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第一章
命题与充要条件
MING TI YU CHONG YAO TIAO JIAN
1.1 命题
详写内容……点击输入本栏的具体文字，简明扼要的说明分项内容，此为概念图解，请根据具体内容酌情修改。
”
1.1.1 命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题.其中，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.
例如：
（1） 1+1=2;
（2）河北的省会是石家庄；
（3）所有的自然数都大于零；
（4） ={0}.
这些语句都是命题，其中（1）（2）是真命题，（3）（4）是假命题.
1.1 命题
详写内容……点击输入本栏的具体文字，简明扼要的说明分项内容，此为概念图解，请根据具体内容酌情修改。
”
1.1.1 命题的概念
又如：
1+1=2吗？
姚明长得真高！
请不要迟到.
这些语句都不是命题，因为疑问句、感叹句和祈使句都不可以判断真假，不满足命题的定义.
为方便起见，常用大写字母P，Q，R等作为命题的记号.
下面的语句哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，请指出其真假.
（1）我国的四大发明不包括造纸术；
（2）42不能被3整除；
（3）5是偶数；
（4）请你现在来一下办公室.
1.1 命题
1.1.1 命题的概念
做一做
1.1 命题
1.1.2 四种命题
1.原命题和逆命题
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为原命题，另一个命题称为原命题的逆命题．
1.1 命题
1.1.2 四种命题
1.原命题和逆命题
也就是说，如果原命题为
“若p，则q”
那么它的逆命题为
“若q，则p”
例如，将命题“若a=b，则a2=b2”的条件和结论互换，就得到它的逆命题“若a2=b2，则a=b”.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
2.否命题
如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题称为互否命题．如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题称为原命题的否命题．
1.1 命题
1.1.2 四种命题
2.否命题
也就是说，如果原命题为
“若p，则q”
那么它的否命题为
“若非p，则非q”
为书写简便，常将否命题记为
“若 p，则 q”
1.1 命题
1.1.2 四种命题
2.否命题
例如，如果原命题是“若a=b，则a2=b2”，那么它的否命题是“若a≠b，则a2≠b2”．
1.1 命题
1.1.2 四种命题
3.逆否命题
如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题称为互为逆否命题．如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题称为原命题的逆否命题．
1.1 命题
1.1.2 四种命题
3.逆否命题
也就是说，如果原命题为
“若p，则q”
那么它的逆否命题为
“若非q，则非p”
同理，常将逆否命题记为
“若q，则p”
1.1 命题
1.1.2 四种命题
3.逆否命题
例如，如果原命题是“若a=b，则a2=b2”，那么它的逆否命题是“若a2≠b2，则a≠b”．
1.1 命题
1.1.2 四种命题
3.逆否命题
综上可知，设命题“若p，则q”为原命题，那么
? 命题“若q，则p”是原命题的逆命题；
? 命题“若 p，则 q”是原命题的否命题；
? 命题“若 q，则 p”是原命题的逆否命题．
1.1 命题
1.1.2 四种命题
4.四种命题间的相互关系
原命题、逆命题、否命题和逆否命题之间的相互关系如图1-1所示．
1.1 命题
1.1.2 四种命题
4.四种命题间的相互关系
一般地，四种命题的真假性之间具有以下关系：
·如果两个命题互为逆否命题，那么它们具有相同的真假性(同为真命题或同为假命题)；
·如果两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
1.1 命题
1.1.2 四种命题
4.四种命题间的相互关系
例如，在以下四个命题中：
(1)若a，b都是偶数，则a+b是偶数；
(2)若a+b是偶数，则a，b都是偶数；
(3)若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数；
(4)若a+b不是偶数，则a，b不都是偶数．
1.1 命题
1.1.2 四种命题
4.四种命题间的相互关系
若设命题(1)是原命题，显然命题(2)(3)(4)分别是它的逆命题、否命题和逆否命题．
此外，我们发现，命题(2)(3)互为逆否命题，命题(2)(4)互为否命题，命题(3)(4)互为逆命题．
不难判断，原命题(1)是真命题，它的逆命题(2)是假命题，它的否命题(3)是假命题，而它的逆否命题(4)是真命题．
1.1 命题
1.1.2 四种命题
4.四种命题间的相互关系
总结而言，命题(1)(4)互为逆否命题，它们同为真命题；命题(2)(3)互为逆否命题，它们同为假命题；其他两两命题的真假性之间没有关系．
1.1 命题
1.1.2 四种命题
4.四种命题间的相互关系
例1 下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题
(1)矩形的对角线相等； (2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗
(3)对角线互相垂直的四边形是菱形； (4)两个全等三角形的面积相等；
(5)若方程x2+a=0无实根，则a≥0； (6)x>13．
分析 判断一个语句是不是命题，要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．
1.1 命题
1.1.2 四种命题
4.四种命题间的相互关系
例1 下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题
(1)矩形的对角线相等； (2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗
(3)对角线互相垂直的四边形是菱形； (4)两个全等三角形的面积相等；
(5)若方程x2+a=0无实根，则a≥0； (6)x>13．
解：在上面6个语句中，(2)不是陈述句，所以它不是命题；(6)虽然是陈述句，但因为无法判断它的真假，所以也不是命题；其余4个都是陈述句，而且都可以判断真假，所以它们都是命题，其中(1)(4)是真命题，(3)(5)是假命题．
1.1 命题
1.1.2 四种命题
4.四种命题间的相互关系
例2 写出命题“若xy=0，则x=0或y=0”的逆命题、否命题和逆否命题．
解：原命题：若xy=0，则x=0或y=0.
逆命题：若x=0或y=0，则xy=0.
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.
逆否命题：若x≠0且y≠0，则xy≠0．
1.1 命题
1.1.2 四种命题
4.四种命题间的相互关系
例3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，同时写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．
解：(1)原命题可以改写成：若一个数是负数，则这个数的立方是负数．
逆命题：若一个数的立方是负数，则这个数是负数.
否命题：若一个数不是负数，则这个数的立方不是负数.
逆否命题：若一个数的立方不是负数，则这个数不是负数．
原命题、逆命题、否命题和逆否命题均是真命题．
(1)负数的立方是负数；
1.1 命题
1.1.2 四种命题
4.四种命题间的相互关系
例3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，同时写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．
解：(2)原命题可以改写成：若一个整数的个位上数字为0，则它能被5整除．
逆命题：若一个整数能被5整除，则它的个位上数字为0.
否命题：若一个整数的个位上数字不为0，则它不能被5整除.
逆否命题：若一个整数不能被5整除，则它的个位上数字不为0．
原命题和逆否命题是真命题，逆命题和否命题是假命题．
(2)个位上数字为0的整数能被5整除.
1.1 命题
1．下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题
(1)｜-1｜=1；
(2)x2-1=0；
(3)1+1>2；
(4)等边三角形不是等腰三角形；
(5)2 01450是个大数；
(6)若一个三角形的两个角相等，则这个三角形的两条边相等．
1.1.2 四种命题
做一做
1.1 命题
1.1.2 四种命题
2．指出下列命题中的条件p和结论q，并判断它们的真假.
(1)若x，y互为倒数，则xy=1；
(2)若一个数是负数，则它的平方是正数；
(3)若a>b，则ac2>bc2．
做一做
1.1 命题
1.1.2 四种命题
3．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：
(1)若｜x｜=｜y｜，则x=y；
(2)若x=1,则x2=1．
做一做
1.1 命题
1.1.2 四种命题
在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”来联结两个命题，以构成一个新的命题.
下面介绍逻辑联结词“且”“或”“非”的含义和用法.为叙述方便，通常用小写字母p,q,r,
s,…表示命题.
知识卡片：逻辑联结词
1.1 命题
1.1.2 四种命题
1.且（and）
知识卡片：逻辑联结词
一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作
p∧q
读作“p且q”.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
1.且（and）
知识卡片：逻辑联结词
例如，在下列三个命题中，命题（3）是由命题（1）（2）使用联结词“且”联结而得到的新命题.
（1）10能被2整除；
（2）10能被5整除；
（3）10能被2整除且能被5整除.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
1.且（and）
知识卡片：逻辑联结词
我们规定：当p,q都是真命题时，p∧q是真命题；当p,q这两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题.
在上述三个命题中，命题（1）（2）都是真命题，所以命题（3）是真命题.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
2.或（or）
知识卡片：逻辑联结词
一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作
p∨q
读作“p或q”.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
2.或（or）
知识卡片：逻辑联结词
例如，在下列三个命题中，命题（3）是由命题（1）（2）使用联结词“或”联结而得到的新命题.
（1）21是4的倍数；（2）21是7的倍数；
（3）21是4的倍数或是7的倍数.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
2.或（or）
知识卡片：逻辑联结词
我们规定：当p，q这两个命题中有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q这两个命题都是假命题时，p∨q是假命题.
在上述三个命题中，命题（1）是假命题，命题（2）是真命题，所以命题（3）是真命题.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
3.非（not）
知识卡片：逻辑联结词
一般地，对一个命题p加以否定，就得到一个新命题，记作
p
读作“非p”或“p的否定”.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
3.非（not）
知识卡片：逻辑联结词
例如，在下列两个命题中，命题（2）是命题（1）的否定.
（1）正方形是矩形；
（2）正方形不是矩形.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
3.非（not）
知识卡片：逻辑联结词
显然，若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题.
在上述两个命题中，命题（1）是真命题，命题（2）是假命题.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
知识卡片：逻辑联结词
例4 用逻辑联结词“且”联结或改写下列命题，并判断它们的真假.
（1）p:矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
（2）p：15是3的倍数，q：15是10的倍数；
（3）1既是奇数，又是质数；
（4）12能被2和3整除.
解：（1）p∧q：矩形的对角线相等且互相平分.
因为p是真命题，q是真命题，所以p∧q是真命题.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
知识卡片：逻辑联结词
例4 用逻辑联结词“且”联结或改写下列命题，并判断它们的真假.
（1）p:矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
（2）p：15是3的倍数，q：15是10的倍数；
（3）1既是奇数，又是质数；
（4）12能被2和3整除.
解： （2）p∧q：15是3的倍数且是10的倍数.
因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
知识卡片：逻辑联结词
例4 用逻辑联结词“且”联结或改写下列命题，并判断它们的真假.
（1）p:矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
（2）p：15是3的倍数，q：15是10的倍数；
（3）1既是奇数，又是质数；
（4）12能被2和3整除.
解：（3）命题“1既是奇数，又是质数”可以改写为“1是奇数且1是质数”.
因为“1是奇数”是真命题，“1是质数”是假命题，所以这个命题是假命题.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
知识卡片：逻辑联结词
例4 用逻辑联结词“且”联结或改写下列命题，并判断它们的真假.
（1）p:矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
（2）p：15是3的倍数，q：15是10的倍数；
（3）1既是奇数，又是质数；
（4）12能被2和3整除.
解：（4）命题“12能被2和3整除”可以改写为“12能被2整除且12能被3整除”.
因为“12能被2整除”与“12能被3整除”都是真命题，所以这个命题是真命题.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
知识卡片：逻辑联结词
例5 判断下列命题的真假.
（1）114≤114；
（2）等腰三角形有一个角是90°或有两个角是45°;
（3）集合M是M∪N的子集或是M∩N的子集.
解： （1）命题“114≤114”是由命题
p：114<114 q：114=114
用“或”联结后构成的新命题，即p∨q.因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以命题p∨q是真命题.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
知识卡片：逻辑联结词
例5 判断下列命题的真假.
（1）114≤114；
（2）等腰三角形有一个角是90°或有两个角是45°;
（3）集合M是M∪N的子集或是M∩N的子集.
解：（2）命题“等腰三角形有一个角是90°或有两个角是45°”是由命题
p：等腰三角形有一个角是90° q：等腰三角形有两个角是45°
用“或”联结后构成的新命题，即p∨q.因为命题p,q都是假命题，所以命题p∨q是假命题.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
知识卡片：逻辑联结词
例5 判断下列命题的真假.
（1）114≤114；
（2）等腰三角形有一个角是90°或有两个角是45°;
（3）集合M是M∪N的子集或是M∩N的子集.
解：（3）命题“集合M是M∪N的子集或是M∩N的子集”是由命题
p：集合M是M∪N的子集 q：集合M是M∩N的子集
用“或”联结后构成的新命题，即p∨q.因为命题p是真命题，命题q是假命题，所以命题p∨q 是真命题.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
知识卡片：逻辑联结词
例6 写出下列命题的否定，并判断它们的真假.
（1）p：空集是集合A的子集；
（2）p：7<5；
（3）p：π是有理数.
解： （1） p：空集不是集合A的子集.
命题 p是假命题.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
知识卡片：逻辑联结词
例6 写出下列命题的否定，并判断它们的真假.
（1）p：空集是集合A的子集；
（2）p：7<5；
（3）p：π是有理数.
解：（2） p：7≥5.
命题 p是真命题.
1.1 命题
1.1.2 四种命题
知识卡片：逻辑联结词
例6 写出下列命题的否定，并判断它们的真假.
（1）p：空集是集合A的子集；
（2）p：7<5；
（3）p：π是有理数.
解： （3） p：π不是有理数.
命题 p是真命题.
1.2 充分条件、必要条件
观察下列推论是否成立：
(a)x=2,则x2=4.
(b)xy=0,则x=0.
显然，由(a)中的“x=2”一定能推断出“x2=4”;由(b)中的“xy=0”不能推断出“x=0”,因为有可能y=0.
1.2 充分条件、必要条件
像上述那样，已知条件p和结论q，则
（1）如果由条件p成立可推出结论q成立,则说条件p是结论q的充分条件,记作“p q”.上述(a)中,条件p:x=2,结论q:x2=4,即“x=2”是“x2=4”的充分条件.
（2）如果由结论q成立可推出条件p成立,则说条件p是结论q的必要条件,记作“q p(或p q)”.上述(b)中,条件p:xy=0,结论q:x=0,即“xy=0”是“x=0”的必要条件.
1.2 充分条件、必要条件
例 指出下列各组命题中p是q的什么条件.
(1)p:x>3,q:x>5;
(2)p:x-2=0,q:(x-2)(x+4)=0;
(3)p:-2x>4,q:x≤-2.
解：(1)由条件x>3成立不能推出结论x>5成立,如x=4时,4>3但4<5,因此p不是q的充分条件;而由结论x>5可以推出条件x>3成立,所以p是q的必要不充分条件.
1.2 充分条件、必要条件
例 指出下列各组命题中p是q的什么条件.
(1)p:x>3,q:x>5;
(2)p:x-2=0,q:(x-2)(x+4)=0;
(3)p:-2x>4,q:x≤-2.
解：(2)由条件x-2=0能够推出结论(x-2)(x+4)=0成立,但是由结论(x-2)(x+4)=0不能推出条件x-2=0成立,所以p是q的充分不必要条件.
1.2 充分条件、必要条件
例 指出下列各组命题中p是q的什么条件.
(1)p:x>3,q:x>5;
(2)p:x-2=0,q:(x-2)(x+4)=0;
(3)p:-2x>4,q:x≤-2.
解：(3)由条件-2x>4成立不能够推出结论x≤-2成立,而由结论x≤-2成立也不能够推出条件-2x>4成立,所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.
1.2 充分条件、必要条件
填空题.
（1）“x2=y2”是“x=y”的 条件；
（2）“ac=bc”是“a=b”的 条件；
（3）“x=0”是“xy≠0”的 条件.
做一做
1.3 充要条件
已知条件p和结论q.
如果p q,且p q,那么p是q的充分且必要条件,简称充要条件,记作“p q”.
例 已知p:-6x>3,q:x< ，p是q的什么条件？
解：由条件-6x>3成立能够推出结论x< 成立,而由结论x< 成立也能够推出条件-6x>3成立,所以p是q的充要条件.
1.3 充要条件
用符号“ ”“ ”“ ”填空.
（1）x<-1或x>2（x-2） （x+1）>0；
（2）x>3 x>7；
（3）△ABC的每个内角都是60° △ABC为等边三角形；
（4）x∈A∩B x∈A∪B.
做一做
1.3 充要条件

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