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2.2基本不等式
1 基本不等式
若，则 (当且仅当时，等号成立).
① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.
② 基本不等式的几何证明
(当点重合，即时，取到等号)
③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
2 基本不等式及其变形
(调和均值几何均值算术均值平方均值)
以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.
当且仅当 的时候取等号； 一正二定三相等
3 对勾函数
① 概念 形如的函数.
② 图像
③ 性质
函数图像关于原点对称，
在第一象限中，当时，函数递减，当时，函数递增.
④ 与基本不等式的关系
由图很明显得知当时，时取到最小值，
其与基本不等式时取到最小值是一致的.
1
变形
例1. 已知 ，函数 的最小值是
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】 C
【解析】【解答】 ，函数 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
故函数 的最小值是4，
故答案为：C．
例2. 求函数的最值.
【误解】，即最小值为.
【误解分析】在误解中把，满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若，则显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明，那它有最小值么？
【正解】，令，则，
因为对勾函数在上单调递增，当时，取得最小值.
故的最小值为，无最大值.
例3. 已知，则的最大值为（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】C
【解析】【解答】时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为0.
故答案为：C
例 4. [多选题]下列说法正确的是(　　)
的最小值是 的最小值是
的最小值是 的最大值是
【答案】
【解析】由基本不等式可知，时，，当且仅当即时取等号，故正确；
：，当时取得等号，故正确；
：，令，则，
因为在上单调递增，当时，取得最小值，故错误；
：在时，没有最大值，故错误．
故选：．
例5.若 ，则函数 的最小值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】 D
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以函数的最小值为6.
故答案为：D
例6. 若，则的最小值是　 　．
分析：三项都不能乘积为定值，而与乘积为定值的分别是与
，而它们的和刚好是，故想到令，完成凑项.
【解析】
当且仅当，，即时取等号，
(用了两次基本不等式，要注意是否能同时取到等号)
故的最小值是.
例7.设，，若，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：因为，，且，所以，
所以
当且仅当，即，或时取等号；
故答案为：D
2
变形：一次函数有加减数，可用换元法，把一次换元成
例1. 已知 ，则 的最小值为 ;
【答案】
【解析】【解答】当 ， ，当且仅当 即 时等号成立.
故答案为： .
例2. 若，则的最大值为　 .
【解析】令，则，，
原式，
当且仅当即时等号成立.
故的最大值为.
例3. 函数有（　　）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
【答案】D
【解析】【解答】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.
故答案为：D
3
例1.已知 ， ，则 的最小值是（ ）
A. 7 B. 9 C. 5 D. 11
【答案】 B
【解析】【解答】∵ ，所以 ，所以 ，
∴x+y-5 ，∴x+y≥9（当且仅当x-2＝y-3=2时取“＝”），
故答案为：B．
例2. （ ）的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，当且仅当 ，即 时等号成立，
∴ （ ）的最大值为 ．
故答案为：B．
例3. 已知 ， ，则 的最大值是（ ）
A. B. C. 4 D. 8
【答案】 B
【解析】【解答】由题意得， ，当且仅当 时等号是成立的，
故答案为：B．
例4. 已知，则的最大值为　 　．
【答案】4
【解析】【解答】因为，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以的最大值为4。
故答案为：4。
4 1. 已知的最小值？ 2. 已知的最小值？ 结论：
证明：
记忆方法：前面的系数乘以上面的系数，前面的系数乘以上面的系数!
例1. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】 B
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为2
故答案为：B
例2. 已知正实数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】 A
【解析】【解答】因为正实数 满足 ，
所以 ，
当且仅当 即 ， 时，等号成立.
所以 的最小值是 .
故答案为：A.
例3. 若正数满足，则的最大值为　 　．
【答案】
正数满足，
，解得，
，
当且仅当时等号成立，
的最大值为．
例4. 若对任意的正数 ，满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 24
【答案】 C
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 （当且仅当 ， 时，等号成立），
故答案为：C.
例5. 已知 ,且满足 ,那么 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】【解答】解：∵ ,且满足 ,
那么
.
当且仅当 时取等号.
∴最小值为 .
故答案为：B
例6. 已知正实数，满足，则的最小值为　 　．
【答案】
【解析】正实数，满足，
则，
当且仅当且即，时取等号，
例7. 若，，，，则的最小值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】由题意，，，，得：，
设 ，则 ，
故
，
当且仅当 ，即 时取得等号，
故的最小值为，
故答案为：
例8. 若，，，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】因为，，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立；
所以，即的最大值为，
故答案为：C.
例9. 设 ， ，且 恒成立，则n的最大值为　 　.
【答案】4
【解析】【解答】解：由 ，可得 ， ， ，
由 ，可得 ，
则
，
当 时，上式取得等号，
由题意可得 ，
即 的最大值为4．
故答案为：4．
例10. 已知，，，则的最小值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】由可得，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
5 其他类型
例1. 已知，，若，则的最大值为　 　．
【答案】
【解析】正数，满足，
，，
解得，
故，当且仅当时取等号．
的最大值为
例2. 若，，且，则的最小值为（　　）
A．9 B．16 C．49 D．81
【答案】D
【解析】【解答】由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．
故答案为：D
例3.已知 ，且，则的最大值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
则，当且仅当时，“=”成立，
又a，，所以，当且仅当时，“=”成立，
所以的最大值为.
故答案为：C
例4. 若，则的最小值是　 　.
【答案】2
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则，
所以，
解得或（舍去），
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值是2.
故答案为：2.
例5. 已知 ， ， ，则 的最小值为　 　．
【答案】12
【解析】【解答】由 得出
令 ， ，则
当且仅当 ，即 时取等号
的最小值为12
故答案为：12
例6.已知x，y，z为正实数，且，则的最大值为　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：因为，所以，
又x，y，z为正实数，所以，当且仅当时取等号，
所以，即，所以，当且仅当时取等号.
所以的最大值为2，
故答案为：2.
例7. 已知正数 满足 ，则 的最大值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】因为 ，所以 ，即 ；
因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
解得 ；
所以 ，当且仅当 时，即 时，
取到最大值.
故答案为： .
课后练习
1．已知 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】【解答】因为 ，则 ，
当且仅当 时，即 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为：
2. 若 ，则 的最小值为（ ）
A. -1 B. 3 C. -3 D. 1
【答案】A
【解析】【解答】解： ，当且仅当 时等号成立，
故答案为：A.
3．已知 ，则 的最大值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】由题设， ，则 ，
∴ ，当且仅当 时等号成立，
∴ 的最大值为 。
故答案为： 。
4．函数的最小值为　 　．
【答案】
【解析】令，；
(当且仅当，即时，等号成立)，
故函数，的最小值为，
5. 若实数，，满足，以下选项中正确的有(　　)
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】
实数，，，
整理得：，当且仅当时取，故选项错误；
(，
当且仅当时取，故选项错误；
，，
，
当且仅当时取，
，故选项错误；
，
，
，当且仅当时取，故选项正确，
故选：．
6．下列函数中最小值为 的是（　　）
A． B．当 时，
C．当 时， D．
【答案】B
【解析】【解答】对于 ， ，如果 时， ，故 不符合题意；
对于 ，因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 正确；
对于 ，因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以其最小值为0，故 错误；
对于 ， ，当且仅当 即此时无解，这表明最小值4取不到，故 错误．
故答案为：B．
7. 若，，且，则的最小值是　 　．
【答案】
【解析】，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
8. 已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A. 9 B. 6 C. D.
【答案】 C
【解析】【解答】 正数 ， 满足 ，
，
当且仅当 ，即 ， 时，取等号.
故答案为：C
9. 若 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】【解答】由题意，因为 ，
则
当且仅当 且 即 时取得最小值 .
故答案为：B．
10.已知，则的最小值是　 　．
【答案】
，则
，
11. 已知实数，，且满足，则的最小值是　　．
【答案】
【解析】实数，，且满足，
，，
又，
，当且仅当时取，
故答案为：．
12．已知，为正实数，且，则的最小值为　 　.
【答案】8
【解析】【解答】解：，为正实数，且，可知，
，
.
当且仅当时取等号.
的最小值为8.
故答案为：8.
13．已知正数a，b满足，则的最小值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
14．若正数满足，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】因为正数满足，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：A
15．设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（　　）
A． B．2 C．1 D．
【答案】D
【解析】【解答】∵，，不等式恒成立，
即恒成立，∴只需，
∵，当且仅当时取等号.
所以，
∴，∴m的最小值为-4，
故答案为：D
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2.2基本不等式
1 基本不等式
若，则 (当且仅当时，等号成立).
① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.
② 基本不等式的几何证明
③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
2 基本不等式及其变形
当且仅当 的时候取等号； 一正二定三相等
3 对勾函数
① 概念 形如的函数.
② 图像
③ 性质
函数图像关于原点对称，
在第一象限中，当时，函数递减，当时，函数递增.
④ 与基本不等式的关系
由图很明显得知当时，时取到最小值，
其与基本不等式时取到最小值是一致的.
1
变形
例1. 已知 ，函数 的最小值是
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
例2. 求函数的最值.
例3. 已知，则的最大值为（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
例 4. [多选题]下列说法正确的是(　　)
的最小值是 的最小值是
的最小值是 的最大值是
例5.若 ，则函数 的最小值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
例6. 若，则的最小值是　 　．
例7.设，，若，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
2
变形：一次函数有加减数，可用换元法，把一次换元成
例1. 已知 ，则 的最小值为 ;
例2. 若，则的最大值为　 .
例3. 函数有（　　）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
3
例1.已知 ， ，则 的最小值是（ ）
A. 7 B. 9 C. 5 D. 11
例2. （ ）的最大值为（ ）
A. B. C. D.
例3. 已知 ， ，则 的最大值是（ ）
A. B. C. 4 D. 8
例4. 已知，则的最大值为　 　．
4 1. 已知的最小值？ 2. 已知的最小值？ 结论：
证明：
例1. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
例2. 已知正实数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. 3 D.
例3. 若正数满足，则的最大值为　 　．
例4. 若对任意的正数 ，满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 24
例5. 已知 ,且满足 ,那么 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
例6. 已知正实数，满足，则的最小值为　 　．
例7. 若，，，，则的最小值为　 　．
例8. 若，，，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
例9. 设 ， ，且 恒成立，则n的最大值为　 　.
例10. 已知，，，则的最小值为　 　．
5 其他类型
例1. 已知，，若，则的最大值为　 　．
例2. 若，，且，则的最小值为（　　）
A．9 B．16 C．49 D．81
例3.已知 ，且，则的最大值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
例4. 若，则的最小值是　 　.
例5. 已知 ， ， ，则 的最小值为　 　．
例6.已知x，y，z为正实数，且，则的最大值为　 　．
例7. 已知正数 满足 ，则 的最大值为　 　.
课后练习
1．已知 ，则 的最小值为 .
2. 若 ，则 的最小值为（ ）
A. -1 B. 3 C. -3 D. 1
3．已知 ，则 的最大值为　 　.
4．函数的最小值为　 　．
5. 若实数，，满足，以下选项中正确的有(　　)
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
6．下列函数中最小值为 的是（　　）
A． B．当 时，
C．当 时， D．
7. 若，，且，则的最小值是　 　．
8. 已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）
A. 9 B. 6 C. D.
9. 若 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10.已知，则的最小值是　 　．
11. 已知实数，，且满足，则的最小值是　　．
12．已知，为正实数，且，则的最小值为　 　.
13．已知正数a，b满足，则的最小值为　 　.
14．若正数满足，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
15．设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（　　）
A． B．2 C．1 D．
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