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微专题3 空间几何体中的截面、轨迹问题
1.截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。故截面是指平面与几何体的面相交所围成的平面图形，即截面的每条边均在几何体的表面.
2.正方体的截面：
【方法储备】
1.作几何体的截面：
⑴依据：立体几何的基本事实、直线和平面平行的判定定理和性质定理、两个平面平行的性质定理、球的截面的相关性质；
⑵作图方法：以正方体为例
①平行法：为平面与平面的公共点，且直线平面，则两平面的交线过公共点且与直线平行；
②相交法：为平面与平面的公共点，直线与平面不平行，延长与平面交于点，则为平面与平面的交线；
㈠截面经过的三个已知点分别在正方体的棱上
在正方体中，为别为棱上的点，均在正方体的表面上，过三点的截面：连接,在平面内，作交于点,则四边形即为所求截面图形.
i.在正方体中，为别为棱上的点，均在正方体的表面上，过三点的截面：连接并延长交的延长线于点,连接交于点,则四边形为所求的截面图形.
ii.在正方体中，为别为棱上的点，仅在正方体的表面上，过三点的截面：连接并延长交的延长线于点,连接交于点,在平面内
作交于点，则四边形为所求的截面图形.
iii. 在正方体中，为别为棱上的点，均不在正方体的表面上，过三点的截面：在平面内过点作,交于点,连接并延长交的延长线于点,连接交于点,连接并延长交的延长线于点、交的延长线于点,连接交于点,连接并延长交于点,则六边形为所求的截面图形.
㈡截面经过的三个点中至少有一点在正方体的面上,其余点在正方体的棱上
在正方体中，在上底面内，为别为棱上的点，过三点的截面：
设在底面内的投影为点,连接,连接,并延长线交于点，连接交于点，连接并延长交的延长线于点,连接并延长,交于点、交于点,在平面内作交于点，则六边形即为所求的截面图形.
2.利用截面解决有关截面形状判断、截面面积求解、截面有关的空间角求解及截面分隔开来的几何体
的体积求解等问题.
【典例精讲】
例1.(2022·湖北省武汉市联考) 已知正方体，棱长为，为棱的中点，则过，，三点的平面截该正方体所得的截面面积为( )
A. B. C. D.
例2.(2023·山西省吕梁市期中) 在正方体中，为棱的一个三等分点靠近点，分别为棱，的中点，过三点作正方体的截面，则下列说法正确的是( )
A. 所得截面是六边形
B. 截面过棱的中点
C. 截面不经过点
D. 截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点
例3.(2023·安徽省合肥市月考) 正方体的棱长为，为的中点，为中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为， 当时，与的交点为，求线段的长度 ．
【拓展提升】
练1-1(2023·广东省揭阳市联考) 如图，已知正四面体的棱长为，过点作截面分别交侧棱，于，两点，且四面体的体积为四面体体积的，则的最小值为( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·浙江省杭州市模拟) 已知正方体的棱长为，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A. B. C. D.
练1-3(2023·辽宁省沈阳市期末) 在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得，，三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为 ．
练1-4(2023·河北省石家庄市模拟)（多选） 如图所示，已知正方体的棱长为，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 平面截正方体所得的截面可以是四边形、五边形或六边形
B. 当点与，两点不重合时，平面截正方体所得的截面是五边形
C. 是锐角三角形
D. 面积的最大值是
【方法储备】
几何体中有不确定的点，且这个点满足一些特定的值或平面几何关系，因此需要根据条件确定出动点所在的轨迹。主要考查空间中点、线、面的平行与垂直关系,空间中的距离、角度,解析几何中的点的轨迹等知识,综合性较强。空间几何体中的轨迹问题通常涉及:
1.判断轨迹的类型：通过对点线面关系的认知，对平行和垂直的一些证明，判断出动点符合什么样的轨迹，或通过建系进行坐标计算求出具体的轨迹表达式.
2.求轨迹中的长度、面积与体积.
【典例精讲】
例4.(2023·广东省佛山市月考) 如图，直三棱柱的所有棱长均相等，是侧面内一点，设，若到平面的距离为，则点的轨迹是( )
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 双曲线的一部分
例5. (2022·浙江省金华市期中) 正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为 ．
例6. (2023·湖南省长沙市月考) 如图，已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是 ．
【拓展提升】
练2-1(2023·江苏省无锡市月考) 如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，分别是，的中点，为上一点，且，为正方形内一点包含边界若平面，则的运动轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
练2-2(2023·浙江省宁波市联考)（多选） 正方体的棱长为，点满足，则下列说法正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则三棱锥的体积为定值
C. 若点总满足，则动点的轨迹是一条直线．
D. 若点到点的距离为，则动点的轨迹是一个面积为的圆
练2-3(2022·湖北省黄石市月考)（多选） 在棱长为的正方体中，点是的中点，点，，在底面四边形内包括边界，平面，，点到平面的距离等于它到点的距离，则( )
A. 点的轨迹的长度为 B. 点的轨迹的长度为
C. 长度的最小值为 D. 长度的最小值为
【答案解析】
例1.解：正方体中，平面，
则平面与平面的唯一交线与平行．
取中点，连接、、、，
则四边形即为经过，，三点的正方体的截面，
梯形中，，，，
则梯形的高为，
则梯形的面积为，
故选：．
例2.解：在正方体中，依题意，直线与直线交于点，显然，
直线交延长线于点，则有，如图，
连接，则有，而平面平面，平面平面，
平面与平面有公共点，
则平面与平面必有一条交线，此交线平行于，也平行于，
连，因，则四边形是平行四边形，
于是得，即平面平面，
因此点是平面截正方体的截面的一个顶点，
连交分别于点，，
连接，则五边形是平面截正方体所得的截面，不正确，不正确；
由知，，即，不正确；
由得，即，
则截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点，D正确．
故选：
例3.解：当时，如图，
过作，则，
过作的平行线交于，过作的平行线交于，
所以
则，即
故可得 ，
故答案为： ．
练1-1.解：由得又由于，
，得．
在中，由余弦定理得
，
当且仅当时取等，
的最小值为．
练1-2.解：因为正方体的条棱可分为组，每组中的条棱所在直线互相平行，
所以要让每条棱所在的直线与平面所成的角都相等，
只需找一个具有公共点的三条棱，使其所在的直线与平面所成的角都相等即可．
不妨找以为公共点的三条棱，，，如图①，
在三棱锥中，底面为等边三角形，且，
所以三棱锥为正三棱锥，
故三条棱，与所在的直线与平面所成的角都相等．
当平面沿对角线平行移动时，只有当平面移动到平面分别为所在棱的中点时，面积最大，如图②所示．
又由题易知，六边形为正六边形，可求得，
则截此正方体所得截面面积的最大值为．
故选A．
练1-3.解：在正方体中，，，与平面所成的角是相等的，又因为三条棱与水平面所成角均相等，所以水平面平行于平面，
又水平面恰好经过的中点，则水平面截正方体 所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为 ，所以其面积 ．
故答案为： ．
练1-4.解：如图，当点与，两点不重合时，
将线段向两端延长，分别交，的延长线于点，，
连接，分别交，于，两点，连接，，
此时截面为五边形，故B正确
当点与点或点重合时，截面为四边形，
不可能为六边形，故A错误
考虑，当点与点重合时，
，，，
此时因为，
故为钝角，所以C错误
当点与点重合时，
点到直线的距离取到最大值，
此时的面积取到最大值，
最大值为，故D正确．
故答案选：．
例4.解：如图所示，取的中点，连接，
作出平行于平面且过点的平面，且是等边三角形，
如图所示，
作，则与 重合，则，
在直角中，可得，
在图中，设直三棱柱的所有棱长均为，设，
以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，且，
又，所以，
所以，整理得，
所以点的轨迹是椭圆的一部分．
故本题选B ．
例5.解：建立如图所示空间直角坐标系，
由题意可知，，，，，，
，，，
设平面的法向量，
，即，
令，则，
平面，
，即，
是正方形内的动点，
点的轨迹长度为．
故答案为．
例6.解：，在平面上，
分别取，，的中点，，，则点的轨迹是正六边形，
因为正方体的棱长为，所以正六边形的边长为，
所以，点的轨迹围成图形的面积是．
故答案为：．
练2-1.解：如图，分别取，的中点，，连接，，，，
设分别交，于点，，连接，，，
则易知，
又平面，平面，
所平面，
易知，
因而，
所以，
结合平面，平面，
得平面，
因为，、平面，
所以平面平面，
所以当在线段上运动时，始终平面，
即的运动轨迹为线段，
所以，
故选：．
练2-2.解：满足，故点为在面内的动点，
对于，若，则点在直线上运动，此时，，
且，则面，则有，A正确；
对于，，为定值，到面距离即为到面的距离，此距离恒为定值，则不变，B正确；
对于，，面，则若点总满足，则点的轨迹为直线，故C正确；
对于，动点到点的距离为，可转化为点在以为圆心，为半径的圆上，面积为，故D错误．
练2-3.解：如图，是的中点，易证平面平面，
平面，平面，平面平面，
，点的轨迹即为线段，长度等于，故A错误；
，
所以点位于以为球心，半径为的球面上，该球面与平面的交线是以为圆心，
半径为的圆，点的轨迹是图中的劣弧，长度为，故B正确；
对于，如图，过作于，易求，所以长度的最小值为，故C正确；
对于，点到平面的距离等于点到的距离，等于它到点的距离，根据抛物线的定义，点位于以为焦点，为准线的抛物线上，
如图所示，建立坐标系，则抛物线方程为，直线的方程为，
设时，到的距离最小，则，即，，
点到直线的距离为，故D正确，
故选BCD．
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