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小议“直接证明与间接证明”
一、要点透析
1．综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
用表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

应用综合法时，应从命题的前提出发，在选定了真实性是无可争辩的出发点以后（它基于题设或已知的真命题），再依次由它得出一系列的命题（或判断），其中每一个都是真实的（但它们并不一定都是所需求的）且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论时，命题得证。并非一上来就能找到通达命题结论的思路，只是在证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到。当然，在较多地积累一些经验，掌握一些证法之后，可较为顺利地得到证明的思路。
2．分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。
用表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：

应用分析法时，并非一开始就确信由结论出发所产生的那些判断（或命题）都正确，各个推理步骤及依次考虑的概念、定理、法则等都合适。这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系，因而需要从这些关系中逐个考查，逐个思索，逐个分析，逐个判断，在得到了所需的确定结论时（它们是已证的命题或已知的条件），才知道前面各步推理的适当与否，从而找出证明的路子。
当证题不知从何入手时，有时可运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效。
3．综合法和分析法的区别与联系
分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件；综合法的特点是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件。分析法与综合法各有其特点，有些具体的特征命题，用分析法和综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种。
4．反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程。用反证法证明命题“若则”的过程，可用下图所示的框图表示。

应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：
第一步：分清命题“”的条件和结论；
第二步：作出与命题结论相矛盾的假定；
第三步：由和出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步：判断产生矛盾结果的原因在于开始所作的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真。
第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况。
二、范例点悟
例1 已知、、，求证：。
分析：不等式中的、、为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的平均数定理，再据不等式性质推导出证明的结论。
证明：∵，、、，∴，
∴，∴。
同理：，
将三式相加得。
∴
。
∴。
评注：在运用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件。
例2 当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大。
分析：应用分析法证题时，语气总是假定的，通常用“欲证只需证”的语句，在证明过程中一个终结代替另一个终结时，必须注意它们间的等价性。
证明：设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，正方形的面积为，因此本题只需证明。
为了证明成立，只需证明，
两边同乘以正数得，因此，只需证明。
因为上式是成立的，所以。
这就证明了，如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。
评注：在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实。因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。
例3 已知三个关于的方程，，中，至少有一个方程有实根，求实数的取值范围。
分析：含有至多、至少字样的问题，往往用反证法去解决。
解析：三个方程都没有实根的充要条件是 即
解得。
∴使三个方程至少有一个方程有实根的实数的取值范围为。
评注：反证法的逻辑根据为：要证明命题“若则为真”，该证“若则为假”，因此，反证法的核心是从出发导出矛盾。
直接证明与间接证明教材精析
在前面我们已经知道合情推理和演绎推理都是根据某些已知判断来确定一个新的判断的思维过程.其中演绎推理在大前提小前提都正确的情况下所得的结论一定正确，而合情推理（归纳、类比等）所猜测得到的结论不一定正确，必须通过逻辑（演绎）推理的方式加以证明.下面就研究两类基本的证明方法———直接证明与间接证明.
　　一、综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证法，也是证明数学问题时最常用的思维方式.
　　1.综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.又叫顺推证法或由因导果法.
　　其推理方式可用框图表示为：
　　其中表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，表示所要证明的结论，表示中间结论．
　　综合法常用的表达格式为：，；
　　又，；，；又，．
　　2．分析法：从要证明的结论出发，对其进行分析和转化，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止的证明方法.又叫逆推证法或执果索因法.
　　其推理方式可用框图表示为：
　　
　　其中表示要证明的结论，分别表示使成立的充分条件，表示最后寻求到的一个明显成立的条件．
　　分析法常用的表达格式为：
　　要证，只需证，只需证，，只需证，由于显然成立，所以成立．
　　综合法、分析法都是直接利用已知条件或定义、公理、定理等与所要证明的结论之间的关系推导出所要证明的结论或寻求出使它成立的充分条件，故均属于直接证法.
　　二、反证法是间接证明的一种基本方法.
　　对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导（综合法），甚至难于寻求到使之成立的充分条件（分析法）的“疑难”证明题，一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.这种证明方法叫做反证法.
　　简易逻辑部分中四种命题间的关系领悟得好的同学不难悟出反证法的原理不外乎“互为逆否命题的两个命题真假一致”，即：“”“”．
　　用反证法证题的格式一般为：
　　假设不成立，若，，则，这与已知（定义、公理、定理等）相矛盾，
　　∴假设不成立，成立．
　　1．综合法的每一步都是三段论（或其简略形式），大前提一定要正确，否则证明易出错.
　　2.使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析”的语气对待的，因而证明格式上应体现出“分析”探讨性（“要证…，只需证…”），而非直接肯定结论.
　　例1　求证．
　　错证：，
　　，，
　　，，显然原不等式成立．
　　错因：对分析法的原理不理解，以至于将所要证明的结论当成已知条件来用了.
　　正：只需将“∵”改为“要证”，“∴” 改为“只需证”.
　　3.综合法和分析法往往不是单一地使用的，而是结合兼用的，特别是较为复杂的证明（教科书例3）.一般是先用综合法由已知条件P推出一个中间结论M，再用分析法探求，发现M正是使所要证结论Q成立的充分条件.证明过程用框图1表示；或者先用分析法寻求出使所要证明的结论Q成立的充分条件M，再用综合法由已知条件P推出M.证明过程用框图2表示.

或
例2 教科书中对例3的证法是先综合后分析，证明过程如框图１的形式；我们还可以改用框图2的形式，先分析后综合来证.
　　证明：要证，
　　只需证，
即证
　　即证，
　　即证　　　③．
　　另一方面，因为，所以将已知中的①②代入上式，
　　即得与③相同，于是问题得证．
　　4.综合法与分析法当所用的证据相同时形式上是互逆的，因此往往可以互相改写，但须注意二者表达格式的迥异.
　　5.反证法也经常与综合法或分析法结合使用.
　　例3 证明不可能成等差数列．
　　证明（一）：假设成等差数列，即，下面（用分析法）证明．
　　要证，
　　只需证，
　　即证，即证，
　　即证，而该式显然成立，
　　故，这与假设相矛盾，
　　所以假设不成立，从而不成等差数列．
　　证明（二）：假设成等差数列，即，下面（用综合法）证明．
　　，，，
　　即，
　　即，
　　，这与假设相矛盾，
　　故假设不成立，从而不成等差数列．

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