夹角为30°，细线b水平，则（　　）
A．小球1带电量一定小于小球2的带电量 B．细线a拉力大小为
C．细线b拉力大小为 D．小球1与2的质量比为
角度3：库仑力作用下的动态平衡问题
【典例4】（多选）（2023·全国·模拟预测）如图所示，已知带电小球A、B的电荷量分别为、，A球固定，B球用长为L的绝缘丝线悬挂在O点，静止时A、B相距为d，若A球电荷量保持不变，B球缓慢漏电，不计两小球半径，则下列说法正确的是（　　）
A．丝线对B球的拉力逐渐变大
B．A球对B球的库仑力逐渐变小
C．当AB间距离减为时，B球的电荷量减小为原来的
D．当AB间距离减为时，B球的电荷量减小为原来的
【变式】（2023·浙江台州·统考二模）如图所示，两个质量分别为和的带电小球A、B（可视为质点）通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计），两球静止，O为滑轮正下方AB连线上的一个点。两球到O点距离分别为和，到滑轮的距离分别为和，且，细绳与竖直方向的夹角分别为和，两球电荷量分别为和。则（ ）
A． B． C． D．
考点三　电场强度的理解及叠加
1．求解电场强度的常规方法
电场强度是静电学中极其重要的概念，也是高考考点分布的重点区域之一．求电场强度常见的有定义式法、点电荷电场强度公式法、匀强电场公式法、矢量叠加法．
2．求解电场强度的非常规思维方法
(1)等效法：在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
例如：一个点电荷＋q与一个无限大薄金属板形成的电场，等效为两个异种点电荷形成的电场，如图8甲、乙所示．
(2)对称法：利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
例如：如图9，均匀带电的球壳在O点产生的场强，等效为弧BC产生的场强，弧BC产生的场强方向，又等效为弧的中点M在O点产生的场强方向．
(3)填补法：将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，从而化难为易、事半功倍．
(4)微元法：将带电体分成许多元电荷，每个元电荷看成点电荷，先根据库仑定律求出每个元电荷的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强．
角度1：等效法
【典例5】（2023·北京·统考模拟预测）如图所示，xOy平面是无穷大导体的表面，该导体充满z＜0的空间，z＞0的空间为真空。将电荷量为q的点电荷置于z轴上z=h处，则在xOy平面上会产生感应电荷，空间任意一点处的电场皆是由点电荷q和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在 z轴上处的场强大小为（k为静电力常量）（ ）
A． B． C． D．
电场强度是矢量，叠加时应遵从平行四边形定则，分析电场的叠加问题的一般步骤是：
(1)确定分析计算场强的空间位置；
(2)分析该处有几个分电场，先计算出各个分电场在该点的电场强度的大小和方向；
(3)依次利用平行四边形定则求出矢量和．
【变式】（2021·辽宁朝阳·统考模拟预测）如图所示，的空间为真空，区域内充满无限大导体，固定电荷为的点电荷，静电力常量为k。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则感应电荷在处形成的电场强度大小为（　　）
A． B． C． D．
角度2：对称法
【典例6】（2023·全国·模拟预测）一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为（）的固定点电荷。已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为（k为静电力常量）（　　）
A． B． C． D．
【变式】如图所示，在x轴上放置两正点电荷Q1、Q2，当空间存在沿y轴负向的匀强电场时，y轴上A点的场强等于零，已知匀强电场的电场强度大小为E，两点电荷到A的距离分别为r1、r2，则在y轴上与A点对称的B点的电场强度大小为（　　）
A．E B．E C．2E D．4E
角度3：补偿法
【典例7】（2023秋·河南周口·高三河南省淮阳中学校考期末）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，==2R，已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为（　　）
A． B．
C． D．
【变式】（2023·全国·高三专题练习）空间中有一正四面体，棱长为l。在4个顶点都放置一个电荷量为的正点电荷，棱、、中点分别为e、f、g，、、中点分别为h、i、j。已知无穷远处电势为0。则下列说法正确的是（　　）
A．e、f、g三点电势不同，h、i、j三点电势相同
B．底面的中心位置点的电场强度为
C．该正四面体内、外整个空间中一共有3个场强为0的位置
D．若将一个负点电荷，从e点沿棱移动到i点，电场力做功为0
角度4：微元法
【典例8】（2023·上海·一模）下列选项中的各圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各圆环间彼此绝缘．坐标原点O处电场强度最大的是
A．B．C．D．
【变式】（2022秋·江苏南通·高三校联考期中）如图所示，电量为Q的正电荷均匀地分布在半径为r的圆环上M为圆环平面内的点，过圆心O点的x轴垂直于环面，N为x轴上一点，ON=h，静电力常量为k。则（　　）
A．M、O两点场强都为零 B．N点场强大小为
C．M、O、N 三点中 O 点电势最高 D．过M点以O点为圆心的圆上各点电势不相等
考点四　电场中的平衡和加速问题
1．电场力方向
正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反．
2．恰当选取研究对象，用“整体法”或“隔离法”进行分析．
3．基本思路：(1)平衡问题利用平衡条件列式求解．
(2)非平衡问题利用牛顿第二定律求解．
4．库仑力作用下电荷的平衡问题与力学中物体的平衡问题相同，可以将力进行合成与分解．
5．列平衡方程，注意电荷间的库仑力与电荷间的距离有关．
角度1：三个点电荷共线平衡
【典例9】（2023·重庆北碚·统考）如图所示，在光滑绝缘水平面上有三个孤立的点电荷、Q、，Q恰好静止不动，、围绕Q做匀速圆周运动，在运动过程中三个点电荷始终共线。已知、分别与Q相距、，不计点电荷间的万有引力，下列说法正确的是（ ）
A．、的电荷量之比为 B．、的电荷量之比为
C．、的质量之比为 D．、的质量之比为
【变式】（2022·辽宁丹东·统考模拟预测）如图所示，同一直线上的三个点电荷、、，恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知、间的距离是、间距离的2倍。下列说法错误的是（　　）
A．若、为正电荷，则为负电荷 B．若、为负电荷，则为正电荷
C． D．
角度2：共点力作用下的平衡问题
【典例10】（2023·海南·统考高考真题）如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点（小球可视为点电荷），已知AP：BP = n：1，试求Q1：Q2是多少（ ）

A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1
【变式】（2023·海南·统考二模）用绝缘细线a、b将两个带电小球1和2连接并悬挂，已知小球2的重力为G，如图所示，两小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为30°，两小球连线与水平方向夹角为30°，细线b水平，则（　　）
A．小球1带电量一定小于小球2的带电量 B．细线a拉力大小为
C．细线b拉力大小为 D．小球1与2的质量比为
角度3：库仑力作用下的动态平衡问题
【典例11】（多选）（2023·全国·模拟预测）如图所示，已知带电小球A、B的电荷量分别为、，A球固定，B球用长为L的绝缘丝线悬挂在O点，静止时A、B相距为d，若A球电荷量保持不变，B球缓慢漏电，不计两小球半径，则下列说法正确的是（　　）
A．丝线对B球的拉力逐渐变大
B．A球对B球的库仑力逐渐变小
C．当AB间距离减为时，B球的电荷量减小为原来的
D．当AB间距离减为时，B球的电荷量减小为原来的
【变式】（2023·云南·模拟预测）如图所示，OA为竖直绝缘墙面，A点固定电荷量为的小球，电荷量为的小球B通过轻绳与O点相连，小球B处于静止状态。已知，将小球A视为场源电荷，小球B视为试探电荷，若小球B的电荷量逐渐减小，则在B靠近A的过程中（　　）

A．小球B受到的静电力大小逐渐减小 B．小球B所处位置的电场强度逐渐减小
C．小球B所处位置的电势逐渐减小 D．小球B的电势能不变
考点过关
【素质基础练】
1．（2023·浙江温州·统考二模）橡胶板置于绝缘水平桌面上，某同学戴着绝缘手套先用毛皮摩擦橡胶板，使橡胶板带负电，然后手握绝缘手柄将铝板靠近橡胶板，铝板的下表面与橡胶板上凸起的接地铁钉接触，并在其上表面撒上细纸屑，迅速上抬铝板至某一位置后，可以看到细纸屑从铝板上飞溅出来，这就是“静电飞花”实验。下列说法正确的是（ ）
A．铝板未与橡胶板接触所以始终不带电
B．纸屑是因为带正电相互排斥而不断飞散
C．铝板与铁钉接触时，电子从大地通过铁钉流向铝板
D．铝板与铁钉接触时，铝板上、下表面带等量异种电荷
2．（2023·贵州·校考模拟预测）两个分别带有电荷量均为Q的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r的两处，它们之间库仑力的大小为F，将其中一球电荷量变为2Q，并把它们的距离变为2r，则两球间库仑力的大小变为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·山东淄博·山东省淄博第一中学校联考二模）已经证实，质子是由上夸克和下夸克两种夸克组成的，上夸克带电为，下夸克带电为，e为电子所带电荷量的大小。如果质子是由三个夸克组成的，各个夸克之间的距离都相等且在同一圆周上。如图所示，下列四幅图中能正确表示出各夸克静电力的是（　　）
A．B．C．D．
4．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）如图所示，水平面内有一半径为的圆，为圆心，、为一直径上的两端点，、为另一直径上的两端点，且垂直。在点、、、分别放置四个电荷量为的点电荷，在垂直于水平面且过圆心点的轴线上有一点，、两点间的距离也为。已知静电力常量为，则点的电场强度大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·上海·统考模拟预测）如图所示，a为匀强电场，b为非匀强电场，三个电荷用轻棒连接为正三角形，则整个系统受合力的情况是（ ）

A．a为0，b为0 B．a为0，b不为0 C．a不为0，b为0 D．a不为0，b不为0
6．（2023·天津·模拟预测）图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点，则关于该粒子下列说法错误的是（　　）
A．带正电 B．在c点受力最大
C．在b点的电势能大于在c点的电势能 D．由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
7．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，电荷均匀分布在半球面上，电荷在该半球的中心处产生的电场的电场强度大小等于，半球的一个截面过半球面的直径，该截面与半球面的底面夹角，则该截面左下侧的这部分球面上的电荷在处产生的电场的电场强度大小为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，半径为的硬塑胶圆环，带有均匀分布的正电荷，单位长度上的电量为，其圆心处的合场强为零，现截去圆环顶部极少一段（），则剩余部分在圆心处产生场强，下列说法中正确的是（ ）
A．处场强方向竖直向下 B．处场强方向竖直向上，大小为
C．处场强大小为 D．处场强大小为
9．（多选）（2023·河北邢台·校联考一模）如图所示，竖直面内一绝缘细半圆环均匀分布着正电荷，、为圆环水平直径上的两个点且点为圆心，弧和弧都是四分之一圆弧。已知均匀带电圆环内各点的场强均为零，则下列说法正确的是（　　）
A．点电场强度的方向垂直于向下
B．点电场强度的方向斜向下
C．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为
D．若弧在点的电场强度大小为，则半圆环在点的电场强度大小为
10．（2023·浙江·模拟预测）如图所示，长l=1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ=37°。已知小球所带电荷量q=1.0×10-5 C，匀强电场的场强E=3.0×103 N/C，取重力加速度g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8求：
（1）小球所受电场力F的大小。
（2）小球的质量m。
（3）将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。
11．（2023·全国·模拟预测）质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为。在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线的反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常量为k，求：
（1）三个小球一起运动的加速度大小；
（2）恒力F的大小。
【能力提高练】
1．（2023·贵州·校考模拟预测）取一对用绝缘柱支撑的不带电的导体A和B，使它们彼此接触。A、B下方均连有两片金属箔片。手握绝缘棒，把带正电荷的带电体C移近导体A，下列判断正确的是（　　）
A．仅有A下方的金属箔片张开 B．仅有B下方的金属箔片张开
C．导体A和B带等量异种电荷 D．导体A带正电、导体B带负电
2．（2023·福建泉州·统考三模）三个相同的带孔金属小球A、B、C串在环形绝缘细绳上，A、B所带的电荷量分别为、，C不带电。将三个小球放在绝缘水平桌面上，保持静止时三个小球的位置如图甲所示。将三个球一起接触后释放，再次静止时，三个小球的位置如图乙所示。不计小球的体积与一切摩擦，则前后两次静止时，细绳中张力大小之比为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如图所示，在边长为a的等边三角形的三个顶点A、B、C上，分别固定三个电荷量相等的点电荷，其中A、B处的点电荷均带正电，C处的点电荷带负电，O为三角形中心，已知k为静电力常量，则关于O点的电场强度大小，下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·广东·统考二模）如图所示，电量为的点电荷固定在N点，内壁光滑的绝缘细管竖直固定，N、B两点连线水平。电量为的小球从A点由静止释放，已知，则关于的电场和小球下落到B点的过程，下列说法正确的是（　　）
A．A点的场强大于B点的场强 B．A点的电势高于B点的电势
C．小球在B点的加速度小于重力加速度 D．小球的机械能一直在减小
5．（2023·全国·模拟预测）如图所示，一半径为R的绝缘环上，均匀地分布有电荷量为Q的电荷，在垂直于圆环平面的对称轴上有一点P，它与环心O的距离OP=L。静电力常量为k，关于P点的场强E，下列四个表达式中有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·山东枣庄·统考二模）如图所示，A、B为两个对称的圆锥的顶点，相距2l、圆锥的底面半径为l，C点为圆锥底面圆周上的一点，O点为AB连线的中点，D点为OB连线的中点。现把两个电荷量都是Q的正点电荷分别置于A、B两点。该空间为真空，静电力常量为k。则下列说法正确的是（　　）
A．圆周上各点的电场强度的方向都平行于AB连线
B．圆周上C点的电场强度大小为
C．在OB连线上各点的电场强度都一定大于C点的电场强度
D．将另一个带负电的检验电荷q从C点沿CO、OD的折线路径移动到D点的过程中，其电势能一定逐渐减小
7．（2023·山东·统考二模）学校科技节中某参赛选手设计了运输轨道，如图甲所示，可简化为倾角为θ的足够长固定绝缘光滑斜面。以斜面底端为坐标原点，沿斜面向上为x轴的正方向，且沿x轴部分区域存在电场。在斜面底端由静止释放一质量为m、电荷量为＋q的滑块，在滑块向上运动的一段过程中，机械能E随位置坐标x的变化如图乙所示，曲线A点处切线斜率最大。滑块可视为质点，不计空气阻力，不计滑块产生的电场。以下说法正确的是（　　）
A．在过程中，滑块动能先减小后恒定
B．在处滑块的动能最大，
C．在的过程中重力势能与电势能之和一直增大
D．在过程中，滑块先加速后减速
8．（2023·全国·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）如题图1所示，x轴上和处分别固定A、B两点电荷，取电场强度沿x轴正方向为正，x轴上区域的电场强度分布如题图2所示，放入其中的电荷仅受电场力作用，由此可知（　　）
A．A、B两点电荷电性相同
B．A、B两点电荷电荷量大小之比
C．在有限范围内，x轴上仅有一处电场强度为零
D．将一正点电荷从处由静止释放，仅在电场力作用下还能回到处
9．（2023·山东聊城·统考三模）如图所示，空间正四棱锥的底面边长和侧棱长均为a，水平底面的四个顶点处均固定着电量为的点电荷，顶点P处有一个质量为m的带电小球，在静电力和重力的作用下恰好处于静止状态。将P处小球的电荷量减半，同时加竖直方向的匀强电场，此时P处小球仍能保持静止，重力加速度为g，静电力常量为k，则所加匀强电场强度大小为（　　）

A． B． C．· D．
10．（2023·全国·模拟预测）如题图甲为密立根油滴实验的原理图，用喷雾器把许多油滴从上板中间的小孔喷入电场。某次实验过程可以简化为题图乙，其中A、B为水平正对放置的平行金属板，两金属板间加电压，板间距d，经观察发现一带电油滴P在两金属板之间保持静止。若突然撤去两金属板间的电压，且两极板所带电量立即消失，经过一小段时间油滴达到最大速率后再匀速下降时间t到达B板，油滴P从静止出发点到B板的位移为L。设油滴在运动过程中质量和电荷量均保持不变，若油滴质量按正比于最大速率的二次方近似处理，比例系数为；空气阻力与速度大小成正比，比例系数为。重力加速度为g，不计油滴间的作用力。求：
（1）油滴P运动过程中的最大速率；
（2）油滴P所带电荷量；
（3）油滴P从静止到刚到达最大速率过程中重力势能的变化量。
【高考通关练】
1．（2023·浙江·统考高考真题）某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有辐向电场。粒子从M点射入，沿着由半径分别为R1和R2的圆弧平滑连接成的虚线（等势线）运动，并从虚线上的N点射出，虚线处电场强度大小分别为E1和E2，则R1、R2和E1、E2应满足（　　）

A． B． C． D．
2．（2023·湖北·统考高考真题）在正点电荷Q产生的电场中有M、N两点，其电势分别为、，电场强度大小分别为、。下列说法正确的是（　　）
A．若，则M点到电荷Q的距离比N点的远
B．若，则M点到电荷Q的距离比N点的近
C．若把带负电的试探电荷从M点移到N点，电场力做正功，则
D．若把带正电的试探电荷从M点移到N点，电场力做负功，则
3．（2023·湖南·统考高考真题）如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°、和30°。若P点处的电场强度为零，q > 0，则三个点电荷的电荷量可能为（ ）

A．Q1= q，，Q3= q B．Q1= －q，，Q3= －4q
C．Q1= －q，，Q3= －q D．Q1= q，，Q3= 4q
4．（多选）（2023·山东·统考高考真题）如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是（ ）

A．点与点的电场强度大小相等
B．点与点的电场强度方向相同
C．点与点的电势差小于点与点的电势差
D．将试探电荷由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小
5．（2023·海南·统考高考真题）如图所示，正三角形三个顶点固定三个等量电荷，其中带正电，带负电，为边的四等分点，下列说法正确的是（ ）

A．、两点电场强度相同 B．、两点电势相同
C．负电荷在点电势能比在点时要小 D．负电荷在点电势能比在点时要大
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