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专题02公式法解决等差数列问题
若干个数按一定顺序排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的总数称为项数。如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个数，这个数列叫做等差数列，这个差叫做公差。 解答等差数列问题，主要运用下面三个公式： 通顶公式：第n项=首项＋（n-1）×公差 项数公式：项数=（末项-首项）一公差+1 （3）求和公式：和=（首项＋末项）×项数-2
1．欢欢看一本书，每天都比前一天多看4页，第一天看了12页，他一共看了 　 　天，这本书一共有 　 　页。
2．三个连续偶数的和是138，这三个偶数分别是 　 　、　 　、　 　。
3．小猴第一天摘了18个桃，以后每天都比前一天多摘6个，它第5天摘了 　 　个桃子。
4．首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和是　 　．
5．明明读一本课外书，第一天读了12页，以后每天比前一天多读6页，他共读了几天？
6．建材仓库有一批水泥管，一层一层堆成梯形，最上面一层有5根水泥管，一共堆6层。这批水泥管有多少根？
7．“春晖影视城”贵宾厅一共有8排座位．第一排有12个座位，后面每排都比前面一排多2个座位．这个贵宾厅一共有多少个座位？
8．爷爷奶奶们在人民广场跳广场舞，第一排有6人，后面每排比前一排多2人，跳广场舞的一共有多少人？
9．学校礼堂共有30排，已知第一排是15个座位，以后每排比前一排多2个座位，求一共有多少个座位？
10．一桶水5分钟可以倒完．已知第一分钟倒出3.5升，以后每分钟都比前一分钟多倒出0.3升．这桶水有多少升？
11．妈妈的消费卡上积了35次分，最低一次积41分，最高一次积了179分，且这些积分成等差数列，你知道最中间一次积分是多少吗？
12．刘芳家所在的城市，电话号码已升到八位．她家的电话号码很有趣，千万位上的数字是8，任意相邻的三个数字的和是18．你能说出刘芳家的电话号码吗？这个数约等于多少万？
13．小军开始学认字，从第1天开始每天认字的个数都是前一天的2倍，第5天已经认识了32个字了，小军认识8个字的时候是第几天？
14．每年的母亲节，思思都会给妈妈折纸鹤，祝福妈妈健康快乐。从第二年开始。每年都会比前一年多折5只，那么思思第一年折了多少只？
15．某剧院第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有72个座位，这个剧院共有多少个座位？
16．小华看一本书，第一天看了3页，以后每一天比前一天多看的页数相同，刚好看完，问这本书共多少页？每天比前一天多看多少页？
17．一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，那么首项是多少？
18．小朋友们玩跳绳游戏，游戏规则是：第一个人跳3下，第二个人跳5下，第八个人应该跳多少下？
19．解放路实验学校报告厅共有20排座位。其中第一排有15个座位，后面一排都比前一排多1个座位，这个报告厅一共有多少个座位？
20．某森林公园计划将园林中的150棵松树栽在它附近的一条公路旁．第一棵栽在离园林300米的地方，以后每隔50米栽一棵．公园有一辆汽车，每次能运送9棵松树，用这辆汽车将这150棵松树从园林运到目的地，然后返回园林，最少要行驶多少米
21．观察数列的规律：1，3，1，7，1，11，1，15，1，19，1，23，…，39。观察上面数列的规律，请问：
（1）数列中有多少个1？
（2）数列中所有数的总和是多少？
22．把248表示成8个连续偶数的和，其中最大的那个偶数是多少？
23．安康市体育场南看台有30排座位，每后面一排都比前一排多2个座位，最后一排有132个座位，体育场南看台共有多少个座位？
24．明明用棋子摆了一个五层圈，每两层棋子的个数相差5个，最内层用了18个棋子，一共用了多少个棋子？
25．在一次考试中，第一组同学的分数恰好构成了公差为3的等差数列，总分为609，冬冬发现自己的分数算少了，找老师更正后，加了21分，这时他们的成绩还是一个等差数列．请问：冬冬正确的分数是多少？
26．小王和小高同时开始工作，小王第一个月得到1000元工资，以后每月多得60元；小高第一个月得到500元工资，以后每月多得45元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？
27．文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个．文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？
28．甲乙两人都住在同一胡同的同一侧，这一侧的门牌号码是连续的奇数．甲住21号，乙住193号．甲、乙两人的住处相隔着多少个门？
1．【考点】等差数列．版权所有
【答案】5，100。
【分析】最后一天比第一天一共多看了（28﹣12）页，（28﹣12）里有多少个4，算出多少天，再加上第一天即可算出；最后把每天看的页数相加计算即可。
【解答】解：28﹣12＝16（页）
16÷4＝4（天）
5+1＝5（天）
12+（12+2）+（12+4+4））+（12+2+4+4）+28
＝12+16+20+24+28
＝100（页）
答：他一共看了5天，这本书一共有100页。
故答案为：5，100。
【分析】本题的关键是先求出一共读了多少天。
2．【考点】等差数列；奇数与偶数的初步认识．版权所有
【答案】44、46、48
【分析】根据偶数的含义可知，相邻的偶数相差2，已知三个连续偶数的和是138，首先求出这三个连续偶数的平均数（即中间的偶数），然后用平均数分别减2、加2即可求出另外两个偶数，据此解答。
【解答】解：138÷3＝46
46﹣2＝44
46+8＝48
所以这三个偶数分别是44、46。
故答案为：44、46。
【分析】此题考查的目的是理解偶数的意义，明确：相邻的偶数相差2。
3．【考点】等差数列．版权所有
【答案】42。
【分析】由题意可知，小猴每天摘桃子数构成一个公差为6的等差数列，由此根据高斯求和的求等差数列的末项公式完成即可。
【解答】解：18+（5﹣1）×2
＝18+24
＝42（个）
答：它第5天摘了42个桃子。
故答案为：42。
【分析】求等差数列的末项＝首项+（项数﹣1）×公差。
4．【考点】等差数列．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】由等差数列首项为5，末项为93，公差为4，得93＝5+（n﹣1）×4，由此能求出这个数列有多少项，再根据公式计算即可解答．
【解答】解：因为等差数列首项为5，末项为93，
所以93＝5+（n﹣8）×4，
解得n＝23．
（5+93）×23÷2
＝98×23÷2
＝1127
答：等差数列的和是1127．
故答案为：1127．
【分析】本题考查等差数列的通项公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
二．应用题（共15小题）
5．【考点】等差数列．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“第一天读了12页，以后每天比前一天多读6页，最后一天读了48页，”可知明明每天读课外书的页数是一个等差数列，数列的首项是12，末项是48，公差是6，所以根据高斯求和公式可以求出等差数列的项数，也就是他读的天数，列式为：（48﹣12）÷6+1＝7（天）．
【解答】解：（48﹣12）÷6+1，
＝36÷2+1，
＝7（天）；
答：他共读了2天．
【分析】本题能够看出明明每天读课外书的页数是一个等差数列是解题的突破口，知识点是：高斯求和的项数公式n＝（an﹣a1）÷公差+1．
6．【考点】等差数列．版权所有
【答案】45根。
【分析】已知最上面一层有5根，每下一层就多1根，一共堆6层。可以先用算式求出最底下一层的根数是10根（也可以每层加1，直接数出来是10根）；再根据等差数列公式：（首数+尾数）×项数÷2＝和，代入数据计算即可。
【解答】解：6﹣1+3＝10（根）
（5+10）×6÷5
＝15×6÷2
＝45（根）
答：这批水泥管有45根。
【分析】此题主要考查了等差数列的求和公式，要熟练掌握。
7．【考点】等差数列．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可知，8排座位总数是首项为12，公差为2，项数为8的等差数列，根据“首项+公差×（项数﹣1）＝末项”可求得末项是多少，再根据“（首项+末项）×项数÷2＝数列和”解答即可．
【解答】解：第8排的座位数：
12+（8﹣3）×2
＝12+14
＝26（个）
这个贵宾厅一共设置的座位总数是：
（12+26）×8÷3
＝38×8÷2
＝152（个）
答：这个贵宾厅一共有152个座位．
【分析】本题考查了高斯求和公式的实际应用，相关的知识点是：和＝（首项+末项）×项数÷2；首项＝末项﹣公差×（项数﹣1）；末项＝首项+公差×（项数﹣1）；项数＝（末项﹣首项）÷公差+1．
8．【考点】等差数列．版权所有
【答案】36人。
【分析】第一排有6人，第二排有（6+2）人，第三排有（6+2+2）人，第四排有（6+2+2+2）人，全部相加即可。
【解答】解：6+6+5+6+2+2+6+2+7+2
＝6+8+10+12
＝36（人）
答：跳广场舞的一共有36人。
【分析】此题的关键是明确每一排的人数，然后再进一步解答。
9．【考点】等差数列．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】本题中，欲求剧场一共设置了多少个座位，需要先求得最后一排有多少个座位．由题意知，第30排的座位数是：15+（30﹣1）×2＝73，那么剧场一共设置的座位数是：15+17+19+…+71+73；简单速算可得解．
【解答】解：第20排的座位数：15+（30﹣1）×2＝73（个）；
这个剧场一共设置的座位总数是：
15+17+19+…+71+73
＝（15+73）×30÷6
＝88×30÷2
＝1320（个）．
答：共有1320个座位．
【分析】等差数列应用题的解题方法是：先求得数列中的最后一个数的值即最后一排的座位数，然后再根据公式计算等差数列的和．
10．【考点】等差数列．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据：以后每分钟都比前一分钟多倒出0.3升，求出以后每分钟各倒出多少升水；然后把它们相加，求出这桶水有多少升即可．
【解答】解：3.5+（4.5+0.2）+（3.5+5.3×2）+（2.5+0.4×3）+（3.3+0.3×4）
＝3.5+4.8+4.4+4.4+5.7
＝20.5（升）
答：这桶水有20.6升．
【分析】此题主要考查了加法、乘法的意义的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是求出以后每分钟各倒出多少升水．
11．【考点】等差数列．版权所有
【答案】最中间一次积分是110分。
【分析】等差数列前后相邻两项的差值都相等，33次积分的中间一次积分与最低分和最高分的差值都一样，即最低分和最高分的平均数。
【解答】解：（42+178）÷2
＝220÷2
＝110（分）
答：最中间一次积分是110分。
【分析】本题考查等差数列，知道等差数列前后相邻两项的差值都相等是解本题的关键。
12．【考点】数字问题．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据相邻的三个数字之和是18，可以求出十万上的数字是18﹣8﹣3＝7，那接下去万位上的数是18﹣3﹣7＝8，接下去算出其他位上的数，再根据千位上的数运用四舍五入取近似值．
【解答】解：
十万位数字：18﹣8﹣3＝2
万位数字：18﹣3﹣7＝6
千位数字：18﹣7﹣8＝2
百位数字：18﹣8﹣3＝2
十位数字：18﹣3﹣7＝2
个位数字：18﹣7﹣8＝6
这个数83783783，
83783783≈8378万
答：刘芳家的电话号码是83783783，这个数约等于8378万．
【分析】此题主要考查数位顺序表和取近似值的方法．
13．【考点】等差数列．版权所有
【答案】第3天。
【分析】从第1天开始每天认字的个数都是前一天的2倍，那么前一天的个数就是后一天的一半。已知第5天已经认识了32个字，逆推回去，第4天认识16个字，第3天认识8个字，问题得解。
【解答】解：32÷2＝16（个）
16÷2＝6（个）
答：小军认识8个字的时候是第3天。
【分析】此题主要考查了等差数列的知识和逆推的思想，要熟练掌握。
14．【考点】等差数列．版权所有
【答案】12只。
【分析】第二、三、四、五年分别比第一年多5、10、15、20只，共多50只。那么第一年折的只数是（120﹣50）÷5。
【解答】解：（120﹣5﹣10﹣15﹣20）÷5
＝60÷5
＝12（只）
答：思思第一年折了12只。
【分析】此题主要考查了等差数列的性质，要熟练掌握。
15．【考点】等差数列．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】把每排座位数可以看作是一个等差数列：末项是72，公差是2，首项是20，根据项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，可得项数是：（72﹣20）÷2+1＝27，然后根据高斯求和公式列式为：（20+72）×27÷2，然后解答即可求出总座位数．
【解答】解：（72﹣20）÷2+1
＝52÷8+1
＝26+1
＝27
（20+72）×27÷5
＝92×27÷2
＝1242（个）
答：这个剧院共有1242个座位．
【分析】本题关键是求出项数，然后根据高斯求和公式：和＝（首项+末项）×项数÷2代入数据解答即可．
16．【考点】等差数列．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可知，每天所看的页数组成一个等差数列，首项是3，末项是79，项数是20，根据等差数列通项公式：（首数+尾数）×项数÷2＝和即可求得这本书共多少页；再求得公差即可．
【解答】解：（3+79）×20÷2
＝82×10
＝820（页）
（79﹣4）÷（20﹣1）
＝76÷19
＝4（页）
答：这本书共820页，每天比前一天多看3页．
【分析】此题考查了等差数列通项公式：（首数+尾数）×项数÷2＝和的运用．
17．【考点】等差数列．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】解答该题，首先列出等差数列公式，根据已知条件，求出未知项．
【解答】解：设等差数列共n项，公差为d1，由题目条件可知，n＝10．根据公式an＝a1﹣（n﹣7）d，可以得出125＝a1﹣（10﹣1）×3，从而得出a1＝188，故首项是188． ．
【分析】关于等差数列问题，列出公式，根据题中已知项求出其他项．
18．【考点】等差数列．版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】第一个人跳3下，第二个人跳5下，第三个人跳7下，形成一个首项为3，公差为2的等差数列，求第八个人应该跳多少下，根据等差数列的公式，第n项＝首项+公差×（n﹣1），第八个人应该跳3+2×（8﹣1）＝17下，据此解答即可．
【解答】解：3+2×（3﹣1）
＝3+2×7
＝3+14
＝17（下）
答：第八个人应该跳17下．
故答案为：3+2×（8﹣8）＝17（下），17．
【分析】解答此题的关键是确定首项和公差，然后根据求等差数列第n项的公式代入数字计算即可．
19．【考点】等差数列．版权所有
【答案】490个。
【分析】报告厅的座位数＝（第一排座位个数+最后一排座位个数）×排数÷2。代入数值进行计算即可。
【解答】解：（15+20﹣1+15）×20÷2
＝49×20÷7
＝490（个）
答：这个报告厅一共有490个座位。
【分析】本题是一道有关梯形的面积、整数的四则混合运算的题目，理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
20．141100
【详解】由题意知我们需将种树的地点按离园林的距离由远至近每9个分成一组，但是其中的最后一组只有6个地点．(注意，为什么是由远至近来分组，而不是由近至远来分组)
汽车依次将树运到各组，需要走的路程最少是该组离园林最远的地点到园林距离的2倍．最远点离园林的距离为300+(150－1)×50＝7750，下一组最远点离园林的距离为7750－9×50＝7300，再下一组为7300－9×50＝6850，…，恰好构成一个公差为450的等差数列．
又由于150÷9＝16……6，故应共有17组，最后一项为：7750－(17－1)×450＝550．
于是汽车需要走的最少路程为：(7750＋550)×17÷2×2＝141100米．
21．（1）10；（2）220
【分析】（1）奇数项都是1，偶数项是公差为4的等差数列，偶数项是3，7，11，15，…，39，共有（39－3）÷4＋1＝10项，所以奇数项也有10项，有几项就是几个1；
（2）分别算出奇数项和偶数项之和，相加即可。
【详解】（1）奇数项有：（39－3）÷4＋1
＝36÷4＋1
＝9＋1
＝10
答：数列中有10个1。
（2）奇数项之和：10×1＝10
偶数项之和：（39＋3）×10÷2
＝42×10÷2
＝210
10＋210＝220
答：数列中所有数的总和是220。
【分析】找到数列的规律，即“奇数项都是1，偶数项是公差为4的等差数列”是解答此题的关键。
22．38.
【详解】试题分析：根据题意，可设最小的偶数是2N，因为是连续的8个偶数，从小到大排列出来，后一个都比前一个大2，再根据题意解答即可．
解：设最小的一个偶数为2N，由题意可得：
2N+2（N+1）+2（N+2）+…+2（N+7）=248
8×2N+0+2+4+…+14=248
16N+（0+14）×8÷2=248
16N+14×4=248
16N+56=248
16N=192
N=12
那么最大的一个偶数是：2（N+7）=2×（12+7）=2×19=38．
答：其中最大的那个偶数是38．
分析：根据题意可知，连续的偶数每相邻的两个相差都是2，设出最小的，一次排列出来，再根据题意列出方程进一步解答即可．
23．3090个
【分析】每后面一排都比前一排多2个座位，即这30排每排座位数构成一个公差为2的等差数列．由此据高斯求和公式计算即可：首项=末项﹣（项数﹣1）×公差，等差数列和=（末项+首项）×项数÷2．
【详解】132﹣（30﹣1）×2=132﹣29×2=132﹣58=74（个）；
（132+74）×30÷2=3090（个）．
答：体育场南看台共有3090个座位．
24．一共用了140个棋子
【分析】由题意可知，棋子数从第一层开始按照18，23，28……数字排列，这是一个首项是18，公差是5，项数为5的等差数列。求棋子的总数即求这个等差数列的和。
【详解】18＋5×（5－1）
＝18＋20
＝38（个）
（18＋38）×5÷2
＝56×5÷2
＝140（个）
答：一共用了140个棋子。
【分析】本题主要考查了等差数列的应用。根据题意，结合等差数列的公式，对应找出各个量是解决本题的关键。
25．99分.
【详解】试题分析：由冬冬加21分，依然是等差数列，可知冬冬的成绩从最低变成最高，依此可求第一组同学的总人数为21÷3=7人，再根据等差数列求项公式得到冬冬的正确成绩为609÷7+3×4=99分．
解：21÷3=7（人）
609÷7+3×4
=87+12
=99（分）．
答：冬冬正确的分数是99分．
分析：考查了等差数列，本题关键是得到第一组同学的总人数．
26．6990元
【分析】先分别求出12个月相差的钱数，再根据等差数列求和公式即可求解。
【详解】1000﹣500＝500（元）
500＋（60﹣45）×11
＝500＋15×11
＝500＋165
＝665（元）。
（500＋665）×12÷2
＝1165×12÷2
＝6990（元）
答：所得的工资总数相差6990元。
【分析】考查了等差数列及等差数列求和公式，关键是得到第12个月小王和小高的工资差。
27．228
【详解】文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21．
首项=3，末项=21，公差＝1，所以项数=（21-3）+1=19．
文丽在这些天中共学会了：（3+21）×19÷2=228(个)
答：文丽在这些天中共学会了228个英语单词．
28．60个
【详解】已知a1＝21，an＝193，d＝2
由n＝（an－a1）÷d＋1＝（193－21）÷2＋1＝87
因求甲、乙住处相隔多少个门，所以得87－2＝85

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