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3.3函数的奇偶性
1 函数奇偶性的概念
① 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
② 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的.
2 判断函数奇偶性的方法
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数.
② 数形结合
若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数.
③ 取特殊值排除法(选择题)
比如：若根据函数得到，则排除是偶函数.
④ 性质法
3.2 常见的奇函数
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8.
3.3 常见的偶函数
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7.
注意：既是奇函数又是偶函数：
3.4 奇偶性的运算与性质
1. 如果函数是奇函数，定义域包括0，则
2. 如果函数是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
3. 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
4. 在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
1函数奇偶性的判断
例1．判断下列函数的奇偶性．
（1）；
（2） ；
（3）
【答案】（1）解：虽然f(－x)＝f(x)，但定义域不关于原点对称，
故f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]是非奇非偶函数
（2）解：由 得－1≤x<0，或0故函数的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，
且有x＋2>0.从而有 ，
于是．故函数为奇函数
（3）解：当x>0时， x<0 ,f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x；
当x<0时， x>0,f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x.
∴，∴是奇函数
秒杀秘籍：复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外
2 奇偶性的应用
例1.下列函数中，是奇函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A. ，定义域为R，，故不是奇函数；
B. ，定义域为R，，故不是奇函数；
C. ，定义域为，，故是奇函数；
D. ，定义域为R，，故不是奇函数，
故答案为：C.
例2.已知函数 在R上是奇函数，且当 时， ，则 时， 的解析式为　 　.
【答案】
【解析】【解答】因为函数 在R上是奇函数,
所以 ,
因为 时， ,
所以 时, , ,所以
所以 时， 的解析式为 .
故答案为:
秒杀秘籍：如果是奇函数，当时，的解析式由奇函数和偶函数组成，则当时的解析式，奇的项不变，偶的项加负号。
如果是偶函数，当时，的解析式由奇函数和偶函数组成，则当时的解析式，偶的项不变，奇的项加负号。
例3.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则　 　.
【答案】2
【解析】【解答】函数是定义在上的奇函数，
。
故答案为：2。
例4. 已知 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且 ，当 时， ( 为常数)，则 ________．
【答案】
【解析】【解答】由 为定义在 上的奇函数可知 ，已知 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
于是 ．
例5. 已知函数 是定义在 上的奇函数，则 ________.
【答案】 1
【解析】【解答】依题意可得， ，则 ，解得
当 时， ，则
所以 为奇函数，满足条件，故
例6. 设是定义在上的奇函数，则（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】【解答】是定义在上的奇函数，
∴，即，
且，
∴，且，所以，
∴．
故答案为：C．
例7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】函数是定义在上的奇函数，，
解得，得，
所以时，，则，
因为为奇函数，故。
故答案为：B
课后练习:
1．若函数是上的偶函数，则的值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】函数是定义在上的偶函数，
，即．
，，
，∴，
故答案为：.
2．函数的图象关于(　　)对称
．原点 ． ．轴 ．轴
【答案】
．
则，即函数是偶函数，
则函数的图象关于轴对称，
故选：．
3．已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，则当 时， 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，设 ，则 ，有 ，
又由 为偶函数，则 ，
即 ，
故答案为： ．
4．已知 是R上的奇函数，当 时， ，则 的值为　 　．
【答案】2
【解析】【解答】由题意，函数 是R上的奇函数，当 时， ，
可得 ，
即 的值为 .
故答案为：2.
5．若函数的图象关于轴对称，则常数 .
【答案】
【解析】可知函数为偶函数，则，
即，解得，
将代入解析式验证，符合题意．
6．已知是奇函数，当时，，则　 　．
【答案】-6
【解析】【解答】因为当时，，
所以，
又是奇函数，所以，则。
故答案为：-6。
5函数的奇偶性与单调性的综合
例1．已知函数，，则的值是 .
是奇函数
.
例2．已知函数，且，则　 　.
【答案】-2019
【解析】【解答】由，令且定义域为，
，
所以为奇函数，故，
则。
故答案为：-2019。
例3．已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则　 　.
【答案】15
【解析】【解答】
令，其定义域为，，即为奇函数，即函数在区间上满足，所以，即。
故答案为：15。
例4．已知奇函数在减函数，且，则不等式的解集为 (　　)
【解析】由题意画出的草图如下，
因为，所以与同号，
由图象可得或，
解得或，
故选：．
例5．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】因为为的偶函数，又，在上单调递增，
所以，函数在在上单调递减，
所以当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
又当或或时，，
所以的解集为，
故答案为：A.
【点拨】
① 若函数是偶函数，则函数在轴两侧的单调性是相反的，
若函数是奇函数，则函数在轴两侧的单调性是相同的，
② 若函数是偶函数，在上递增，
则求解等价于解不等式，不要漏了绝对值.(如下图所示).
③ 遇到类似的函数不等式，一般都是利用函数的单调性处理.
例6．若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵是奇函数，在上递减，则在上递减，
∴在上是减函数，
又由是奇函数，则不等式可化为，
∴，．
故答案为：B．
例7．已知函数，若，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】设，，则，即为奇函数，容易判断在R上单调递增（增+增），又可化为，，所以a >1－2a，∴ a >．
故答案为：A.
例8．已知函数的定义域为，其图像关于轴对称，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是（　　）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】的图象关于轴对称，故是偶函数，
在上递增，则在上递减，
转化为，，
，。
故答案为：D．
课后练习:
1．如果奇函数在区间上是减函数，且最小值为，那么在区间上是(　　)
减函数且最大值为 增函数且最大值为6
减函数且最小值为 增函数且最小值为6
【答案】
【解析】当时，
，即．从而，
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，
故在是减函数．
故选：．
2．已知函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】函数为奇函数，且函数为增函数，
则不等式等价为，
则，得，得，
即不等式的解集为
3．已知函数 为 上偶函数，且 在 上的单调递增，若 ，则满足 的 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】 是偶函数， ，所以不等式 化为 ，
又因为 在 上递增，所以 ，
或 ，即 或 。
故答案为：B．
4．已知函数，则使得成立的的取值范围是　 　.
【答案】-3＜a＜1
【解析】【解答】由且，
所以为偶函数，
若时，，
而，
所以，故在上递增，则上递减，
要使成立，即，可得-3＜a＜1。
故答案为：-3＜a＜1。
5．已知函数为定义在上的奇函数，则不等式的解集为　 　.
【答案】
【解析】【解答】根据奇函数定义可知，可得，函数定义域为；
又，可得，所以；
易知函数在上单调递增，
所以不等式即为，
根据函数单调性和奇偶性可得，解得.
故答案为：
6．已知函数，且，则的值为　 　．
【答案】-10
【解析】【解答】，令，
∵，∴为奇函数，∴，
则，得.
故答案为：-10
7．设，且，则（　　）
A． B．7 C．17 D．
【答案】D
【解析】【解答】令g(x)＝f(x)＋5＝ax3＋bx，
∵g(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－ax3－bx＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，
∵f(－7)＝7，∴g(－7)＝f(－7)＋5＝12，
又∵g(－7)＝－g(7)，∴g(7)＝－12，
又∵g(7)＝f(7)＋5，∴f(7)＝－17，
故答案为：D．
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3.3函数的奇偶性
1 函数奇偶性的概念
① 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
② 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的.
2 判断函数奇偶性的方法
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数.
② 数形结合
若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数.
③ 取特殊值排除法(选择题)
比如：若根据函数得到，则排除是偶函数.
④ 性质法
3.2 常见的奇函数
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8.
3.3 常见的偶函数
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7.
注意：既是奇函数又是偶函数：
3.4 奇偶性的运算与性质
1. 如果函数是奇函数，定义域包括0，则
2. 如果函数是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
3. 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
4. 在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
1函数奇偶性的判断
例1．判断下列函数的奇偶性．
（1）；
（2） ；
（3）
2 奇偶性的应用
例1.下列函数中，是奇函数的是（　　）
A． B． C． D．
例2.已知函数 在R上是奇函数，且当 时， ，则 时， 的解析式为　 　.
例3.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则　 　.
例4. 已知 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且 ，当 时， ( 为常数)，则 ________．
例5. 已知函数 是定义在 上的奇函数，则 ________.
例6. 设是定义在上的奇函数，则（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
例7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
课后练习:
1．若函数是上的偶函数，则的值为　 　.
2．函数的图象关于(　　)对称
．原点 ． ．轴 ．轴
3．已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，则当 时， 　 　．
4．已知 是R上的奇函数，当 时， ，则 的值为　 　．
5．若函数的图象关于轴对称，则常数 .
6．已知是奇函数，当时，，则　 　．
5函数的奇偶性与单调性的综合
例1．已知函数，，则的值是 .
例2．已知函数，且，则　 　.
例3．已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则　 　.
例4．已知奇函数在减函数，且，则不等式的解集为 (　　)
例5．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（　　）
A． B． C． D．
例6．若定义在的奇函数在单调递减，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
例7．已知函数，若，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
例8．已知函数的定义域为，其图像关于轴对称，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是（　　）
A．或 B．或 C． D．
课后练习:
1．如果奇函数在区间上是减函数，且最小值为，那么在区间上是(　　)
减函数且最大值为 增函数且最大值为6
减函数且最小值为 增函数且最小值为6
2．已知函数，则不等式的解集为 .
3．已知函数 为 上偶函数，且 在 上的单调递增，若 ，则满足 的 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知函数，则使得成立的的取值范围是　 　.
5．已知函数为定义在上的奇函数，则不等式的解集为　 　.
6．已知函数，且，则的值为　 　．
7．设，且，则（　　）
A． B．7 C．17 D．
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