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湘教新版九年级上册《第1章 反比例函数》2023年单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．y＝x﹣6
2．若a≠0，则一次函数y＝ax﹣2与反比例y＝函数在同一坐标系中的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
3．关于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　）
A．图象关于原点对称
B．y随x的增大而减小
C．图象分别位于第一、三象限
D．若点M（a，b）在其图象上，则ab＝3
4．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝﹣上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
5．如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝4，则k2﹣k1的值是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．如图，△OAB与△AA1B1都是等边三角形，点B，B1依次在函数的图象上，点A，A1依次在x轴的负半轴上，若点B的坐标是，则点A1的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．已知关于x的方程（x+1）2+（x﹣b）2＝2有两个相等的实数根，且反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（　　）
A． B． C． D．
8．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1500N和0.4m，则动力F（单位：N）关于动力臂L（单位：m）的函数解析式正确的是（　　）
A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝
9．如图，四边形OABC是平行四边形，点A在反比例函数上，点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，则四边形OABC的面积是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，直线y1＝﹣x+2与双曲线y2＝相交于A、B两点，已知点A坐标为（m，﹣2m），当x＞m时，y2的取值范围为（　　）
A．y2＞4 B．y2＜4 C．0＜y2＜4 D．y2＞4或y2＜0
二．填空题（共8小题）
11．给出的六个关系式：①x（y+1）；②y＝；③y＝；④y＝﹣；⑤y＝；⑥y＝x﹣1，其中y是x的反比例函数是　 　．
12．如图，过原点的一条直线与反比例函数y＝（k≠0）的图象分别交于A，B两点．若A点的坐标为（a，b），则B点的坐标为　 　．
13．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象的形状是 　 　，反比例函数y＝（k≠0）的图象的形状是 　 　．
14．若反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，），则此函数的解析式为 　 　．
15．如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．
（1）反比例函数y＝的解析式为 　 　；
（2）若AB＝BD，点D的坐标为 　 　．
16．点A（2，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝﹣图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是y1　 　y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
17．已知反比例函数y＝﹣，当y＝6时，x＝　 　．
18．已知过原点O的直线与双曲线y＝在一三象限分别交于A，B两点，点C在x轴上，且∠ACB＝90°，tan∠ABC＝，则△ABC的面积为　 　．
三．解答题（共8小题）
19．已知y＝y1+y22，其中y1与x成正比例．y2与x成反比例．且当x＝2和x＝3时．y的值都为19，求y与变量x的函数关系式．
20．面积一定的梯形，其上底长是下底长的，设上底长为xcm，高为ycm，且当x＝5cm，y＝6cm，
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求当y＝4cm时，下底长多少？
21．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣2）．
（I）求此反比例函数的解析式；
（II）当y≥2时，求x的取值范围．
22．已知反比例函数y＝，分别根据下列条件求出字母m的取值范围．
（1）函数图象位于第一、三象限；
（2）在每一象限内，y随x的增大而增大．
23．如图，已知一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象交于A、B两点．
（1）求△AOB的面积；
（2）观察图象，可知一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围是　 　．
24．一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，所受的重力为250N，木桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长为1.2m．杆与水平线的倾斜角为45°．设在杆的另一端施加的压力为p（N），压力作用点到支点的距离为d（m）（杆自身所受的重力略去不计）．
（1）求p关于d的函数表达式．
（2）若d＝2.4m，则杆的另一端所加压力为多少牛？
25．心理学家研究发现，一般情况下，学生在一节课中的注意力随教师讲课时间的变化而变化开始上课时，学生的注意力逐步增强，此时学生的注意力指标数与上课时间成一次函数矣系，满足y＝2x+20（0≤x＜10），中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（min）的变化规律如图所示（其中BC为水平线段，CD为双曲线的一部分）．
（1）请根据图象，求出上课25min后学生的注意力指标数与上课时间所满足的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）一道数学作业题，需要讲22min，为了效果较好，老师能否经过适当安排，在学生注意力指标数不低于30的状态下讲完这道题目？请说明理由．
26．如图，四边形OABC是矩形，A、C分别在y轴、x轴上，且OA＝6cm，OC＝8cm，点P从点A开始以2cm/s的速度向B运动，点Q从点B开始以1cm/s的速度向C运动，设运动时间为t．
（1）如图（1），当t为何值时，△BPQ的面积为4cm2？
（2）当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（3）如图（2），在运动过程中的某一时刻，反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q两点，求这个反比例函数的解析式．
湘教新版九年级上册《第1章 反比例函数》2023年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：A、y＝﹣不是反比例函数，选项A不符合题意；
B、y＝是反比例函数，选项B符合题意；
C、y＝1﹣不是反比例函数，选项C不符合题意；
D、y＝x﹣6不是反比例函数，选项D不符合题意；
故选：B．
2．【解答】解：当a＞0时，一次函数y＝ax﹣2经过一、三、四象限，反比例y＝函数在第一、三象限；
当a＜0时，一次函数y＝ax﹣2经过二、三、四象限，反比例y＝函数在第二、四象限；
故选：C．
3．【解答】解：∵反比例函数y＝，
∴该函数图象关于原点轴对称，故选项A正确；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项B错误；
该函数图象为别位于第一、三象限，故选项C正确；
若点M（a，b）在其图象上，则ab＝3，故选项D正确；
故选：B．
4．【解答】解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝﹣上，
∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
5．【解答】解：设A（a，b），B（c，d），
代入得：k1＝ab，k2＝cd，
∵S△AOB＝4，
∴cd﹣ab＝4，
∴cd﹣ab＝8，
∴k2﹣k1＝8，
故选：D．
6．【解答】解：∵点B在函数的图象上，点B的坐标是，
∴k＝﹣2×2＝﹣4，OA＝4，
∴y＝﹣，
作B1D⊥AA1，垂足为D，
∵△A1OA为等边三角形，
∴∠A1AB1＝60°，
∴tan60°＝＝，
∴B1D＝AD，
设AD＝a，
则OD＝4+a，B1D＝a，
∴B1（﹣4﹣a，a）．
∵B1在反比例函数的图象上，
∴（﹣4﹣a） a＝﹣4，
化简得a2+4a﹣4＝0，
解得：a＝﹣2±2．
∵a＞0，
∴a＝﹣2+2．
∴AA1＝﹣4+4，
∴OA1＝OA+AA1＝4+（﹣4+4）＝4，
∴点A1的坐标为（﹣4，0）．
故选：D．
7．【解答】解：关于x的方程（x+1）2+（x﹣b）2＝2化成一般形式是：2x2+（2﹣2b）x+（b2﹣1）＝0，
∵关于x的方程（x+1）2+（x﹣b）2＝2有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2﹣2b）2﹣8（b2﹣1）＝﹣4（b+3）（b﹣1）＝0，
解得：b＝﹣3或1．
∵反比例函数的图象，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴1+b＜0
∴b＜﹣1，
∴b＝﹣3．
则反比例函数的解析式是：y＝﹣．
故选：B．
8．【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1500N和0.4m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1500×0.4＝FL，
则F＝，
故选：C．
9．【解答】解：过A作AE⊥x轴于点E，
设A（a，b），B（x，b），
∵点A在反比例函数上，点B在反比例函数上，
∴ab＝2，xb＝4，
∴x＝2a，
∴AB＝2a﹣a＝a，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴CO＝AB＝a，
∴四边形OABC的面积是：CO AE＝ab＝2，
故选：C．
10．【解答】解：∵点A（m，﹣2m）在直线y1＝﹣x+2上，
∴﹣2m＝﹣m+2，
即m＝﹣2，
∴点A（﹣2，4），
由两个函数的图以及交点坐标可知，
当x＞﹣2时，y2＞4或y2＜0，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．【解答】解：①x（y+1）不是函数，不符合题意；
②y＝是y关于x+2的反比例函数，不符合题意；
③y＝是y关于x2的反比例函数，不符合题意；
④y＝﹣＝，是y关于x的反比例函数，符合题意；
⑤y＝是y关于x的正比例函数，不符合题意；
⑥y＝x﹣1＝，是y关于x的反比例函数，符合题意；
故答案为：④⑥．
12．【解答】解：过原点的一条直线即正比例函数的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象分别交于A，B两点；
且两者都是中心对称图形；故A，B两点也关于原点对称；
若A点的坐标为（a，b），则B点的坐标为（﹣a，﹣b）．
故答案为：（﹣a，﹣b）．
13．【解答】解：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象的形状是直线，反比例函数y＝（k≠0）的图象的形状是双曲线．
故答案为：直线，双曲线．
14．【解答】解：把（﹣2，）代入y＝中，得＝，
解得k＝﹣3，
所以反比例函数解析式为y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
15．【解答】解：解法1：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12），
∴k＝12×5＝60，
∴反比例函数的解析式为y＝，
故答案为：y＝；
（2）如图，连接AD并延长交x轴于E，
由A（5，12），可得AO＝＝13，
∴BC＝13，
∵AB∥CE，AB＝BD，
∴∠CED＝∠BAD＝∠ADB＝∠CDE，
∴CD＝CE，
∴AB+CE＝BD+CD＝13，即OC+CE＝13，
∴OE＝13，
∴E（13，0），
由A（5，12），E（13，0），可得AE的解析式为y＝﹣x+，
解方程组，可得，，
∴点D的坐标为（8，）．
故答案为：（8，）；
解法2：如图，过D作DH⊥x轴于H，过A作AG⊥x轴于G，
∵点A（5，12），
∴OG＝5，AG＝12，AO＝13＝BC，
∵∠AOG＝∠DCH，∠AGO＝∠DHC＝90°，
∴△AOG∽△DCH，
∴可设CH＝5k，DH＝12k，CD＝13k，
∴BD＝13﹣13k，
∴OC＝AB＝13﹣13k，
∴OH＝13﹣13k+5k＝13﹣8k，
∴D（13﹣8k，12k），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12）和点D，
∴5×12＝（13﹣8k）×12k，
解得k＝，
∴D的坐标为（8，）．
故答案为（8，）．
16．【解答】解：∵点A（2，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝﹣图象上的两点，
∴y1＝﹣＝﹣6，y2＝﹣＝﹣4，
∴y1＜y2．
故答案为＜．
17．【解答】解：当y＝6时，6＝﹣，则x＝﹣．
故答案为：﹣．
18．【解答】解：由题意可知OA＝OB，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∵点C为x轴上一点，∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∵∠OCB+∠ACD＝∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠ABC，
设点A为（，a），则OD＝，AD＝a，
∵tan∠ABC＝，
∴tan∠CAD＝＝，
∴CD＝，
∴OA＝OC＝+a，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴（+a）2＝（）2+a2，
解得，a＝2或﹣2（舍弃），
∴OC＝，AD＝2
∴S△ABC＝2S△AOC＝2×××2＝5，
故答案为5．
三．解答题（共8小题）
19．【解答】解：∵y1与x成正比例．y2与x成反比例，
∴设y1＝ax（a≠0），y2＝（k≠0），
∴y＝y1+y22＝ax+，
∵当x＝2和x＝3时．y的值都为19，
∴代入得：，
解得：a＝5，k2＝36，
所以y与变量x的函数关系式是y＝5x+．
20．【解答】解：（1）∵x＝5cm，y＝6cm，上底长是下底长的，
∴下底长为15cm，
∴梯形的面积＝×（5+15）×6＝60，
∴梯形的高＝
∴y＝＝；
（2）当y＝4cm时，x＝7.5，
∴3x＝22.5．
答：下底长22.5cm．
21．【解答】解：（I）设解析式为y＝，
把点（2，﹣2）代入解析式得，
﹣2＝，
解得：k＝﹣4
∴反比例函数的解析式y＝﹣；
（II）当y＝2时，x＝﹣2，
如图，
所以当y≥2时，﹣2≤x＜0．
22．【解答】解：（1）函数图象位于第一、三象限；根据反比例函数的性质，2﹣m＞0，m＜2；
（2）在每一象限内，y随x的增大而增大；根据反比例函数的性质，2﹣m＜0，m＞2．
23．【解答】解：（1）由解得或，
∴点A坐标（3，1），点B坐标（﹣1，﹣3），
设直线AB为y＝kx+b，
由题意：解得，
∴直线AB为y＝x﹣2，
∴与y轴交于点C（0，﹣2），
∴S△AOB＝S△OCB+S△OCA＝×2×1+×2×3＝4；
（2）由图象可知：一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围是0＜x＜3或x＜﹣1，
故答案0＜x＜3或x＜﹣1．
24．【解答】解：（1）由题意得，250×1.2＝pd，
则p＝．
（2）当d＝2.4m时，p＝125．
所以杆的另一端所施加的压力为125N．
25．【解答】解（1）设CD段所在双曲线的解析式为y＝（k＞0），
把C（25，40）代入上式得，，
∴k＝1000，
∴上课25min后学生的注意力指标数与上课时间所满足的函数表达式为y＝．
（2）对于AB段：y＝2x+20（0≤x＜10），
当y＝30时，
2x+20＝30，
∴x＝5，
对于CD段：y＝，
当y＝30时，
＝30，
∴x＝，
∵﹣5＝＞22，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力指标数不低于30的状态下讲完这道题目．
26．【解答】解：（1）由题意AB＝OC＝8cm，AO＝BC＝6cm，∠B＝90°，
∵PA＝2t，BQ＝t，
∴PB＝8﹣2t，
∵△BPQ的面积为4cm2，
∴ （8﹣2t） t＝4，
解得t＝2，
∴t＝2s时，△PBQ的面积为4．
（2）①当△BPQ∽△BAC时，＝，
∴＝，
解得t＝．
②当△BPQ∽△BCA时，＝，
∴＝，
解得t＝，
∴t为s或s时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
（3）由题意P（2t，6），Q（8，6﹣t），
∵反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q两点，
∴12t＝8（6﹣t），
解得t＝，
∴P（，6），
∴m＝，
∴反比例函数的解析式为y＝．

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