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专题3.6 一元一次不等式（组）含参及新定义问题
模块1：学习目标
1、熟练掌握已知不等式的解（解集）的情况求参数；
2、能解决不等式相关的新定义问题。
模块2：知识储备
含参问题的解题步骤：
①将参数当成“常数”解出不等式组；②根据解（解集）的情况确定参数值或范围：
1）“根据不等式组的解集确定参数的取值范围”、“逆用不等式组的解集确定参数的取值范围”类型利用不等式组解集口诀确定出参数的取值范围；
2）“根据不等式组的整数解情况确定确定参数的取值范围”需要借助数轴与不等式组解集口诀确定出参数的取值范围。
注：参数取值范围是否取等于号需要将参数带进不等式中验证，不能凭感觉。而且需要注意的是带进去的是参数的值，并不是的值。
模块3：核心考点与典例
考点1、根据不等式（组）的解集确定参数的取值范围
例1．（2022·浙江余杭·八年级阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意直接根据已知解集得到，即可确定出的范围．
【详解】解：不等式的解集为，，解得：．故选：C．
【点睛】本题考查不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
变式1．（2022·黑龙江·九年级期末）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___ ．
【答案】x<
【分析】据不等（2a b）x＋a 5b＞0的解集是x＜1，可得a与b的关系，根据解不等式的步骤，可得答案．
【详解】解；不等式（2a b）x＋a 5b＞0的解集是x＜1，∴2a b＜0，2a b＝5b a，a＝2b，b＜0，
2ax b＞0 4bx b＞0 4bx＞b x<，故答案为：x<．
【点睛】本题考查了不等式的解集，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
例2．（2022·江苏·八年级专题练习）若不等式组的解集为．则关于、的方程组的解为_____________．
【答案】
【分析】根据已知解集确定出a与b的值，代入方程组求出解即可．
【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，
∵不等式组的解集为-2把y=1代入①得：x=2，则方程组的解为，故答案为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式2．（2022·河北·石家庄市八年级期末）已知关于x的不等式组的解集是﹣1＜x＜3，则（m＋n）2021＝_______．
【答案】-1
【分析】分别求得两个不等式的解集（含m、n的式子表示），然后根据不等式组的解集为-1＜x＜3得到关于m、n的二元一次方程组，可求得m、n的值，最后即可求得代数式（m+n）2021的值．
【详解】解：解不等式x-3m＜0得：x＜3m，解不等式n-3x＜得：x＞，
∵不等式组的解集为-1＜x＜3，∴，解得：，∴（m+n）2021=-1．故答案为：-1．
【点睛】本题是一道综合性的题目．考查了不等式组和二元一次方程组的解法，将不等式组问题转化为方程组问题是解题的关键．
例3．（2022·浙江·宁波八年级期中）已知关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在﹣1≤x≤3的范围内，则a的取值范围是（　　）
A．﹣5≤a≤6 B．a≥6或a≤﹣5 C．﹣5＜a＜6 D．a＞6或a＜﹣5
【答案】B
【分析】据解不等式组，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集是与﹣1≤x≤3的关系，可得答案．
【详解】解：不等式组，得a﹣3＜x＜a+4，
由不等式组的解集中任意一个x的值均不在﹣1≤x≤3的范围内，得
a+4≤﹣1或a﹣3≥3，解得a≤﹣5或a≥6，故选：B．
【点睛】本题考查不等式的解集，用解集中任意一个x的值均不在﹣1≤x≤3的范围内得出不等式是解题关键．
变式3．（2022·浙江·杭州八年级期中）已知不等式组2＜x﹣1＜4的解都是关于x的一次不等式3x≤2a﹣1的解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤5 B．a＜5 C．a≥8 D．a＞8
【答案】C
【分析】先求出不等式组2＜x﹣1＜4的解集，再求出一次不等式3x≤2a﹣1的解集，根据一次不等式解集的分界点在5以及其右边，列不等式求解即可．
【详解】解：∵2＜x﹣1＜4，∴3＜x＜5，∵一次不等式3x≤2a﹣1，解得，
∵满足3＜x＜5都在范围内，∴，解得．选择C．
【点睛】本题考查不等式组的解集与一次不等式的解集关系，利用解集的分界点在5以及5的右边部分得出不等式是解题关键．
例4．（2022·浙江·八年级阶段练习）不等式组的解是x＞a，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a=3 C．a＞3 D．a≥3
【答案】D
【分析】根据不等式组的解集为x＞a，结合每个不等式的解集，即可得出a的取值范围．
【详解】解：∵不等式组的解是x＞a，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了求不等式组的解集的方法，熟记口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解本题的关键．
变式4．（2022·黑龙江·中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是________．
【答案】##
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．
【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，
关于的不等式组的解集为，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
考点2、逆用不等式组的解集确定参数的取值范围（有解、无解）
例1．（2022·浙江·杭州八年级期中）若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是______．
【答案】a＞3
【分析】由题意直接根据不等式组的解集的表示方法进行分析可得答案．
【详解】解：由题意得：a＞3，故答案为：a＞3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
变式1．（2022·重庆八年级期中）如果关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，且关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先解关于y的不等式组可得解集为，根据关于y的不等式组有解可得，由此可得，再解关于x的方程可得解为，根据关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解可得的值为整数，由此可求得整数a的值，由此即可求得答案．
【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为，∵关于y的不等式组有解，∴，解得：，
∵ax﹣3（x+1）＝1﹣x，∴ax﹣3x﹣3＝1﹣x，∴ax﹣3x＋x＝1＋3，∴(a﹣2)x＝4，
∵关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，a为整数，
∴a﹣2＝4，2，1，﹣1，﹣2，﹣4，解得：a＝6，4，3，1，0，﹣2，
又∵，∴a＝4，3，1，0，﹣2，∴符合条件的所有整数a的个数为5个，故选：C
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组、解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
例2．（2022·简阳·八年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x＞y，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为 _____．
【答案】
【分析】解二元一次方程组，根据x＞y列出不等式，即可求得，解不等式组，根据不等式组无解求得，进而根据题意求得符合条件的整数，求和即可
【详解】解：①+②得解得，
将代入②得：解得 解得
由解不等式③得：解不等式④得：
不等式组无解解得
则所有符合条件的整数a为：,其和为故答案为：7
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，根据题意求得符合题意的整数是解题的关键．
变式2.（2022·浙江期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】解：∵不等式组无解，∴m-1≥1，解得：m≥2，故答案为：C．
考点3、根据不等式组的整数解情况确定参数的取值范围
例1．（2022·重庆八年级期中）若整数使关于的一次函数不经过第三象限，且使关于的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为_____．
【答案】5
【分析】先根据一次函数不经过第三象限，得出，根据不等式组的解集不等式组的解集为，有且仅有4个整数解为2，1，0，-1，得出，综合得出，根据a为整数，求出a的值，再求和即可．
【详解】解：关于的一次函数不经过第三象限，，解得，
，解不等式①得，解不等式②，
∴不等式组的解集为，∵不等式组有且仅有4个整数解为2，1，0，-1，
∴，解得，∴，
∵为整数，∴或，∴2+3=5．故答案为：5．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解不等式组，根据不等式组的整数解列不等式组，掌握一次函数的性质，解不等式组，根据不等式组的整数解列不等式组是解题关键．
变式1．（2022·河南汤阴·八年级期末）若关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围为__________．
【答案】
【分析】先解不等式，求出不等式的解集，然后根据有三个整数解，求出a的取值范围．
【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，
∴不等式组的解集为：，
∵该不等式组恰好三个整数解，∴∴故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是掌握一元一次不等式组的解法．
例2．（2022·黑龙江·八年级期中）关于的不等式组有解且不超过3个整数解，若，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解不等式组，在根据不超过3个整数解，确定的取值范围，即可得出结论．
【详解】解：，解不等式得， 解不等式得，，
因为不等式组有解，故解集为：，
因为不等式组有不超过3个整数解，所以，，
把代入，，解得，故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，解题关键是熟练解不等式组，根据有解和整数解的个数列出不等式组．
变式2．（2022·重庆八年级阶段练习）如果关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的方程3y+6a=22-y的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的积为（ ）
A．-3 B．3 C．-4 D．4
【答案】A
【分析】先求解不等式组，根据解得范围确定的范围，再根据方程解的范围确定的范围，从而确定的取值，即可求解．
【详解】解：由关于x的不等式组解得
∵关于x的不等式组有且只有3个奇数解∴，解得
关于y的方程3y+6a=22-y，解得∵关于y的方程3y+6a=22-y的解为非负整数
∴，且为整数解得且为整数
又∵，且为整数∴符合条件的有、、
符合条件的所有整数a的积为故选：A
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法及一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法及一元一次方程的解法是解题的关键．
例3．（2022·重庆丰都·八年级期末）如果关于的不等式组的整数解仅有，，那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】解不等式组，然后根据不等式组的整数解仅有1，2即可确定，的范围，即可确定，的整数解，即可求解．
【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，
不等式组的解集为，不等式组的整数解仅有1、2，，，
解得：，，整数有1；2；3，整数有；，
整数、组成的有序数对有；；；；；，共6个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了不等式组的整数解，根据不等式组整数解的值确定，的取值范围是解决问题的关键．
变式3．（2022·浙江·金华市八年级期中）不等式的整数解是1，2，3，4．则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定 再分析不符合题意，确定 再解不等式，结合不等式的整数解可得：，从而可得答案.
【详解】解： 显然：
当时，不等式的解集为：，不等式没有正整数解，不符合题意，
当时，不等式的解集为： 不等式的整数解是1，2，3，4，
由①得： 由②得： 所以不等式组的解集为：故选A
【点睛】本题考查的是根据不等式的整数解确定参数的取值范围，掌握“解不等式时，不等式的左右两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向改变”是解题的关键.
例4．（2022·四川绵阳·八年级期末）若关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是__．
【答案】或
【分析】先求出不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得和为 5即可得出答案．
【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，
不等式组所有整数解的和为，不等式组的整数解为、或、、、0、1，
或，解得或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．
变式4．（2022·云南德宏·八年级期末）已知关于x的不等式组的所有整数解的和为－7，则m的取值范围为____．
【答案】4＜m≤6或－6＜m≤－4
【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，∵不等式组的所有整数解的和为－7，
∴不等式组必有整数解-4，-3或是-4，-3，-2，-1，0，1,2，
∴，，∴4＜m≤6或－6＜m≤－4，故答案为：4＜m≤6或－6＜m≤－4．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．
考点4、根据方程的解或者解之间的关系确定参数的取值范围
例1．（2022·重庆·八年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【分析】先将二元一次方程组的解用a表示出来，然后再根据题意列出不等式组求出
的取值范围，进而求出所有a的整数值，最后求和即可．
【详解】解：解关于x，y的二元一次方程组，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为正数，∴，∴3＜a＜7，
∴满足条件的所有整数a的和为4+5+6＝15．故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组等知识点，根据题意求得a的取值范围是解答本题关键．
变式1．（2022·山东桓台·八年级期末）已知：方程组的解中，是非负数，是正数．求整数的值．
【答案】0，1，2
【分析】先加减消元法解二元一次方程求出，根据是非负数，是正数．列不等式组解不等式组求出即可．
【详解】解：，①+②得3x=-k+2，解得，
把代入①得：所以方程组的解为，
∵是非负数，是正数．，解不等式得①，解不等式的②，∴ ，
∵为整数，∴整数的值为0，1，2．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，列不等式组与解不等式组，根据范围确定整数解，掌握二元一次方程组的解法，加减消元法与代入消元法，列不等式组与解不等式组，根据范围确定整数解是解题关键．
例2．（2022·成都市锦江区八年级阶段练习）若方程组的解是（m为常数），方程组的解x、y满足，则m的取值范围为______．
【答案】
【分析】先将转化为与已知的方程组联合起来代数求出和的值即可．
【详解】方程组，可转换为，
∵方程组的解集为，
∴方程组的解为：，
由②-①得：，，把代入①得：，
∴，∴，故答案为：m>2．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入法是解题的关键．
变式2．（2023·山东滨州·模拟预测）关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将2个方程相加得出，根据不等式的解集的情况，得出，进而即可求解．
【详解】解：
由得：∴，
∵，∴解得：，故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出的表达式是解答此题的关键．
考点5、不等式的新定义问题
【解题技巧】新定义问题解决方法：根据根据题干中的定义和不等式的相关问题解决即可。
例1．（2022·江苏淮安·八年级期末）我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为．如：．如果有，求的解集．
【答案】x的解集为．
【分析】题意列出不等式，然后去括号、移项、合并同类项，再把x的系数化为1即可得不等式解集．
【详解】解：由题意得，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
把x的系数化为1得：，
x的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，理解题目中定义的新运算，正确掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．
变式1．（2022·广西岑溪·八年级期中）对于任意实数、，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】先根据定义得出2※x＝x+1，再结合1＜2※x≤7得出关于x的不等式组，解之可得答案．
【详解】解：∵2※x＝2x﹣2﹣x+3＝x+1，∴1＜x+1＜7，解得0＜x＜6，
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
例2．（2022·河南济源·八年级期末）对x，y定义一种新的运算G，规定：G（x，y）＝例如：G（2，1）＝2﹣2×1＝0，若关于p（p＞0）的不等式组恰好有两个整数解，则a的取值范围是____
【答案】12≤a＜16
【分析】根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有2个整数解，求出a的范围即可．
【详解】解：根据题意得：G（x，y）=，
∵p＞0，∴3p＞p，-2-3p＜-2p∴G（3p，p）=3p-2p＞-3，解得p＞-3；
G（-2-3p，-2p）=-2p-2（-2-3p）=4p+4≤a，解得p≤，∴不等式组的解集为-3＜p≤，
又∵p＞0，∴0＜p≤，∵不等式组恰好有2个整数解，即p=1，2．
∴2≤＜3，解得：12≤a＜16，故答案为：12≤a＜16．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，根据新定义化简不等式组，并熟练掌握解一元一次不等式组的能力、根据其整式解个数得出关于a的不等式组是解题的关键．
变式2．（2022·江苏·八年级专题练习）对于任意实数m、n，定义一种运算m※n＝mn﹣m﹣n+3，例如：3※5＝3×5﹣3﹣5+3＝10．请根据上述定义解决问题：若a＜4※x＜7，且解集中有三个整数解，则整数a的取值可以是_________．
【答案】
【分析】利用题中的新定义列出不等式组，求出解集即可确定出a的范围．
【详解】根据题中的新定义化简得：a≤4x-4 x＋3＜7，
整理得： ，即即为2，1，0，所以解得-4所以a可取的正数解有：-4，-3，-2故答案为：-4，-3，-2
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，实数的运算，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例3．（2022·北京八中八年级阶段练习）阅读理解：我们把对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．例如：，，…．
请解决下列问题：（1）______；（2）若，则实数的取值范围是_________；
（3）①；②当为非负整数时，；
③满足的非负实数只有两个．其中结论正确的是_____（填序号）
【答案】（1）1；（2）≤x＜；（3）②
【分析】（1）根据题意判断即可；（2）我们可以根据题意所述利用不等式解答；（3）①举反例进行说明即可；②当m为非负整数时，不影响“四舍五入”，故可知正确；
③根据题意可以可以列出不等式组，求出不等式组的解集，从而可以解答本题
【详解】解：（1）1．故答案为：1；
（2）若《2x-1》=5，则5 ≤2x 1＜5+，解得≤x＜．故答案为：≤x＜；
（3）①《2x》=2《x》，例如当x=0.3时，《2x》=1，2《x》=0，故①错误；
当m为非负整数时，不影响“四舍五入”，故《m+2x》=m+《2x》，故②正确；
③，则，解得-1＜x≤1，故③错误．故答案为：②
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，根据题目中的结论，错误的举出反例或说明理由．
变式3．（2022·重庆八中九年级月考）若定义一种新的取整符号[ ]，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：，．则下列结论正确的是（ ）
①； ②；③方程的解有无数多个；④若，则x的取值范围是；⑤当时，则的值为0、1或2．
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④
【答案】D
【分析】根据定义“[x]表示不超过x的最大整数”直接判断①②，根据可以的值可以为不超过x的最大整数与比这个数大1的数之间的任何数，即可判断③，根据定义可得，解不等式组即可判断④，根据的不同取值即可判断⑤．
【详解】解：，故①正确，，故②错误，
方程的解有无数多个，故③正确，
若，即，则x的取值范围是，故④正确，
当时，当时，，当为的小数时，，则的值为1、2，故⑤错误，故选D
【点睛】本题考查了新定义，解一元一次不等式组，理解新定义是解题的关键．
例4．（2022·福建宁化县八年级阶段练习）对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如：，．若关于的函数为，则该函数的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．48
【答案】B
【分析】分和两种情况进行讨论计算．
【详解】解：当，即时，y=x+3，
当x=-1时，该函数的最小值是2，当，即时，y=-x+1，
∵，∴，∴，∴，∴该函数的最小值是2．故选：B．
【点睛】此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
变式4．（2022·湖北·武汉八年级阶段练习）对于任意实数m，n，我们把这两个中较小的数记作min{m，n}，如min{1，2}＝1．若关于x的不等式min{1－2x，－3}＞m无解，则m的取值范围是（ ）．
A．m≤－3． B．m≤2． C． m≥－3． D．m≥2．
【答案】C
【分析】根据新定义运算法则分情况讨论1－2x与－3的大小及min{1－2x，－3}的值，通过min{1－2x，－3}＞m求解m的范围．
【详解】解：令 由题意可得：当即时，，
当即时，，
∵， 即无解，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了新定义下解一元一次不等式，明白新定义的运算法则是解题的关键．
例5．（2022·北京·八年级阶段练习）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：M：是N：的“子集”．
（1）若不等式组：A：，B：，则其中不等式组　 　是不等式组M：的“子集”（填A或B）；
（2）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是　 　；
（3）已知a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组：A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则a﹣b+c﹣d的值为　 　；
（4）已知不等式组M：有解，且N：1＜x≤3是不等式组M的“子集”，请写出m，n满足的条件：　 　．
【答案】（1）A；（2）a≥2；（3）-4；（4）m≤2，n＞9
【分析】（1）根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可（2）由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可；（3）由题意根据“子集”的定义确定出各自的值，代入原式计算即可求出值；（4）由题意根据“子集”的定义确定出所求即可．
【详解】解：（1）A：的解集为3＜x＜6，B：的解集为x＞1，M：的解集为x＞2，则不等式组A是不等式组M的子集，故答案为：A；
（2）∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”，∴a≥2，故答案为：a≥2；
（3）∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，
A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，
∴a＝3，b＝4，c＝2，d＝5，则a﹣b+c﹣d＝3﹣4+2﹣5＝﹣4，故答案为：﹣4；
（4）不等式组M：整理得：，由不等式组有解得到＜，即≤x＜，
∵N：1＜x≤3是不等式组的“子集”，∴≤1，＞3，即m≤2，n＞9，故答案为：m≤2，n＞9．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组以及定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不等式组的解集是解答此题的关键．
变式5．（2022·湖南·长沙市八年级阶段练习）若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于x的不等式组：和不等式：，若对于不等式组中点包含，求m的取值范围．
（3）关于x的不等式组：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围．
【答案】（1）不等式B对于不等式组A是中点包含，见解析；（2）；（3）
【分析】（1）先解不等式组A，再按照要求求中点，再判断中点是否在B不等式中即可．
（2）先解不等式组C、D，再根据C组的中点在D不等式组中建立不等式，再解出m取值范围．
（3）先解不等式组E、F，再根据E组的中点在F不等式组中建立不等式，再解出m取值范围，再根据符合要求的整数m之和为9，缩小m取值范围从而确定n取值范围．
【详解】（1）解不等式组A：得，∴中点值为
又∵在不等式B：范围内，∴不等式B对于不等式组A是中点包含
（2）解不等式C得： ∴不等式组C中点为：
解不等式D得：∵2m-1位于和之间
∴解得：
（3）解不等式组E得：2n解不等式组F得：∵所有符合要求的整数m之和为9∴m可取4，3，2∴
【点睛】本题考查新定义概念的运用与求解，实际还是在考查不等式组的解法和不等式的性质，掌握好不等式组的解法和不等式性质是本题解题关键．
模块4：同步培优题库
1.（2022·北京专题练习）已知关于的不等式的正整数解是1，2，3，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】解原不等式得： 不等式的正整数解为1，2，3，
∴解得：82.（2022·陕西西安市月考）不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】解：解不等式①得x>2，解不等式②得：x>m+1，
∵不等式组的解集是x>2，∴m+1≤2解得：m≤1，故答案为：C．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）若不等式组有解，则m的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组有解可得的取值范围，由此即可得．
【详解】解：，解不等式①得：，
这个不等式组有解，，观察四个选项可知，只有选项A符合，故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
4．（2022 海淀区校级期末）已知关于x的不等式组的解集是3≤x≤4，则a+b的值为（　　）
A．5 B．8 C．11 D．9
【详解】解：解不等式x﹣a≥1，得：x≥a+1，解不等式x+5≤b，得：x≤b﹣5，
∵不等式组的解集为3≤x≤4，∴a+1＝3，b﹣5＝4，
∴a＝2，b＝9，则a+b＝2+9＝11，故选：C．
5.（2022·湖南·中考模拟）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出m＜4，然后分别取m=2，0，-1，得出整数解的个数，即可求解．
【详解】解不等式2x﹣6+m＜0，得：x，解不等式4x﹣m＞0，得：x，
∵不等式组有解，∴，解得m＜4，
如果m＝2，则不等式组的解集为x＜2，整数解为x＝1，有1个；
如果m＝0，则不等式组的解集为0＜x＜3，整数解为x＝1，2，有2个；
如果m＝﹣1，则不等式组的解集为x，整数解为x＝0，1，2，3，有4个；故选C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（2022·浙江·杭州八年级期中）整数a使得关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的方程1﹣3（y﹣2）＝a有非负整数解，则满足条件的整数a的个数是（ ）
A．6个 B．5个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】解不等式组中两个不等式得出，结合其整数解的情况可得，再解方程得，由其解为非负数得出，最后根据方程的解必须为非负整数可得的取值情况．
【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，
不等式组至少有4个整数解，，解得，解关于的方程得，
方程有非负整数解，，则，所以，
其中能使为非负整数的有2，3，4，5，6，7，共6个，故选：A．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
7．（2022·重庆一中八年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可．
【详解】解：解方程组得：，
∵关于x、y的二元一次方程组的解满足，∴≥，解得：a≥-，
∵关于s的不等式组恰好有4个整数解，即4个整数解为1，0，-1，-2，
∴，解得-2≤a＜1，∴≤a＜1，∴符合条件的整数a的值有：-1，0，共2个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程和一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．（2022春·天津和平·七年级校考期末）若不等式组的解集为，关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过解一元一次不等式组求出a的值，再根据不等式的基本性质得出，解不等式即可求出答案．
【详解】解不等式组，得，
不等式组的解集为，，，
关于的不等式的解集是，，即，，故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式组及不等式组的解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．
9．（2022·山东聊城·统考二模）如果不等式组的解集中任何一个x的值均在的范围内，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出不等式组的解集，然后根据题意得出关于b的不等式组，继续求解即可．
【详解】解：，由①得：x>b，由②得：x<1+b，∴不等式的解集是b∵不等式组的解集中任一x的值均在2≤x≤5的范围内，∴，解得：2≤b≤4．故选：D．
【点睛】考查求不等式组的解集及已知不等式组解集的范围求参数范围，理解题意是解题关键．
10．（2022春·河北唐山·七年级统考期末）若关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a范围，进而求出最小值．
【详解】解：解不等式x-a≤0，得x≤a，解不等式2x+3a≥0，得x，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的解集中至少有5个整数解，∴，解得，
∴正数a的最小值是，故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是解题的关键．
11．（2022·四川德阳·中考模拟）如果关于的不等式组的整数解仅有、，那么适合这个不等式组的整数、组成的有序数对共有（）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】求出不等式组的解集，根据已知求出1＜≤2、3≤＜4，求出2＜a≤4、9≤b＜12，即可得出答案．
【解析】解不等式2x a≥0，得：x≥，解不等式3x b≤0，得：x≤，
∵不等式组的整数解仅有x＝2、x＝3，则1＜≤2、3≤＜4，
解得：2＜a≤4、9≤b＜12，则a＝3时，b＝9、10、11；当a＝4时，b＝9、10、11；
所以适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对（a，b）共有6个，故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的根据是求出a、b的值．
12．（2023春·重庆沙坪坝·八年级校考阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的所有整数解的和是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】先解不等式组，再根据所有整数解的和是进行求解即可．
【详解】解不等式组，得，∵不等式组的所有整数解的和是，
∴当时，整数解为，∴；
当时，整数解为，∴；
综上，m的取值范围是或，故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
13．（2022·江苏·苏州市八年级阶段练习）已知的解集为，则的范围______．
【答案】
【分析】根据不等式的基本性质，由不等式方向改变可知，不等式两边同时除以小于0，求解即可．
【详解】解：∵不等式的解集为，不等式方向改变，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的基本性质．
14．（2022·湖南长沙·八年级期末）如果不等式组的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为_____．
【答案】1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组的解集得出关于a、b的方程，解之求出a、b的值，从而得出答案．
【详解】解：解不等式x＋2a≥4，得：x≥ 2a＋4，解不等式，得：x＜，
∵不等式组的解集为0≤x＜1，∴ 2a＋4＝0，＝1，
解得a＝2，b＝ 1，∴a＋b＝2 1＝1，故答案为：1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．（2022·山东·济宁一模）一个三角形的三边长均为整数．已知其中两边长为3和5，第三边长是不等式组的正整数解．则第三边的长为：______．
【答案】7
【分析】先利用一元一次不等式组的解法确定出正整数解，然后利用三角形的三边关系来求解．
【详解】解：解得，所以正整数解是、、9．
三角形的其中两边长为和，，即，
所以只有符合．故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形三边关系和一元一次不等式的整数解．解题的关键是求解不等式组求出它的正整数解．
16．（2022·山西·八年级期末）若不等式没有负数解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】用含的式子表示出，再根据题意列不等式求解即可．
【详解】解：由解得
由题意可知，即，解得故答案为
【点睛】此题考查了不等式的求解，解题的关键是用含的式子表示出．
17．（2022·黑龙江绥化·中考真题）不等式组的解集为，则m的取值范围为_______．
【答案】m≤2
【分析】先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m范围即可．
【详解】解：，解①得：，
又因为不等式组的解集为x>2 ∵x>m，∴m≤2，故答案为：m≤2．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．
18．（2022·黑龙江·九年级期末）若不等式组无解，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】求得第一个不等式的解集，借助数轴即可求得m的取值范围．
【详解】解不等式，得x>2
因不等式组无解，把两个不等式的解集在数轴上表示出来如下：
观察图象知，当m≤2时，满足不等式组无解 故答案为：
【点睛】本题考查了根据不等式组解的情况确定参数的取值范围，借助数轴数形结合是关键．
19．（2022·四川达州·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围
【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，
不等式组有解,∴不等式组的解集为： ，
不等式组恰有3个整数解，则整数解为1，2，3
，解得．答案为：．
【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出合理的答案．
20．（2020·四川绵阳市·中考真题）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
【答案】≤m≤6
【分析】解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，据此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0两种情况分别求解．
【详解】解：解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，
∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，
①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0 x＜13恒成立；
②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，∴m﹣6＜0，即m＜6，
∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞，
∵x＞﹣4都能使x＞成立，∴﹣4≥，∴﹣4m+24≤2m+1，∴m≥，
综上所述，m的取值范围是≤m≤6．故答案为：≤m≤6．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．
21．（2022·吉林八年级期中）关于x、y的方程组的解满足，．求a的取值范围．
【答案】
【分析】解关于x、y的方程组，根据，得到关于a的不等式组，求解可得．
【详解】①＋②得解得
①－②得解得
，
解不等式，解得
解不等式，解得
a的取值范围为
【点睛】本题主要考查解方程组和不等式组，根据题意得出关于a的不等式组是解题的关键．
22．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）已知关于，的方程组的解满足为非正数，不大于．（1）求的取值范围；（2）求当为何整数时，不等式的解集为．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）解方程组得，，；根据x为非正数，y为负数得，，解之可得答案；（2）由不等式2mx+x＜2m+1，即（2m+1）x＜2m+1的解集为x＞1知2m+1＜0，解之得出m，再从中找到符合此条件的整数m的值即可．
【详解】（1）解方程组得，，；
，．．．
，．．．．
（2）的解集为∴，．．
为整数，，．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
23．（2022·广东·佛山八年级阶段练习）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7．（1）求5#x>0解集；（2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围．
【答案】（1）x＜4；（2）；（3）-1≤m＜0
【分析】（1）根据新定义得出关于x的不等式，解之即可；
（2）根据新定义列出关于x的不等式组，再分别求解即可得出其解集；
（3）由不等式组整数解的个数得出关于m的不等式组，再进一步求解即可．
【详解】解：（1）由题意得5-3x+7＞0，解得x＜4；
（2）由题意，得：，
解不等式①，得：，解不等式②，得：x＜3-m，
则不等式组的解集为；
（3）∵该不等式组有3个整数解，∴3＜3-m≤4，解得-1≤m＜0．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
24．（2022·浙江金华·八年级期中）对，定义一种新运算（中，均为非零常数）．例如：；已知，．（1）求，的值；（2）若关于的不等式组恰好只有个整数解，求的取值范围．
【答案】（1）a=1，b=-3；（2）
【分析】（1）根据题中的新定义列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
（2）根据题中的新定义列出不等式组，根据不等式组恰好只有个整数解，确定出k的范围即可．
【详解】解：（1）∵，，∴，解得：；
（2）∵a=1，b=-3，∴，
∴可变形为，化简得：，解得：，
∵不等式组恰好只有个整数解，∴，解得：．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．（2022·湖南张家界·中考模拟）阅读下面的材料：对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．根据上面的材料回答下列问题：（1）______；（2）当时，求x的取值范围．
【答案】（1）﹣1 ；（2）x≥
【分析】（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出 解不等式即可判断x的取值范围．
【解析】解：（1）由题意得﹣1故答案为：﹣1；
（2）由题意得： 3（2x－3）≥2（x+2） 6x－9≥2x+4 4x≥13 x≥
∴x的取值范围为x≥．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
26．（2022·山东莱西·八年级期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如方程的解为，不等式组的解集为，因为2＜3＜5，所以，称方程为不等式组的关联方程．
（1）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________________（写一个即可）。（2）若方程，都是关于的不等式组的关联方程，试求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先求出不等式组的解集，再写出其关联方程即可；（2）先求出两方程的解，，再求出关于的不等式组的解集为，根据关联方程的定义即可求解．
【详解】（1）解不等式，得：，解不等式，得：，
则不等式组的解集为，∴其整数解为2，
则该不等式组的关联方程为，故答案为；
（2）解方程得，解方程得，解不等式组得，
∵1，2都是该不等式组的解，∴．
【点睛】此题考查不等式组的求解及应用，解题的关键是熟知不等式的性质与求解不等式组的方法．
27．（2022·广东蓬江·八年级期中）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：
对于三个数a、b、c的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定M{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示这三个数中的最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{﹣1，2，3}＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣1，2，3}＝3；M{﹣1，2，a}＝＝，min{﹣1，2，a}＝．(1)请填空：min{﹣1，3，0}＝　　；若x＜0，则max{2，x2+2，x+1}＝　　；
(2)若min{2，2x+2，4﹣2x}＝M{x﹣1，5﹣4x，3x+2}，求x的取值范围．
(3)若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x的值．
【答案】(1)﹣1，x2+2(2)0≤x≤1(3)1
【分析】（1）根据新定义，即可求解；（2）先求出M（x﹣1，5﹣4x，3x+2}＝2，再由min{2，2x+2，4﹣2x}＝M{x﹣1，5﹣4x，3x+2}，可得，解出即可；（3）先求出M{2，x+1，2x}＝x+1，再由M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，可得，解出即可．
【详解】(1)解：∵﹣1，3，0最小的数是﹣1，∴min{﹣1，3，0}＝﹣1，
∵x＜0，2，x2+2，x+1中，∴，∴最大的数是x2+2，
∴max{2，x2+2，x+1}＝x2+2；故答案为：﹣1，x2+2；
(2)解：∵M（x﹣1，5﹣4x，3x+2}＝＝2，
∵min{2，2x+2，4﹣2x}＝M{x﹣1，5﹣4x，3x+2}，∴，则0≤x≤1；
(3)解：∵M{2，x+1，2x}＝＝x+1，且M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，
∴min{2，x+1，2x}＝x+1，∴，∴，∴x＝1．
【点睛】本题考查整式的加减混合运算的应用，不等式组的应用，明确题意，理解新定义是解题关键.
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专题3.6 一元一次不等式（组）含参及新定义问题
模块1：学习目标
1、熟练掌握已知不等式的解（解集）的情况求参数；
2、能解决不等式相关的新定义问题。
模块2：知识储备
含参问题的解题步骤：
①将参数当成“常数”解出不等式组；②根据解（解集）的情况确定参数值或范围：
1）“根据不等式组的解集确定参数的取值范围”、“逆用不等式组的解集确定参数的取值范围”类型利用不等式组解集口诀确定出参数的取值范围；
2）“根据不等式组的整数解情况确定确定参数的取值范围”需要借助数轴与不等式组解集口诀确定出参数的取值范围。
注：参数取值范围是否取等于号需要将参数带进不等式中验证，不能凭感觉。而且需要注意的是带进去的是参数的值，并不是的值。
模块3：核心考点与典例
考点1、根据不等式（组）的解集确定参数的取值范围
例1．（2022·浙江余杭·八年级阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·黑龙江·九年级期末）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___ ．
例2．（2022·江苏·八年级专题练习）若不等式组的解集为．则关于、的方程组的解为_____________．
变式2．（2022·河北·石家庄市八年级期末）已知关于x的不等式组的解集是﹣1＜x＜3，则（m＋n）2021＝_______．
例3．（2022·浙江·宁波八年级期中）已知关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在﹣1≤x≤3的范围内，则a的取值范围是（　　）
A．﹣5≤a≤6 B．a≥6或a≤﹣5 C．﹣5＜a＜6 D．a＞6或a＜﹣5
变式3．（2022·浙江·杭州八年级期中）已知不等式组2＜x﹣1＜4的解都是关于x的一次不等式3x≤2a﹣1的解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤5 B．a＜5 C．a≥8 D．a＞8
例4．（2022·浙江·八年级阶段练习）不等式组的解是x＞a，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a=3 C．a＞3 D．a≥3
变式4．（2022·黑龙江·中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是________．
考点2、逆用不等式组的解集确定参数的取值范围（有解、无解）
例1．（2022·浙江·杭州八年级期中）若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是______．
变式1．（2022·重庆八年级期中）如果关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，且关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
例2．（2022·简阳·八年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x＞y，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为 _____．
变式2.（2022·浙江期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点3、根据不等式组的整数解情况确定参数的取值范围
例1．（2022·重庆八年级期中）若整数使关于的一次函数不经过第三象限，且使关于的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为_____．
变式1．（2022·河南汤阴·八年级期末）若关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围为__________．
例2．（2022·黑龙江·八年级期中）关于的不等式组有解且不超过3个整数解，若，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·重庆八年级阶段练习）如果关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的方程3y+6a=22-y的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的积为（ ）
A．-3 B．3 C．-4 D．4
例3．（2022·重庆丰都·八年级期末）如果关于的不等式组的整数解仅有，，那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
变式3．（2022·浙江·金华市八年级期中）不等式的整数解是1，2，3，4．则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022·四川绵阳·八年级期末）若关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是__．
变式4．（2022·云南德宏·八年级期末）已知关于x的不等式组的所有整数解的和为－7，则m的取值范围为____．
考点4、根据方程的解或者解之间的关系确定参数的取值范围
例1．（2022·重庆·八年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
变式1．（2022·山东桓台·八年级期末）已知：方程组的解中，是非负数，是正数．求整数的值．
例2．（2022·成都市锦江区八年级阶段练习）若方程组的解是（m为常数），方程组的解x、y满足，则m的取值范围为______．
变式2．（2023·山东滨州·模拟预测）关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
考点5、不等式的新定义问题
【解题技巧】新定义问题解决方法：根据根据题干中的定义和不等式的相关问题解决即可。
例1．（2022·江苏淮安·八年级期末）我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为．如：．如果有，求的解集．
变式1．（2022·广西岑溪·八年级期中）对于任意实数、，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，则的取值范围是______．
例2．（2022·河南济源·八年级期末）对x，y定义一种新的运算G，规定：G（x，y）＝例如：G（2，1）＝2﹣2×1＝0，若关于p（p＞0）的不等式组恰好有两个整数解，则a的取值范围是____
变式2．（2022·江苏·八年级专题练习）对于任意实数m、n，定义一种运算m※n＝mn﹣m﹣n+3，例如：3※5＝3×5﹣3﹣5+3＝10．请根据上述定义解决问题：若a＜4※x＜7，且解集中有三个整数解，则整数a的取值可以是_________．
例3．（2022·北京八中八年级阶段练习）阅读理解：我们把对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．例如：，，…．
请解决下列问题：（1）______；（2）若，则实数的取值范围是_________；
（3）①；②当为非负整数时，；
③满足的非负实数只有两个．其中结论正确的是_____（填序号）
变式3．（2022·重庆八中九年级月考）若定义一种新的取整符号[ ]，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：，．则下列结论正确的是（ ）
①； ②；③方程的解有无数多个；④若，则x的取值范围是；⑤当时，则的值为0、1或2．
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④
例4．（2022·福建宁化县八年级阶段练习）对于实数，，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如：，．若关于的函数为，则该函数的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．48
变式4．（2022·湖北·武汉八年级阶段练习）对于任意实数m，n，我们把这两个中较小的数记作min{m，n}，如min{1，2}＝1．若关于x的不等式min{1－2x，－3}＞m无解，则m的取值范围是（ ）．
A．m≤－3． B．m≤2． C． m≥－3． D．m≥2．
例5．（2022·北京·八年级阶段练习）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：M：是N：的“子集”．
（1）若不等式组：A：，B：，则其中不等式组　 　是不等式组M：的“子集”（填A或B）；
（2）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是　 　；
（3）已知a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组：A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则a﹣b+c﹣d的值为　 　；
（4）已知不等式组M：有解，且N：1＜x≤3是不等式组M的“子集”，请写出m，n满足的条件：　 　．
变式5．（2022·湖南·长沙市八年级阶段练习）若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于x的不等式组：和不等式：，若对于不等式组中点包含，求m的取值范围．
（3）关于x的不等式组：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围．
模块4：同步培优题库
1.（2022·北京专题练习）已知关于的不等式的正整数解是1，2，3，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·陕西西安市月考）不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）若不等式组有解，则m的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2022 海淀区校级期末）已知关于x的不等式组的解集是3≤x≤4，则a+b的值为（　　）
A．5 B．8 C．11 D．9
5.（2022·湖南·中考模拟）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·浙江·杭州八年级期中）整数a使得关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的方程1﹣3（y﹣2）＝a有非负整数解，则满足条件的整数a的个数是（ ）
A．6个 B．5个 C．3个 D．2个
7．（2022·重庆一中八年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2022春·天津和平·七年级校考期末）若不等式组的解集为，关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·山东聊城·统考二模）如果不等式组的解集中任何一个x的值均在的范围内，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·河北唐山·七年级统考期末）若关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
11．（2022·四川德阳·中考模拟）如果关于的不等式组的整数解仅有、，那么适合这个不等式组的整数、组成的有序数对共有（）
A．个 B．个 C．个 D．个
12．（2023春·重庆沙坪坝·八年级校考阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的所有整数解的和是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
13．（2022·江苏·苏州市八年级阶段练习）已知的解集为，则的范围______．
14．（2022·湖南长沙·八年级期末）如果不等式组的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为_____．
15．（2022·山东·济宁一模）一个三角形的三边长均为整数．已知其中两边长为3和5，第三边长是不等式组的正整数解．则第三边的长为：______．
16．（2022·山西·八年级期末）若不等式没有负数解，则的取值范围是______．
17．（2022·黑龙江绥化·中考真题）不等式组的解集为，则m的取值范围为_______．
18．（2022·黑龙江·九年级期末）若不等式组无解，则m的取值范围是______．
19．（2022·四川达州·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
20．（2020·四川绵阳市·中考真题）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
21．（2022·吉林八年级期中）关于x、y的方程组的解满足，．求a的取值范围．
22．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）已知关于，的方程组的解满足为非正数，不大于．（1）求的取值范围；（2）求当为何整数时，不等式的解集为．
23．（2022·广东·佛山八年级阶段练习）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7．（1）求5#x>0解集；（2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围．
24．（2022·浙江金华·八年级期中）对，定义一种新运算（中，均为非零常数）．例如：；已知，．（1）求，的值；（2）若关于的不等式组恰好只有个整数解，求的取值范围．
25．（2022·湖南张家界·中考模拟）阅读下面的材料：对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．根据上面的材料回答下列问题：（1）______；（2）当时，求x的取值范围．
26．（2022·山东莱西·八年级期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如方程的解为，不等式组的解集为，因为2＜3＜5，所以，称方程为不等式组的关联方程．
（1）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________________（写一个即可）。（2）若方程，都是关于的不等式组的关联方程，试求的取值范围．
27．（2022·广东蓬江·八年级期中）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：
对于三个数a、b、c的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定M{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示这三个数中的最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{﹣1，2，3}＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣1，2，3}＝3；M{﹣1，2，a}＝＝，min{﹣1，2，a}＝．(1)请填空：min{﹣1，3，0}＝　　；若x＜0，则max{2，x2+2，x+1}＝　　；
(2)若min{2，2x+2，4﹣2x}＝M{x﹣1，5﹣4x，3x+2}，求x的取值范围．
(3)若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x的值．
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