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【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：半角公式
一、选择题
1．（2018·全国Ⅰ卷文）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α= ，则|a-b|=（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】半角公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ，
又 ， ，
又 ，
故答案为：B.
【分析】由二倍角公式求出 即直线OAB的斜率，再由三角函数的定义求出a，b的值，然后求|a-b|的值.
2．（2022·安康模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】半角公式；诱导公式
【解析】【解答】
，
故答案为：D
【分析】先由
求得
，再去求
即可.
3．（2021·凉山州模拟） 中， ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】半角公式；诱导公式
【解析】【解答】因为在 中， ，
所以 ，且A为锐角，
所以 ，
故答案为：C
【分析】根据，利用诱导公式得到，再利用半角公式求解，即可得到答案。
4．（2020·安阳模拟）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】半角公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】由 ，得
因为 所以 ，
所以 ，又 ，
联立解得 ，所以 .
故答案为：D
【分析】先根据二倍角公式和角的范围求出 ，再利用半角公式即可求解 .
5．（2020高二上·中山期末）在 中，角 所对的边的长分别为 ，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】半角公式；正弦定理
【解析】【解答】对于A选项， ，
利用正弦定理角化边有 ，
整理得 ，
有 ，
因为 ，所以 ，
A符合题意，
对于B选项，可知当三角形为等边三角形时，等式同样成立，
B不符合题意，
对于C选项， ，根据半角公式有，
，
整理得 ，
C符合题意，
对于D选项， ，
因为在任意的三角形中都有 ，
所以两式相加可得 ，
整理得 ，
D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据选项的边角关系，结合正弦定理，判断选项是否为直角三角形.
6．（2019高三上·广州月考） ，若 ，则 （　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】三角函数的化简求值；半角公式
【解析】【解答】由题：
.
故答案为：B
【分析】根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解
7．（2018高一下·应县期末）若 ， 是第三象限的角，则 （　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】半角公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解： ， 是第三象限的角，所以 ， ，
故答案为：B。
【分析】利用半角公式化简题目给出的式子，再利用同名 三角函数关系分别计算三角函数值，代入已经化简的式子，得出答案。
8．（2017高二下·深圳月考）已知曲线的参数方程是 )，若以此曲线所在直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则此曲线的极坐标方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】半角公式；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：根据半角公式，
所以曲线参数方程转化为直角坐标方程后为
化简得
根据 ，代入化简得
故答案为：D
【分析】先根据半角公式把已知曲线的参数方程化简，再转化为直角坐标方程，最后再转化为极坐标方程即可.
9．（2017高一下·简阳期末）已知cos α= ，α∈（ ），则cos 等于（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】B
【知识点】半角公式
【解析】【解答】解：∵已知cos α= ，α∈（ ），∴ ∈（ ，π），则cos =﹣ =﹣ =﹣ ，
故选：B．
【分析】由题意利用半角的余弦公式，求得cos 的值．
10．（2016高二上·东莞开学考）若 ，α是第三象限的角，则 =（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】A
【知识点】弦切互化；半角公式
【解析】【解答】解：由 ，α是第三象限的角，
∴可得 ，
则 ，
应选A．
【分析】将欲求式 中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角 的差别，注意消除它们之间的不同．
11．（2017高一上·眉山期末）已知α是第一象限角，那么 是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
【答案】D
【知识点】半角公式；象限角、轴线角
【解析】【解答】解：∵α的取值范围（2kπ， +2kπ），（k∈Z）
∴ 的取值范围是（kπ， +kπ），（k∈Z）
分类讨论
① 当k=2i+1 （其中i∈Z）时
的取值范围是（π+2iπ， +2iπ），即 属于第三象限角．
②当k=2i（其中i∈Z）时
的取值范围是（2iπ， +2iπ），即 属于第一象限角．
故选：D．
【分析】由题意α是第一象限角可知α的取值范围（2kπ， +2kπ），然后求出 即可．
二、填空题
12．（2019高一上·哈尔滨月考）已知 ，则 　 　
【答案】
【知识点】半角公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ，由
故答案为
【分析】结合诱导公式可将 化成 ，再结合半角公式即可求值
13．（2019高一下·温州期末）已知cosθ ，θ∈（π，2π），则sinθ＝　 　，tan 　 　.
【答案】；﹣2
【知识点】半角公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由 ， ，知 ，则 ，
.
故答案为： ，-2.
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得式子的值.
14．（2018高一下·四川期中）若 ，则 　 　．
【答案】
【知识点】半角公式
【解析】【解答】解：∵
∴ ，
∴ ，
∴ （舍去）或 .
故填 .
【分析】由，及，求得正切值，利用正切函数的半角公式，即可得出答案。
15．（2017·厦门模拟）已知cosθ=﹣ ，θ∈（π，2π），则sin +cos =　 　．
【答案】
【知识点】半角公式
【解析】【解答】解：∵cosθ=﹣ ，θ∈（π，2π），∴θ为第三象限角，∴sinθ=﹣ =﹣ ，
∴ ∈（ ， ），∴sin +cos ＞0．
再根据 =1+sinθ= ，可得sin +cos = ，
故答案为： ．
【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，求得要求式子的值．
16．（2016高三上·浦东期中）已知θ是第三象限角，若sinθ=﹣ ，则tan 的值为　 　．
【答案】﹣3
【知识点】半角公式
【解析】【解答】解：∵θ是第三象限角，若sinθ=﹣ ，
∴cosθ=﹣ ，
∴tan = = =﹣3．
故答案是：﹣3．
【分析】利用θ是第三象限角和同角三角函数关系求得cosθ=﹣ ，然后由正切的半角三角函数解答．
17．（2016高三上·盐城期中）已知sinα= ，且α为钝角，则cos =　 　．
【答案】
【知识点】半角公式
【解析】【解答】解：∵由α是钝角，即90°＜α＜180°，则45°＜ ＜90°，
∴cosα＜0，cos ＞0，
∴cosα=﹣ =﹣ ，
∴cos = = = ．
故答案为： ．
【分析】根据题意，由余弦的二倍角公式可得cos = ，又由α是钝角，可得 的范围，由此可得cos 的符号为正，即可得答案．
18．（2016高一下·辽宁期末）已知tanα=2，tanβ=3，且α、β都是锐角，则tan =　 　．
【答案】1+
【知识点】两角和与差的正切公式；半角公式
【解析】【解答】解：tan（α+β）= = =﹣1，
∵α、β都是锐角，
∴α+β= ，可得： = ，tan ＞0，
∵tan（α+β）=﹣1= ，整理可得：tan2 ﹣2tan ﹣1=0，
∴解得：tan =1+ ，或1﹣ （舍去）．
故答案为：1+ ．
【分析】先利用正切的两角和公式求得tan（α+β）的值，进而求得α+β， 的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解．
19．已知，且2π＜α＜3π，则=　 　
【答案】-
【知识点】半角公式
【解析】【解答】解：∵2π＜α＜3π，
∴，
∴＜0，
∴（）2=（1﹣cosα）=（1﹣）=，
∴=﹣，
故答案为：﹣．
【分析】根据二倍角的公式以及三角函数值的符号问题即可求出．
20．若cosα=﹣，α是第三象限的角，则tan=　 　
【答案】-3
【知识点】半角公式
【解析】【解答】∵cosα=﹣，α是第三象限的角，∴sinα=﹣，∴tan==﹣3，
【分析】由条件求 sinα=﹣，从而求得tan=的值。
21．2cos215°﹣cos30°=　 　
【答案】1
【知识点】半角公式
【解析】【解答】∵cos30°=2cos215°﹣1，
∴2cos215°﹣cos30°=2cos215°﹣（2cos215°﹣1）=1．
故答案为：1．
【分析】利用cos30°=2cos215°﹣1，代入计算，即可得出结论。
三、解答题
22．（2020高一下·番禺期中）已知 ， ，函数 .
（1）求 的最小正周期及单调递增区间；
（2）在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边长，若 ， ， 的面积为 ，求a的值.
【答案】（1）解：
即 .故最小正周期为 .
单调递增区间： .
故 ，递增区间为 ， .
（2）解：由 得 ，因为 .
故 ，故 .
又 ，故 .
故 ，故
【知识点】半角公式；积化和差公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用向量的数量积公式与降幂公式和差角公式化简即可.(2)根据 可得 ，再根据 的面积为 可得 ，再利用余弦定理求 即可.
23．（2019高二下·杭州期末）设函数 .
（I）求 的最小正周期 ；
（Ⅱ）求 在区间 上的值域.
【答案】解：（Ⅰ） ，
所以 ；
（Ⅱ）因为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 的值域为 .
【知识点】二倍角的正弦公式；半角公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（I）将函数 利用二倍角降幂公式、辅助角公式化简，再利用周期公式，即可计算出函数 的最小正周期；
（Ⅱ）由 ，求出 的取值范围，再结合正弦函数的性质，得出 的范围，即可得出函数 在区间 上的值域.
24．（2019高二下·南山期末）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求△ABC的面积.
【答案】（1）解：由降幂公式可得： ，
，化简得： ，
（2）解： 在 中， ， ，
，
由余弦定理可得： ，即
又 ， ，
，解得：
【知识点】二倍角的余弦公式；半角公式；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用降幂公式化简 ，整理化简即可得到 的值；
（2）由（1）可得 ，利用余弦定理化简得到 ，代入面积公式即可得结果．
25．（2019高一下·吉林期末）已知 ， ，求 及 的值.
【答案】解： ，
所以 ，
，且 ，
，
，
由 ，
得 .
【知识点】半角公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】计算出 的取值范围，判断出 的符号，利用同角三角函数的平方关系计算出 的值，然后利用半角公式计算出 的值.
26．已知sinx=，角x终边在第一象限，求tan的值．
【答案】解：∵sinx=，角x终边在第一象限，∴cosx=∴tan==2+．
【知识点】半角公式
【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，再利用半角公式求得tanx的值。
27．已知sinα=，且α=（，π），求cos2α，sin2α及sin的值．
【答案】解：∵sinα=，且α=（，π），
∴cosα=﹣=﹣，
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，sin2α=2sinαcosα=﹣，
由α∈（，π）知，∈（，），
∴sin===．
【知识点】半角公式
【解析】【分析】利用同角三角函数间的关系式及二倍角的正弦、余弦及半角公式即可求得cos2α，sin2α及sin的值。
28．已知sinα=，sin（α+β）=，α与β均为锐角，求cos．（cos=）
【答案】解：∵0＜α＜，∴cosα=又∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π．…（4分）若0＜α+β＜，∵sin（α+β）＜sinα，∴α+β＜α不可能．故＜α+β＜π．∴cos（α+β）=﹣∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣ ∵0＜β＜，∴0＜＜．故cos==．
【知识点】半角公式
【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系及角的范围，求出cosα、cos（α+β）的值，再由两角差的余弦公式可得cosβ.本题属于基本题。
29．已知，请用m分别表示tanθ、tan2θ、．．
【答案】解：由题意，
用万能公式求对同样给分．
【知识点】半角公式
【解析】【分析】由，可求得sinθ，从而可求tanθ；由二倍角公式可求tan2θ；半角公式可求．
30．已知0＜β＜＜α＜，cos（2α﹣β）=﹣，sin（α﹣2β）=，求sin的值．
【答案】解：∵0＜β＜＜α＜，∴＜2α＜π，﹣＜﹣β＜0，∴＜2α﹣β＜π．
∵cos（2α﹣β）=﹣，∴sin（2α﹣β）=．
同理可得：﹣＜α﹣2β＜．又∵sin（α﹣2β）=，∴cos（α﹣2β）=．
∴cos（α+β）=cos[（2α﹣β）﹣（α﹣2β）]
=cos（2α﹣β）cos（α﹣2β）+sin（2α﹣β）sin（α﹣2β）
=（﹣）×+×=，
∵＜α+β＜，
∴α+β=，∴sin=．
【知识点】半角公式
【解析】【分析】利用三角恒等变换及其应用，可求得sin（2α﹣β）=，cos（α﹣2β）=，利用两角和的余弦可求得cos（α+β）=，继而可得α+β=，于是可求得sin=。
1 / 1【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：半角公式
一、选择题
1．（2018·全国Ⅰ卷文）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α= ，则|a-b|=（　　）
A． B． C． D．1
2．（2022·安康模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·凉山州模拟） 中， ，则 （　　）
A． B． C． D．
4．（2020·安阳模拟）已知 ，则 （　　）
A． B． C． D．
5．（2020高二上·中山期末）在 中，角 所对的边的长分别为 ，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2019高三上·广州月考） ，若 ，则 （　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．（2018高一下·应县期末）若 ， 是第三象限的角，则 （　　）
A．3 B． C． D．
8．（2017高二下·深圳月考）已知曲线的参数方程是 )，若以此曲线所在直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则此曲线的极坐标方程为（　　）
A． B． C． D．
9．（2017高一下·简阳期末）已知cos α= ，α∈（ ），则cos 等于（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
10．（2016高二上·东莞开学考）若 ，α是第三象限的角，则 =（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
11．（2017高一上·眉山期末）已知α是第一象限角，那么 是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
二、填空题
12．（2019高一上·哈尔滨月考）已知 ，则 　 　
13．（2019高一下·温州期末）已知cosθ ，θ∈（π，2π），则sinθ＝　 　，tan 　 　.
14．（2018高一下·四川期中）若 ，则 　 　．
15．（2017·厦门模拟）已知cosθ=﹣ ，θ∈（π，2π），则sin +cos =　 　．
16．（2016高三上·浦东期中）已知θ是第三象限角，若sinθ=﹣ ，则tan 的值为　 　．
17．（2016高三上·盐城期中）已知sinα= ，且α为钝角，则cos =　 　．
18．（2016高一下·辽宁期末）已知tanα=2，tanβ=3，且α、β都是锐角，则tan =　 　．
19．已知，且2π＜α＜3π，则=　 　
20．若cosα=﹣，α是第三象限的角，则tan=　 　
21．2cos215°﹣cos30°=　 　
三、解答题
22．（2020高一下·番禺期中）已知 ， ，函数 .
（1）求 的最小正周期及单调递增区间；
（2）在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边长，若 ， ， 的面积为 ，求a的值.
23．（2019高二下·杭州期末）设函数 .
（I）求 的最小正周期 ；
（Ⅱ）求 在区间 上的值域.
24．（2019高二下·南山期末）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求△ABC的面积.
25．（2019高一下·吉林期末）已知 ， ，求 及 的值.
26．已知sinx=，角x终边在第一象限，求tan的值．
27．已知sinα=，且α=（，π），求cos2α，sin2α及sin的值．
28．已知sinα=，sin（α+β）=，α与β均为锐角，求cos．（cos=）
29．已知，请用m分别表示tanθ、tan2θ、．．
30．已知0＜β＜＜α＜，cos（2α﹣β）=﹣，sin（α﹣2β）=，求sin的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】半角公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ，
又 ， ，
又 ，
故答案为：B.
【分析】由二倍角公式求出 即直线OAB的斜率，再由三角函数的定义求出a，b的值，然后求|a-b|的值.
2．【答案】D
【知识点】半角公式；诱导公式
【解析】【解答】
，
故答案为：D
【分析】先由
求得
，再去求
即可.
3．【答案】C
【知识点】半角公式；诱导公式
【解析】【解答】因为在 中， ，
所以 ，且A为锐角，
所以 ，
故答案为：C
【分析】根据，利用诱导公式得到，再利用半角公式求解，即可得到答案。
4．【答案】D
【知识点】半角公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】由 ，得
因为 所以 ，
所以 ，又 ，
联立解得 ，所以 .
故答案为：D
【分析】先根据二倍角公式和角的范围求出 ，再利用半角公式即可求解 .
5．【答案】A,C,D
【知识点】半角公式；正弦定理
【解析】【解答】对于A选项， ，
利用正弦定理角化边有 ，
整理得 ，
有 ，
因为 ，所以 ，
A符合题意，
对于B选项，可知当三角形为等边三角形时，等式同样成立，
B不符合题意，
对于C选项， ，根据半角公式有，
，
整理得 ，
C符合题意，
对于D选项， ，
因为在任意的三角形中都有 ，
所以两式相加可得 ，
整理得 ，
D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据选项的边角关系，结合正弦定理，判断选项是否为直角三角形.
6．【答案】B
【知识点】三角函数的化简求值；半角公式
【解析】【解答】由题：
.
故答案为：B
【分析】根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解
7．【答案】B
【知识点】半角公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解： ， 是第三象限的角，所以 ， ，
故答案为：B。
【分析】利用半角公式化简题目给出的式子，再利用同名 三角函数关系分别计算三角函数值，代入已经化简的式子，得出答案。
8．【答案】D
【知识点】半角公式；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：根据半角公式，
所以曲线参数方程转化为直角坐标方程后为
化简得
根据 ，代入化简得
故答案为：D
【分析】先根据半角公式把已知曲线的参数方程化简，再转化为直角坐标方程，最后再转化为极坐标方程即可.
9．【答案】B
【知识点】半角公式
【解析】【解答】解：∵已知cos α= ，α∈（ ），∴ ∈（ ，π），则cos =﹣ =﹣ =﹣ ，
故选：B．
【分析】由题意利用半角的余弦公式，求得cos 的值．
10．【答案】A
【知识点】弦切互化；半角公式
【解析】【解答】解：由 ，α是第三象限的角，
∴可得 ，
则 ，
应选A．
【分析】将欲求式 中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角 的差别，注意消除它们之间的不同．
11．【答案】D
【知识点】半角公式；象限角、轴线角
【解析】【解答】解：∵α的取值范围（2kπ， +2kπ），（k∈Z）
∴ 的取值范围是（kπ， +kπ），（k∈Z）
分类讨论
① 当k=2i+1 （其中i∈Z）时
的取值范围是（π+2iπ， +2iπ），即 属于第三象限角．
②当k=2i（其中i∈Z）时
的取值范围是（2iπ， +2iπ），即 属于第一象限角．
故选：D．
【分析】由题意α是第一象限角可知α的取值范围（2kπ， +2kπ），然后求出 即可．
12．【答案】
【知识点】半角公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】 ，由
故答案为
【分析】结合诱导公式可将 化成 ，再结合半角公式即可求值
13．【答案】；﹣2
【知识点】半角公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由 ， ，知 ，则 ，
.
故答案为： ，-2.
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得式子的值.
14．【答案】
【知识点】半角公式
【解析】【解答】解：∵
∴ ，
∴ ，
∴ （舍去）或 .
故填 .
【分析】由，及，求得正切值，利用正切函数的半角公式，即可得出答案。
15．【答案】
【知识点】半角公式
【解析】【解答】解：∵cosθ=﹣ ，θ∈（π，2π），∴θ为第三象限角，∴sinθ=﹣ =﹣ ，
∴ ∈（ ， ），∴sin +cos ＞0．
再根据 =1+sinθ= ，可得sin +cos = ，
故答案为： ．
【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，求得要求式子的值．
16．【答案】﹣3
【知识点】半角公式
【解析】【解答】解：∵θ是第三象限角，若sinθ=﹣ ，
∴cosθ=﹣ ，
∴tan = = =﹣3．
故答案是：﹣3．
【分析】利用θ是第三象限角和同角三角函数关系求得cosθ=﹣ ，然后由正切的半角三角函数解答．
17．【答案】
【知识点】半角公式
【解析】【解答】解：∵由α是钝角，即90°＜α＜180°，则45°＜ ＜90°，
∴cosα＜0，cos ＞0，
∴cosα=﹣ =﹣ ，
∴cos = = = ．
故答案为： ．
【分析】根据题意，由余弦的二倍角公式可得cos = ，又由α是钝角，可得 的范围，由此可得cos 的符号为正，即可得答案．
18．【答案】1+
【知识点】两角和与差的正切公式；半角公式
【解析】【解答】解：tan（α+β）= = =﹣1，
∵α、β都是锐角，
∴α+β= ，可得： = ，tan ＞0，
∵tan（α+β）=﹣1= ，整理可得：tan2 ﹣2tan ﹣1=0，
∴解得：tan =1+ ，或1﹣ （舍去）．
故答案为：1+ ．
【分析】先利用正切的两角和公式求得tan（α+β）的值，进而求得α+β， 的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解．
19．【答案】-
【知识点】半角公式
【解析】【解答】解：∵2π＜α＜3π，
∴，
∴＜0，
∴（）2=（1﹣cosα）=（1﹣）=，
∴=﹣，
故答案为：﹣．
【分析】根据二倍角的公式以及三角函数值的符号问题即可求出．
20．【答案】-3
【知识点】半角公式
【解析】【解答】∵cosα=﹣，α是第三象限的角，∴sinα=﹣，∴tan==﹣3，
【分析】由条件求 sinα=﹣，从而求得tan=的值。
21．【答案】1
【知识点】半角公式
【解析】【解答】∵cos30°=2cos215°﹣1，
∴2cos215°﹣cos30°=2cos215°﹣（2cos215°﹣1）=1．
故答案为：1．
【分析】利用cos30°=2cos215°﹣1，代入计算，即可得出结论。
22．【答案】（1）解：
即 .故最小正周期为 .
单调递增区间： .
故 ，递增区间为 ， .
（2）解：由 得 ，因为 .
故 ，故 .
又 ，故 .
故 ，故
【知识点】半角公式；积化和差公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用向量的数量积公式与降幂公式和差角公式化简即可.(2)根据 可得 ，再根据 的面积为 可得 ，再利用余弦定理求 即可.
23．【答案】解：（Ⅰ） ，
所以 ；
（Ⅱ）因为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 的值域为 .
【知识点】二倍角的正弦公式；半角公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（I）将函数 利用二倍角降幂公式、辅助角公式化简，再利用周期公式，即可计算出函数 的最小正周期；
（Ⅱ）由 ，求出 的取值范围，再结合正弦函数的性质，得出 的范围，即可得出函数 在区间 上的值域.
24．【答案】（1）解：由降幂公式可得： ，
，化简得： ，
（2）解： 在 中， ， ，
，
由余弦定理可得： ，即
又 ， ，
，解得：
【知识点】二倍角的余弦公式；半角公式；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用降幂公式化简 ，整理化简即可得到 的值；
（2）由（1）可得 ，利用余弦定理化简得到 ，代入面积公式即可得结果．
25．【答案】解： ，
所以 ，
，且 ，
，
，
由 ，
得 .
【知识点】半角公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】计算出 的取值范围，判断出 的符号，利用同角三角函数的平方关系计算出 的值，然后利用半角公式计算出 的值.
26．【答案】解：∵sinx=，角x终边在第一象限，∴cosx=∴tan==2+．
【知识点】半角公式
【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，再利用半角公式求得tanx的值。
27．【答案】解：∵sinα=，且α=（，π），
∴cosα=﹣=﹣，
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，sin2α=2sinαcosα=﹣，
由α∈（，π）知，∈（，），
∴sin===．
【知识点】半角公式
【解析】【分析】利用同角三角函数间的关系式及二倍角的正弦、余弦及半角公式即可求得cos2α，sin2α及sin的值。
28．【答案】解：∵0＜α＜，∴cosα=又∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π．…（4分）若0＜α+β＜，∵sin（α+β）＜sinα，∴α+β＜α不可能．故＜α+β＜π．∴cos（α+β）=﹣∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣ ∵0＜β＜，∴0＜＜．故cos==．
【知识点】半角公式
【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系及角的范围，求出cosα、cos（α+β）的值，再由两角差的余弦公式可得cosβ.本题属于基本题。
29．【答案】解：由题意，
用万能公式求对同样给分．
【知识点】半角公式
【解析】【分析】由，可求得sinθ，从而可求tanθ；由二倍角公式可求tan2θ；半角公式可求．
30．【答案】解：∵0＜β＜＜α＜，∴＜2α＜π，﹣＜﹣β＜0，∴＜2α﹣β＜π．
∵cos（2α﹣β）=﹣，∴sin（2α﹣β）=．
同理可得：﹣＜α﹣2β＜．又∵sin（α﹣2β）=，∴cos（α﹣2β）=．
∴cos（α+β）=cos[（2α﹣β）﹣（α﹣2β）]
=cos（2α﹣β）cos（α﹣2β）+sin（2α﹣β）sin（α﹣2β）
=（﹣）×+×=，
∵＜α+β＜，
∴α+β=，∴sin=．
【知识点】半角公式
【解析】【分析】利用三角恒等变换及其应用，可求得sin（2α﹣β）=，cos（α﹣2β）=，利用两角和的余弦可求得cos（α+β）=，继而可得α+β=，于是可求得sin=。
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