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浙教版初中数学七年级上册第三章《实数》单元测试卷（含答案解析）（困难）
考试范围：第三章 考试时间：120分钟 总分：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一个正数的两个平方根分别为与，则的值为( )
A. B. C. D.
2. 下列说法正确的是( )
A. 的平方根是
B. 任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数
C. 任何一个非负数的平方根都不大于这个数
D. 是的平方根
3. 若一个正数的两个平方根分别为与，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 下列关于的描述错误的是( )
A. 面积为的正方形的边长 B. 的算术平方根
C. 在整数和之间 D. 方程中未知数的值
5. 如图所示，数轴上表示，的点为，，且，两点到点的距离相等，则点所表示的数是( )
A. B. C. D.
6. 如图，根据作图的痕迹可知，点表示的实数为( )
A. B. C. D.
7. 若，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 下列说法中，正确的有( )
只有正数才有平方根；一定有立方根；没意义；；
只有正数才有立方根．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9. 有下列说法：平方根与立方根相同的数是；一定没有平方根；的算术平方根是；每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示；的算术平方根是；是的平方根．其中说法正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10. 有这样一种算法程序，对于输入的任意一个实数，都进行“先乘，再加”的运算现在输入一个，通过第次运算的结果为，再把输入进行第次同样的运算，得到的运算结果为，，一直这样运算下去，当运算次数不断增加时，运算结果( )
A. 越来越接近 B. 越来越接近
C. 越来越接近 D. 不会越来越接近一个固定的数
11. 比较与的大小，正确的是( )
A. B.
C. D. 以上都不对
12. 对于任意的实数，，定义一种词“”，，则( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 已知，，则______________。
14. 规定：用符号表示一个不大于实数的最大整数，例如：，，，按这个规定，_____．
15. 一个正数的两个平方根是和，则的立方根为 ．
16. 定义运算，如，那么 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为：，面积为的长方形．
求长方形的长和宽；
她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由．
18. 本小题分
某小区有一块面积为的正方形空地，开发商计划在此空地上建一个面积为的长方形花坛，使长方形的长是宽的倍．请你通过计算说明开发商能否实现这个计划？参考数据：，
19. 本小题分
小丽想用一块面积为平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为：她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？说明理由．
20. 本小题分
已知、、在数轴上如图，化简．
21. 本小题分
已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
求，，的值；
求的平方根．
22. 本小题分
一个数值转换器的工作原理如图所示．
当输入的值为时，求输出的值；
输入值后，存在始终无法输出值的情况，写出所有满足要求的值；
若输出的值是，请写出四个满足要求的的值： ．
23. 本小题分
已知是的平方根，是的立方根，的整数部分为，求的值．
24. 本小题分
已知的立方根是，的算术平方根是，是的算术平方根．
求，，的值；
求的平方根．
25. 本小题分
计算：；
已知：的算术平方根是，的立方根是，求的平方根．
答案和解析
1.【答案】
【解析】一个正数的两个平方根分别为与，
，解得．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平方根的基础知识，也考查了学生的综合应用能力．
A、根据平方根的定义即可判定；
B、根据平方、平方根的定义即可判定；
C、可以利用反例，如：当时结合平方根的定义即可判定；
D、根据平方根的定义即可判定．
【解答】
解：：由于负数没有平方根，故A选项错误；
：任何数的平方为非负数，正确；但只有非负数才有平方根，且平方根有正负之分的平方根为故选项B错误；
：任何一个非负数的平方根都不大于这个数，不一定正确，如：当时，，故选项错误；
：的平方是，所以是的平方根，故选项正确．
故选D．
3.【答案】
4.【答案】
【解析】解：、面积为的正方形的边长为，故正确，不符合题意；
B、的算术平方根为，故正确，不符合题意；
C、，故在整数和之间，故正确，不符合题意；
D、，则，故D错误，符合题意．
故选：．
根据每个选项所述分别计算出结果，并判断对错即可．
本题考查平方根，算术平方根的计算，算术平方根的取值范围，能够熟练掌握算术平方根的运算是解决本题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了实数与数轴的对应关系．解题时，采用了“数形结合”的数学的思想，根据题意分别求得点在数轴上所表示的数，然后由来求点所表示的数．
【解答】
解：设点所表示的数是．
点、所表示的数分别是、，
；
又，两点到点的距离相等，
，
．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：作图的痕迹得，，
，
，
点表示的数为．
故选：．
利用基本作图得到，，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后利用数轴表示数的方法得到点表示的实数．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了实数与数轴．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平方根、立方根的定义及代数式的求值，准确理解平方根及立方根的定义是解题的关键．
根据平方根、立方根的定义可求出，的值，再根据可确定，的取值，然后代入计算即可．
【解答】
解：，，
，，
，
，
．
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平方根和立方根的性质利用平方根与立方根的性质，对各个选项一一判断即可．
【解答】
解：非负数都有平方根，所以是错误的；
任何数的立方根都只有一个，所以是正确的；
时，没意义，所以所以是错误的；
，所以是正确的．
所以正确的有个．
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了实数，利用平方根、立方根的意义，无理数与数轴的关系是解题关键．根据平方根、立方根的意义，无理数与数轴的关系，可得答案．
【解答】解：平方根与立方根相同的数是，故错误；
有平方根，故错误；
的算术平方根是，故错误；
每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示，故正确；
的算术平方根是，故正确；
是的平方根，故正确；
故选C．
10.【答案】
【解析】当时，继续计算下去，，，，，所以当运算次数不断增加时，运算结果越来越接近，故选C．
11.【答案】
【解析】本题考查实数大小比较，二次根式的混合运算，用“倒数法”求解，有一定难度．
解：因为，
，
，
所以，
所以．
12.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据，代入计算可以求得所求式子的值．
本题考查了实数的运算，二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．
13.【答案】．
【解析】【分析】
本题考查了利用算术平方根的定义进行规律判断，找出小数点的移动规律是解题的关键．将的结果的小数点向右移动位，即可求得结果．
【解答】
解：，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【解答】
解：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
先求出的范围，求出的范围，即可得出答案．
本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求的范围．
15.【答案】
【解析】解：，
解得，
，
，
即的立方根为
故答案为：．
因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系，列出方程求得的值，进而求得的值，代入代数式即可求解．
本题考查了平方根的应用、立方根，掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：根据题意得：．
故答案为：．
根据定义的运算法则求解即可．
此题考查了实数的运算，解题的关键是正确列出算式求解．
17.【答案】解：根据题意设长方形的长为，宽为，
则，
即，
，
，
，
答：长方形的长为，宽为．
设正方形的边长为，根据题意可得，
，
，
，
原来长方形的宽为，
正方形的边长与长方形的宽之差为：，
，
即，
，
所以她的说法正确．
【解析】根据题意设长方形的长为，宽为，则，再利用平方根的含义解方程即可；
设正方形的边长为，根据题意可得，，利用平方根的含义先解方程，再比较与的大小即可．
本题考查的是算术平方根的应用，利用平方根的含义解方程，以及无理数的估算，理解题意，准确地列出方程或代数式是解本题的关键．
18.【答案】解：设长方形花坛的宽为，则长为，
依题意，得，
，
，
，，
正方形的面积为，
正方形的边长为，
，
开发商不能实现这个计划．
【解析】本题考查算术平方根的性质，正方形和长方形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
求出长方形的边长和正方形的边长，再与正方形的边长比较即可判断．
19.【答案】解：正方形的边长．
设长方形的边长为，．
根据题意得：，
解得：，解得：或舍去．
矩形的长为，
小丽不能用这款纸片才裁出符合要求的纸片．
【解析】先求得正方形的边长，然后设长方形的边长为，，然后依据矩形的面积为列方程求得的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断．
本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
20.【答案】解：如图所示：，，，，
故
．
【解析】直接利用数轴得出，，，，进而化简得出答案．
此题主要考查了算术平方根得非负性和数轴，正确得出各部分符号是解题关键．
21.【答案】解：的立方根是，
；
；
的算术平方根是，
，即，
；
，
，
的整数部分是，
；
，，，
，
．
【解析】分别根据立方根的定义，算术平方根的定义及估算无理数的大小的方法求出，，的值即可；
把中，，的值代入，求出其平方根即可．
本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
22.【答案】或或或答案不唯一
【解析】解：
，
输出的值是；
，的算术平方根是它们本身，
，或时，无法输出的值，
或或；
当，或时，输出的值是，
或或或答案不唯一．
故答案为：或或或答案不唯一．
由，得到，即可计算；
，或时，即可求出所有满足要求的值；
由输出的值是，逆推过去，即可求出满足要求的的值．
本题考查算术平方根，无理数，关键是掌握算术平方根的定义，无理数的定义．
23.【答案】解：是的平方根，
，
解得：或，
是的立方根，
，
解得：，
，
的整数部分为，
或．
【解析】直接利用平方根的定义结合立方根的定义得出，的值，再利用估算无理数的大小的方法得出的值，进而得出答案．
此题主要考查了平方根的定义以及立方根的定义和估算无理数的大小，正确把握相关定义是解题关键．
24.【答案】解：，
，
；
，
，
又，
；
，
；
把：，，代入得：
，
，
的平方根是：．
【解析】根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可；
先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可．
本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数的平方是，叫做的平方根；算术平方根：一个非负数的平方是，叫做的算术平方根；立方根：一个数的立方是，叫做的立方根，是解题的关键．
25.【答案】解：
；
的算术平方根是，
；
的立方根为，
，
求得，，
，
则的平方根为．
【解析】先计算平方根和立方根再根据实数的运算法则计算即可；
根据的算术平方根是，求出，利用的立方根为，求出，进一步可求出，再算出的平方根为．
本题考查了实数的计算，掌握实数的混合运算法则是关键．
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