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2023年人教版数学九年级上册
《解一元二次方程》专项练习
一 、选择题
1.下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x=2的根是( )
A.x=－1 B.x=0 C.x=2 D.x=－1或x=2
2.方程(x﹣3)2=m2的解是(　　)
A.x1=m，x2=﹣m B.x1=3＋m，x2=3﹣m
C.x1=3＋m，x2=﹣3﹣m D.x1=3＋m，x2=﹣3＋m
3.方程(x＋2)2=9的适当的解法是(　　)
A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法
4.一元二次方程y2﹣3y＋＝0配方后可化为( )
A.(y＋)2＝1 B.(y﹣)2＝1 C.(y＋)2＝ D.(y﹣)2＝
5.若x2＋y2＝9＋2xy，则x﹣y的值为( )
A.3　　　　 B.﹣3 C.±3　　　　 D.不能确定
6.小明在解方程x2﹣4x＝2时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2(第一步)
∴b2﹣4ac＝(﹣4)2﹣4×1×(﹣2)＝24(第二步)
∴(第三步)
∴(第四步)
小明解答过程开始出错的步骤是( )
A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步
7.三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程x2﹣12x＋35＝0的根，则第三边的长为(　　)
A.2 B.5 C.7 D.5或7
8.关于x的一元二次方程ax2－x＋1＝0有实数根，则a的取值范围是( )
A.a≤且a≠0 B.a≤ C.a≥－且a≠0 D.a≥－
9.关于方程88(x﹣2)2=95的两根，下列判断正确的是(　　)
A.一根小于1，另一根大于3
B.一根小于﹣2，另一根大于2
C.两根都小于0
D.两根都大于2
10.已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是(　　)
A.﹣2＜a＜﹣1 B.2＜a＜3 C.﹣3＜a＜﹣4 D.4＜a＜5
11.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作《几何原本》曾记载形如x2＋ax＝b2的方程的图解法：画Rt△ABC.使ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，则该方程的一个正根为AD的长，这种解法体现的数学思想是( )
A.公理化思想 B.分类讨论思想 C.数形结合思想 D.函数思想
12.定义运算：a·b＝2ab，若a，b是方程x2＋x﹣m＝0(m＞0)的两个根，则(a＋1)·a﹣(b＋1)·b的值为(　　)
A.0 B.2 C.4m D.﹣4m
二 、填空题
13.若一元二次方程(m﹣2)x2＋3(m2＋15)x＋m2﹣4=0的常数项是0，则m的值是 ．
14.已知一元二次方程x2＋3x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x12＋x1x2＋x22＝　 　.
15.关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是____________(填序号).
16.等腰三角形的底和腰长是方程x2－2x＋1=0的两根，则它的周长是 .
17.若实数a、b满足(4a＋4b)(4a＋4b﹣2)﹣8＝0，则a＋b＝　 　.
18.已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1=0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22=4，则m的值为_______.
三 、解答题
19.用直接开平方法解方程：4(x﹣1)2﹣9=0．
20.用配方法解方程：2x2＋4x﹣1＝0.
21.解方程：x(x＋4)＝﹣5(x＋4)(因式分解法).
22.用公式法解方程：3x2﹣2x﹣5＝0.
23.已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
24.设关于x的一元二次方程x2+2px+1=0有两个实数根，一根大于1，另一根小于1，试求示数p的范围.
两位同学通过探索提出自己的部分想法如下：
甲：求p的范围，只需要考虑判别式△＞0即可.
乙：设两根为x1，x2，由题意得(x2﹣1)(x1﹣1)＜0，根据根与系数关系可得p的范围.
请你综合参考甲乙两人的想法，解决上述问题.
25.已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a=0的两个实数根.
(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2=4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值.
26.已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m﹣1)x﹣1＝0.
(1)求证：这个一元二次方程总有两个实数根；
(2)若二次函数y＝mx2﹣(m﹣1)x﹣1有最大值0，则m的值为　 　；
(3)若x1、x2是原方程的两根，且＝2x1x2＋1，求m的值.
答案
1.D
2.B.
3.A
4.B
5.C
6.C.
7.B
8.A
9.A.
10.A.
11.C.
12.A
13.答案为：﹣2．
14.答案为：13.
15.答案为：①③.
16.答案为：3＋1.
17.答案为：﹣或1.
18.答案为：－1或－3.
19.解：x1=﹣，x2=.
20.解：x2＋2x﹣＝0，x2＋2x＝，
x2＋2x＋12＝＋12，
∴(x＋1)2＝，∴x＋1＝±，
∴x1＝，x2＝.
21.解：∵x(x＋4)＝﹣5(x＋4)，
∴(x＋4)(x＋5)＝0，
∴x＋4＝0或x＋5＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣5.
22.解：∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5，∴b2﹣4ac＝64，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝﹣1.
23.解：(1)△ABC是等腰三角形；
理由：∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，
∴a＋c－2b＋a－c＝0，
∴a－b＝0，∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，
∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形；
(3)当△ABC是等边三角形时，
∴(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，可整理为：
2ax2＋2ax＝0，
∴x2＋x＝0，解得：x1＝0，x2＝－1.
24.解：∵方程x2+2px+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=(2p)2﹣4×1×1=4p2﹣4＞0，
∴p＞1或p＜﹣1.
设方程的两根为x1，x2，
由题意可得：(x2﹣1)(x1﹣1)＜0，
∵x1+x2=﹣2p，x1 x2=1，
∴(x2﹣1)(x1﹣1)=x1 x2﹣(x1+x2)+1=2+2p＜0，解得：p＜﹣1.
∴p＜﹣1.
25.解：(1)Δ=4a2－4a(a－6)=24a，
∵一元二次方程有两个实数根，
∴Δ≥0，即a≥0.
又∵a－6≠0，
∴a≠6.
∴a≥0且a≠6.
由题可知x1＋x2=，x1x2=.
∵－x1＋x1x2=4＋x2，即x1x2=4＋x1＋x2，
∴=4＋.解得a=24，经检验，符合题意.
∴存在实数a，a的值为24；
(2)(x1＋1)(x2＋1)=x1＋x2＋x1x2＋1=＋＋1=.
∵为负整数，
∴整数a的值应取7，8，9，12.
26.(1)证明：m≠0，
△＝(m﹣1)2﹣4m×(﹣1)＝(m＋1)2，
∵(m＋1)2≥0，即△≥0，
∴这个一元二次方程总有两个实数根；
(2)解：∵二次函数y＝mx2﹣(m﹣1)x﹣1有最大值0，
∴m＜0且＝0，∴m＝﹣1；故答案为﹣1.
(3)解：x1＋x2＝，x1x2＝﹣，
∵＋＝2x1x2＋1，∴＝2x1x2＋1，
∴＝2 (﹣)＋1，整理得m2＋m﹣1＝0，
∴m＝或m＝.

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