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专题9.5 空间角与空间距离
1.异面直线所成的角
⑴定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
⑵范围：.
2.直线与平面所成的角
⑴平面的一条与平面交于点,于点,即为直线在平面上的射影，直线与其投影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角.
直线与平面平行，所成角为0，直线与平面垂直，所成角为.
⑵范围：.
⑶最小角定理：平面的斜线与其在平面内的投影所成角是这条斜线和这个平 面内任何一条直线所成角中最小的角.
3.二面角
⑴在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的,叫做二面角的平面角.平面角为直角的二面角为直二面角.
⑵范围：．
4.点到平面的距离与直线到平面的距离
⑴点到直线的距离
设是直线的单位方向向量，则向量在直线上的投影向量.在中，由勾股定理，得.
⑵点到平面的距离
若平面的法向量为，平面内一点为，则平面外一点到平面的距离，如图所示.
⑶线面间距离、面面间距离与线线间、点线间距离常常可以相互转化.
1.【人教A版选择性必修一 1.4.2 例7 P36】（多选）在四边形中如图所示，，，，将四边形沿对角线折成四面体如图所示，使得，，，分别为棱，，的中点，连接，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 直线与所成角的余弦值为
C. ，，，四点共面
D. 四面体外接球的表面积为
2.【人教A版选择性必修一 习题1.4 第7题 P42】如图，四面体中，，分别为，的中点，，，平面，则点到平面的距离为 ．
【方法储备】
1.求异面直线所成角
⑴直接平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形；
⑵补形平移法：对于一些三棱锥、三棱柱等几何形体可以“补形”后再平移；
⑶向量法：设异面直线所成的角为，其方向向量分别为，则.
2.求线面角
⑴常规法：过平面外一点作平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
⑵向量法：直线与平面相交于，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则.
3.平面与平面的夹角
(1)两平面的夹角：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面 的夹角.
⑵求二面角
①三垂线法：在面或面内找一合适的点A，作于O，过A作于B，则BO为斜线AB在面内的射影，为二面角的平面角，在中解三角形；②射影面积法：凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式：，求出二面角的大小；
③补棱法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的射影面积法解题．
④向量法：设平面的法向量分别是，平面与平面的夹角为，
则.
注意：
1.线面角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值.
2.二面角与两平面夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时,要在图形中观察法向量的方向,来确定二面角与法向量的夹角是相等,还是互补；而两平面的夹角的余弦值一定是非负的.
【典例精讲】
例1.(2023·河南省郑州市月考) 在四棱柱中，底面是正方形，平面，点是侧面的中心，，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
例2.(2023·山西省太原市模拟) 如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为的正三角形，，分别是的中点，记平面与平面的交线为．
证明：直线平面；
设点在直线上，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，求当为何值时，．
例3.(2023·广东省揭阳市月考) 如图，已知四边形是边长为的菱形，，，，平面平面，．
求证：平面平面
若，求二面角的余弦值．

【拓展提升】
练1-1(2023·湖北省咸宁市月考) 在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，，，则当变化时，直线与平面所成角的正弦值的取值范围是( )
A. B. C. D.
练1-2(2023·浙江省金华市模拟) 如图，在圆台中，圆的半径是，圆的半径是，高是，圆是的外接圆，，是圆台的一条母线．
求三棱锥体积的最大值
当时，求平面与平面的锐二面角的余弦值．
练1-3(2022·福建省福州市期中) 如图，已知平面四边形，，，，沿直线将翻折成，则 ；当平面平面时，则异面直线与所成角余弦值是 ．
【方法储备】
1.求点到平面的距离
⑴直接法：过点作平面的垂线，垂足为，把放在某个三角形中，解三角形求出的长度就是点到平面的距离；
⑵转化法：若点所在的直线平行于平面，则转化为直线上某一个点到平面的距离来求；
⑶等体积法：当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离；
⑷向量法：设平面的一个法向量为，是内任意点，则点到的距离为.
2.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.
【典例精讲】
例4.(2023·广东省中山市期末) 如图，是棱长为的正方体，若在正方体内部且满足，则到的距离为( )
A. B. C. D.
例5. (2022·浙江省金华市期末) 如图，在正方体中，棱长为．
求直线与直线所成角的余弦值
求点到平面的距离．
【拓展提升】
练2-1(2023·江苏省南京市模拟) 在梯形中，，，，，如图现将沿对角线折成直二面角，如图，点在线段上．
求证：；
若点到直线的距离为，求的值．
练2-2(2022·广东省东莞市月考) 如图，设正方体的棱长为，设为的中点，为上的一个动点，设由点，，确定的平面为，则点到平面的距离的最小值为 ．
练2-3(2023·河北省名校联考) 如图，，平面，平面平面，点，分别是边，的中点，，．
证明：平面平面
求直线到平面的距离
求平面到平面的距离．
1.(2023·上海市市辖区期末) 如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是( )
A. B. C. D.
2.(2023·江苏省南京市月考) 在斜三棱柱中，为等腰直角三角形，，侧面为菱形，且，点为棱的中点，，平面平面C.设平面与平面的交线为．
作出交线，并说明作法；
证明：平面平面；
求二面角的大小．
3.(2023·北京市市辖区模拟) 如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．
条件条件条件平面平面C.
求证：平面
求直线与平面所成角的正弦值．
【答案解析】
1.【人教A版选择性必修一 1.4.2 例7 P36】
解：如图，取的中点，连接，．
对于因为为等腰直角三角形，为等边三角形，所以，
，，因为，且平面，
所以平面，又平面，所以，故A正确；
对于，设，，，则，，
易得 ，，
，，
所以，
，故B正确
对于，连接，显然是异面直线，所以，，，四点不共面，故C错误
对于，如图，过的重心作直线垂直于平面，过点作直线垂直平面，
则直线与直线交于点，即为四面体外接球的球心连接．
因为，所以，
所以，则，
由上可知，在中，，
所以，从而，即四面体外接球的
半径，则该外接球的表面积，故D错误．
故选AB．
2.【人教A版选择性必修一 习题1.4 第7题 P42】
解：，为中点，
，
又平面，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，．
设平面的法向量为，则
即，令，得．
又，
点到平面的距离．
例1.解：方法一：如图，取的中点，连接、、，则为的中点，
又因为为的中点，所以，
则为异面直线与所成的角，
设，则，，，
从而，
所以异面直线与所成角的余弦值是，
故选C．
方法二：依题意四棱柱是长方体，设，则，
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，
是侧面的中心，则必是的中点，故E，
，
，
故异面直线与所成角的余弦值是．
故选C．
例2.解：证明：因为，分别是，的中点，则，
平面，平面，
从而平面，
因为平面，平面平面，则，
因为平面平面，平面平面，，则平面，
所以直线平面；
解法一：因为平面，平面，
则，
又，则，
因为为正三角形，为的中点，
则，，、平面，
从而平面，
连接，则，
因为，，则，
在中，，
在中，，
因为，则，得，
所以当时，．
解法二：以为原点，直线为轴，直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，
建立空间直角坐标系，则点，，
从而，，
设平面的法向量，则
取，得．
设点，则，
所以，
．
因为，则，得，所以当时，．
例3.解：证明：因为四边形是菱形，
所以，
又因为平面，平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解法设，连接，
由平面，平面，得．
因为，平面，平面，与为平面内的两条相交直线，
所以平面．
因为，，
所以四边形是平行四边形．
所以．
所以平面．
以，，分别为，，轴建立如图所示空间坐标系，
由于，则，，，，
则，，．
设平面的法向量为，
由，即令，解得，
由于平面，则是平面的法向量，
则，
由图可知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
解法：解法过作，垂足为，连接，
由平面，得，
又，平面，平面，
则平面．
因为平面，则．
故为二面角的平面角．
因为，，，则平面四边形为直角梯形，
在直角梯形中，得，
在中，，
．
所以二面角的余弦值为．
练1-1.解：取中点，连接，易知，
分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则有
令，则，，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，
，
当且仅当时，等号成立，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是．
故选B．
练1-2.解：取中点，连接，，如图，
当、、在同一条直线上时，的面积最大，则三棱锥体积最大，
则的高，
，
即体积的最大值为．
如图，以为坐标原点，过与平行的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，，
，，
，
又，解得，，
则，
设平面的法向量为，则可取，
同理可得平面的一个法向量．
设平面与平面的锐二面角为，则．

练1-3.解：取的中点，连接，，
因为，所以，
所以
．
当平面平面时，因为平面平面，且，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，，，，为的中点，
所以，
，，
在中，，
所以，，
所以异面直线与所成角余弦值是．
故答案为：；．
例4.解：分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图：
正方体的棱长为，
，，，
，
，
可得，
，
，
则，
点到直线的距离为．
故选C．
例5.解：依题意，，，是两两互相垂直的，以为坐标原点，
以、、的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，，，
设直线与直线所成的角为，
即直线与直线所成角的余弦值为
由知，，
设平面的一个法向量，则，
令，则，，
此时，
，
点到平面的距离为．
法二：等体积法
设到的距离为，，，
，．
练2-1.解：证明：在直角梯形中，，，所以，
在中，，，，
所以，
所以，即，
因为二面角是直二面角，平面平面，且平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以
解：如图，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，
所以，，，
因为点在线段上，
所以设，，
则，
因为点到直线的距离为，
所以，，
又，，
所以，，
即，所以，
解得，即．
练2-2.解：如图建立空间直角坐标系：
可得点，，，设点，
，
设平面的法向量为
令，可得平面的一个法向量为，
点到平面的距离，，
当时，，
当时，可得，
由对勾函数的性质知函数在上单调递减，
所以当时有最小值，从而有最小值，
综上，点到平面的距离的最小值为．
练2-3.解：解：证明：因为点，分别是边，的中点，
所以，．
平面，平面，故平面，
因为，所以．
因为，所以四边形是平行四边形．
所以，
平面，平面，
平面，
，、平面，
所以平面平面．
因为平面，，平面，
所以，，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，即、、两两垂直，
如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，因为，
所以，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则
即
取，得所以．
所以点到平面的距离为．
由，平面，平面，
故AC平面，
则点到平面的距离即是直线到平面的距离，
故直线到平面的距离为．
由可知，．
设平面的法向量为，
则即
取，得，．
所以，又，
则平面到平面的距离为．
1.解：如图，把两个单位正方体叠放在一起构建模型，平面，
平面，平面分别代表第一，二，三个平面，平面
的法向量为，平面的法向量为，与的夹角为，
故所求锐二面角的大小的余弦值是，故选C．
2.解：如图，延长，的交于点，连接，
则直线即为交线；
分别取，的中点，，连接，，，所以，
且，点为棱的中点，
所以，且，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为，是的中点，所以，
又因为平面平面且交线为，平面，
所以平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
因为侧面为菱形，且，所以为正三角形，
所以，平面，
由知平面平面且交线为，所以平面，
又由，，故，，两两垂直，设，则，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，
则，，，，
由知，故G，
二面角即二面角， ，
，
设平面的法向量为，
则，取，
取平面的法向量为，则，即，
故平面平面，
即二面角的大小为．
3.解：选择①②：
因为，，，
所以．
又因为，，平面．
所以平面．
选择①③：因为，，，
所以．
又因为平面平面，
平面平面，
平面
所以平面．
由知，．
因为四边形是正方形，所以．
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
，，．
设平面的一个法向量，
则即
令，则，，所以．
设直线与平面所成角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．

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