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1集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念
元素与集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).
集合的元素特征
① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合.
② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
Eg：若集合，就意味且.
③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.
Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，.
元素与集合的关系
若是集合的元素，则称属于集合，记作；
若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.
Eg：菱形，.
常用数集
自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作；
有理数集，记作；实数集，记作.
集合的分类
有限集，无限集，空集.
Eg：奇数集属于无限集，.
集合的表示方法
① 列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法.
② 描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.
用符号描述法表示集合时应注意：
弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？
元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.
Eg：
———方程的解，即；
———不等式的解集，即；
———函数的定义域，即；
———函数的值域，即；
———函数的图像，它是个点集.
例1．下列所给对象能构成集合的是（　　）
A．2020年全国I卷数学试题的所有难题 B．比较接近2的全体正数
C．未来世界的高科技产品 D．所有整数
【答案】D
【解析】【解答】选项的对象都具有不确定性，所以它们的对象不能构成集合；而选项的对象具有确定性，能构成集合。
故答案为：D
例2．下列各组对象不能构成集合的是（　　）
A．1~10之间的所有奇数 B．北方学院2022级大学一年级学生
C．滑雪速度较快的人 D．直线上的所有的点
【答案】C
【解析】【解答】由于集合中的元素满足确定性，
ABD选项中的对象均满足确定性，而C选项中，滑雪速度的快慢没有确切的标准，所以这组对象不能构成集合。
故答案为：C．
例3．已知集合，则-1与集合A的关系为（　　）
A．-1 A B．-1 A C． D．
【答案】C
【解析】【解答】由已知可得，-1是集合中的元素，根据元素与集合之间的关系，知.
故答案为：C.
例4．下列关系中正确的个数是（　　）
①；②；③；④；⑤；
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】因为，，，故①②④正确，
而，，或，故③⑤错误，
故答案为：B.
例5．已知集合，则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】由题意知集合，
故，A不符合题意；
，B不符合题意；
，C符合题意；
，D不符合题意。
故答案为：C.
例6．已知，集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】，解得：或，
所以或，
因为，所以，A不符合题意，B符合题意，
显然，所以C不符合题意，
而，所以D不符合题意．
故答案为：B
例7．集合，若，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵集合，，
∴，即。
故答案为：C
例8．）给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】是实数，①正确；是无理数，②错误；是整数，③错误；是自然数，④错误；0是有理数，⑤错误，所以正确的个数为1．
故答案为：A．
例9．已知集合，，则（　　）
A． B．或 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵，∴或．
若，解得或．
当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，集合，满足题意，故成立．
若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．
综上所述，。
故答案为：D．
例10．若，，，为集合A的4个元素，则以，，，为边长构成的四边形可能是（　　）
A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形
【答案】C
【解析】【解答】因为，，，为集合的四个元素，所以两两都不相等，因为菱形、正方形的四边相等，所以AD不符合题意；平行四边形的对边相等，所以B不符合题意.
故答案为：C.
例11．若，则a的值为（　　）
A．-1或1或2 B．-1或1 C．-1或2 D．2
【答案】D
【解析】【解答】因为，
所以或3或，
当时，即，此时集合中元素为1，3，1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，即，此时集合中元素为1，3，1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1，3，4，符合题意.
故答案为：D
例12．已知集合 ，若 ，则 中所有元素之和为（　　）
A．3 B．1 C．-3 D．-1
【答案】C
【解析】【解答】若 ，则 ，矛盾；
若 ，则 ，矛盾，故 ，
解得 （舍）或 ，
故 ，元素之和为 ，
故答案为：C.
例13．集合 的另一种表示法是（　　）
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
【答案】B
【解析】【解答】因为 ，
又 ，
得 ，
故 的可能取值为 ，
故答案为：B.
例14．用列举法表示　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：因为且，所以或或或，
解得或或或，
所以对应的分别为、、、，
即；
故答案为：
例15．将集合 用列举法表示为　 　.
【答案】{（2,4），（5,2），（8,0）}
【解析】【解答】 ， ，且 、 ， 为偶数且 .
当 时， ；当 时， ；当 时， .
故答案为{（2,4），（5,2），（8,0）}
例16．用列举法表示集合 ：　 　.
【答案】
【解析】【解答】∵ ， ，∴ .此时 ，即 .
例17．用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数组成的集合；
（2）不等式的解集；
（3）方程的所有实数解组成的集合；
（4）抛物线上所有点组成的集合；
（5）集合.
【答案】（1）解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：
（2）解：不等式的解集，用描述法可表示为：.
（3）解：方程的所有实数解组成的集合，
用描述法可表示为：.
（4）解：抛物线上所有点组成的集合，
用描述法可表示为：.
（5）解：集合，用描述法可表示为：且.
例18．已知集合 ， ，设全集 .
用列举法表示集合A集合B；
【答案】（1） ， ；
课后练习:
1.下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（　　）
A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合
C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合
【答案】C
【解析】【解答】A：“很大的实数”的标准不确定，故不能组成集合，错误；
B：满足不等式的所有整数解为有限集，错误；
C：所有大于的偶数组成的集合为，为无限集，正确；
D：所有到轴距离均为1的点组成的集合中只有4个元素，错误.
故答案为：C
2．下列表述正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】对于A，因为是整数集，所以，A符合题意；
对于B，因为是实数集，所以，B不符合题意；
对于C，因为是有理数集，所以，C不符合题意；
对于D，因为是自然数集，所以，D不符合题意.
故答案为：A.
3．下列元素与集合的关系中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】，，，。
故答案为：B.
4．判断下列元素的全体是否能组成集合：①湖北省所有的好学校；②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；③ 的近似值；④不大于5的自然数（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】【解答】①湖北省所有的好学校，不具有确定性，不能构成集合；
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，可以构成集合；
③ 的近似值，不具有确定性，不能构成集合；
④不大于5的自然数时0，1，2，3，4，能构成集合.
故答案为：C.
5．已知集合A={ }， ，则 等于（　　）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或
【答案】D
【解析】【解答】因为 ，所以 或 ，
当 时，解得 或 ，
当 时，此时集合 ，符合集合元互异性，
当 时， ，不符合集合元互异性，
当 时， ，此时 ，符合集合元互异性，
所以 等于1或 ，
故答案为：D
6．已知 其 ，则由 的值构成的集合是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： ，
当 ，即 时， ，集合中有相同元素，舍去；
当 ，即 （舍）或 时， ，符合，
故由 的值构成的集合是 .
故答案为：D
7．集合，用列举法表示是　 　.
【答案】
【解析】【解答】 。
故答案为： 。
8．已知集合 ，用列举法表示为　 　.
【答案】
【解析】【解答】由 ，得 ，
.
故答案为： .
9．集合 用列举法表示为　 　.
【答案】{1,2,3,4}
【解析】【解答】因为 ，所以 可取 ，分别列方程解出 的值， 结合 ，可得a的值为 ，即 {1,2,3,4}，故答案为{1,2,3,4}。
10．集合 用列举法表示应是　 　.
【答案】{1,2,3}
【解析】【解答】由题意， .
故答案为：{1,2,3}.
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1集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念
元素与集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).
集合的元素特征
① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合.
② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
Eg：若集合，就意味且.
③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.
Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，.
元素与集合的关系
若是集合的元素，则称属于集合，记作；
若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.
Eg：菱形，.
常用数集
自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作；
有理数集，记作；实数集，记作.
集合的分类
有限集，无限集，空集.
Eg：奇数集属于无限集，.
集合的表示方法
① 列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法.
② 描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.
用符号描述法表示集合时应注意：
弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？
元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.
Eg：
———方程的解，即；
———不等式的解集，即；
———函数的定义域，即；
———函数的值域，即；
———函数的图像，它是个点集.
例1．下列所给对象能构成集合的是（　　）
A．2020年全国I卷数学试题的所有难题 B．比较接近2的全体正数
C．未来世界的高科技产品 D．所有整数
例2．下列各组对象不能构成集合的是（　　）
A．1~10之间的所有奇数 B．北方学院2022级大学一年级学生
C．滑雪速度较快的人 D．直线上的所有的点
例3．已知集合，则-1与集合A的关系为（　　）
A．-1 A B．-1 A C． D．
例4．下列关系中正确的个数是（　　）
①；②；③；④；⑤；
A．2 B．3 C．4 D．5
例5．已知集合，则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
例6．已知，集合，则（　　）
A． B． C． D．
例7．集合，若，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
例8．）给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
例9．已知集合，，则（　　）
A． B．或 C． D．
例10．若，，，为集合A的4个元素，则以，，，为边长构成的四边形可能是（　　）
A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形
例11．若，则a的值为（　　）
A．-1或1或2 B．-1或1 C．-1或2 D．2
例12．已知集合 ，若 ，则 中所有元素之和为（　　）
A．3 B．1 C．-3 D．-1
例13．集合 的另一种表示法是（　　）
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
例14．用列举法表示　 　．
例15．将集合 用列举法表示为　 　.
例16．用列举法表示集合 ：　 　.
例17．用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数组成的集合；
（2）不等式的解集；
（3）方程的所有实数解组成的集合；
（4）抛物线上所有点组成的集合；
（5）集合.
例18．已知集合 ， ，用列举法表示集合A集合B；
课后练习:
1.下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（　　）
A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合
C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合
2．下列表述正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列元素与集合的关系中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．判断下列元素的全体是否能组成集合：①湖北省所有的好学校；②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；③ 的近似值；④不大于5的自然数（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
5．已知集合A={ }， ，则 等于（　　）
A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或
6．已知 其 ，则由 的值构成的集合是（　　）
A． B． C． D．
7．集合，用列举法表示是　 　.
8．已知集合 ，用列举法表示为　 　.
9．集合 用列举法表示为　 　.
10．集合 用列举法表示应是　 　.
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