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专题10.1 直线的方程
1.直线的倾斜角
⑴定义：当直线与轴相交时,取轴作为基准,轴的正方向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.
⑵范围：直线倾斜角的范围是.
2.直线的斜率
⑴定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写字母表示,即.
倾斜角是的直线斜率不存在.
⑵坐标法：经过两点的直线的斜率公式为.
当时,直线的斜率不存在.
⑶直线的方向向量：若是直线l上的两点，向量是直线的方向向量.
3.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
斜截式 为斜率，为纵截距) 不包含垂直于轴的直线
点斜式 不包含垂直于轴的直线
两点式 不包含与轴平行或垂直的直线
截距式 为横截距，为纵截距 不包含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 所有直线
【重要结论】
1.倾斜角与斜率之间的函数关系
,图象如右图：
⑴;
⑵斜率在区间上单调递增.
2.特殊位置的直线方程
(1)与轴重合的直线方程为：；
(2)与轴重合的直线方程为：；
(3)经过点且平行与轴的直线方程为：；
(4)经过点且平行与轴的直线方程为：；
(5)经过原点且斜率为的直线方程为：.
4.两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程
相交
垂直
平行 且 且
重合 且 且
5.两条直线的交点
直线(、不全为0),(不全为0)，
与的位置关系与方程组的解的个数的对应关系：
①相交 方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
②平行 方程组无解；
③重合 方程组有无数个解.
6.距离
距离 公式 使用条件
两点,之间的距离 求任意两点间的距离
点到直线的距离 在求点到直线的距离时，直线的方程转化为一般式
两条平行直线和之间的距离 求平线直线间的距离，方程中前的系数保持一致
7.对称问题
⑴点关于点对称
若两点，关于点中心对称，则，
⑵点关于线对称
若两点，关于直线对称，则线段的中点在直线上，且直线直线，即．
⑶线关于点对称
直线关于点对称的直线为，则：
思路1：设直线，对称中心到这两条直线的距离相等，
即:
思路2：从直线上任取两个点，，则这两个点关于对称中心的对称点,在直线上．
⑷线关于线对称
直线和关于直线对称，包括两种情形：
①，此时直线到直线和的距离相等；
②直线，，三条直线交于一点，设交点为，则在直线上任取一点（异于点），其关于直线的对称点在直线上．
【重要结论】
1.若所求直线过点,且与直线平行,则方程为.
2.若所求直线过点,且与直线垂直,则方程为.
3．直线系方程
⑴与直线平行的直线系方程是．
⑵与直线垂直的直线系方程是B ．
⑶过直线与的交点的直线系方程为，但不包括.
4．五种常用对称关系
(1)点关于原点的对称点为．
(2)点关于轴的对称点为，关于y轴的对称点为．
(3)点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
(4)点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
(5)点关于点的对称点为．
1.【人教A版选择性必修一 习题2.1 第4题 P58】若点，，三点共线，则的最小值等于 ．
2.【人教A版选择性必修一 习题2.2 第13题 P68】已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 ．
【方法储备】
1.求直线的斜率与倾斜角的值
⑴求倾斜角：利用，已知斜率求；
⑵求斜率：①定义式：已知倾斜角求斜率；②坐标式：已知直线上两点，求斜率.
2.求直线的斜率与倾斜角的范围
⑴数形结合：根据直线旋转的范围，求斜率的取值范围；
⑵函数思想：结合函数的图象，由的范围求的范围，由的范围求的范围.
⑶转化思想：在解决一些求代数式的取值范围问题时，遇到形如结构，可以转化为两点连线的斜率，利用数形结合求取值范围.如可看作点连线的斜率.
注意：
⑴直线倾斜角的范围是,根据斜率求倾斜角的范围时,要分与两种情况讨论.
⑵若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为,此时直线垂直于轴.
3.利用斜率证明三点共线的方法：
已知，若或，则有三点共线.
【典例精讲】
例1.(2022·湖北省孝感市月考) 已知平面直角坐标系内三点，，若为的边上一动点，则直线的倾斜角的取值范围是 ，直线的斜率的取值范围是 ．
例2.(2022·浙江省杭州市月考) 若，且，，三点共线，则的最小值为 ．
【拓展提升】
练1-1(2023·湖南省郴州市月考) 已知函数，若，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·河北省石家庄市期中) 若正方形一条对角线所在直线的斜率为，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 ， ．
【方法储备】
1.求直线方程的常用方法：
⑴直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．
⑵待定系数法：①先根据已知条件设出直线方程的恰当形式，方程中含有待定的系数；②再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，③最后代入求出直线方程．
注意：
⑴在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.
⑵对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).
2.定点问题
⑴直线方程含参数：可将方程转化为的形式，即，所以直线过定点；
⑵若直线过定点，则直线的方程可设为,或者或.
【典例精讲】
例3.(2023·北京市市辖区期中) 已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为( )
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
例4. (2022·安徽省黄山市模拟) 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，则直线的方程是 ．
例5. (2023·重庆市联考) 若圆：关于直线对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为( )
A. B. C. D.
【拓展提升】
练2-1(2023·甘肃省兰州市期末) 已知直线的斜率为，且和两坐标轴围成面积为的三角形，则直线的斜截式方程为 ．
练2-2(2022·山东省济宁市模拟) 已知直线：过定点，直线过定点，与的交点为，则的最大值为 ．
练2-3(2022·浙江省温州市联考)（多选） 已知直线与轴、轴分别交于，两点，直线过的中点，若直线，及轴围成的三角形面积为，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
【方法储备】
直线有关的最值、范围问题
⑴数形结合：在直角坐标系中作出满足条件的直线，通过直线绕定点旋转，或斜率确定时平移直线，从而求得最值或范围；
⑵代数法：①显化函数关系，转化为求函数的最值或范围；②利用函数的单调性或基本不等式求最值.
【典例精讲】
例6.(2022·湖南省长沙市期末) 设，，若动点，满足，则的取值范围为
【拓展提升】
练3-1(2022·江苏省南通市月考) 过点作直线分别与两坐标轴的正半轴相交于，两点，为坐标原点，设面积的最小值为，的最小值为，则 ．
练3-2(2023·安徽省蚌埠市月考) 在平面直角坐标系中，已知矩形的长为，宽为，，边分别在轴，轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点落在线段上．

若折痕所在直线的斜率为，试求折痕所在直线的方程；
在的条件下，若时，求折痕长的取值范围．
【方法储备】
1.两条直线的平行与垂直
⑴当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意的系数不能同时为零这一隐含条件.
⑵在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，要注意两直线平行的条件.
2.两直线的交点与距离问题
⑴求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
⑵求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式；求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且的系数对应相等.
⑶利用距离公式应注意：
①点到直线的距离，到直线的距离；
②两平行线间的距离公式要把两直线方程中的系数化为相等.
3.对称问题
⑴光的反射问题：转化为点关于直线的对称问题.
⑵直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.
⑶求直线关于直线对称的直线：
①在直线上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线的对称点，再用两点式写出直线的方程.
②设点是直线上任意一点，其关于直线l的对称点为(在直线上)，根据点关于直线对称建立方程组，用表示出，再代入直线的方程，即得直线的方程.
【典例精讲】
例7.(2023·湖北省武汉市月考) 如果直线与直线关于直线对称，那么( )
A. B. C. D.
例8.(2023·湖南省长沙市月考)（多选） 已知直线：，：，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与坐标轴围成的三角形面积为，则
D. 当时，不经过第一象限
例9.(2022·吉林省长春市模拟) 直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为( )
A. B. C. D.
【拓展提升】
练3-1(2023·上海市市辖区期末) 已知三条直线：，：，：将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
练3-2(2023·湖北省荆州市模拟) 已知定点，动点、分别在直线和上运动，则的周长取最小值时点的坐标为 ．
练3-3(2023·江西省宜春市月考)（多选） 如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则下列说法正确的是 ( )
A. 直线的方程为
B. 原点到直线的距离为
C. 点关于直线对称的点的坐标为
D. 光线所经过的路程是
1.(2023·江苏省扬州市联考) 已知，，直线：上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.(2023·广东省河源市月考) 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将函数图象右移个单位，下移个单位得到函数的图象，若，分别为函数，图象上的两个动点，则这两点间距离的最小值为 ．
3.(2023·陕西省宝鸡市期末) 已知点不在直线：上，则点到直线的距离；类比有：当点在函数图象上时，距离公式变为，根据该公式可求的最小值是 ．
【答案解析】
1.【人教A版选择性必修一 习题2.1 第4题 P58】
解：因为，，三点共线，
所以，
即，化简可得，所以，
又，由基本不等式得
，
等号当且仅当，时成立，的最小值为
故答案为．
2.【人教A版选择性必修一 习题2.2 第13题 P68】
解：设关于直线：的对称点，
则反射光线所在直线必过，
，即故，
反射光线所在直线过，
反射光线所在直线的方程是，即．
故答案为．
例1.解：如图，由斜率公式得，
， ．
直线的倾斜角为．
直线的倾斜角为，
为的边上一动点，
直线的倾斜角的取值范围是
直线的斜率满足，
的取值范围为，
例2.解：因为，，三点共线，所以，所以，所以．
所以，所以设，
则，
当且仅当时取等号，
即取得最小值，此时，．
故答案为：．
练1-1.解：由知，函数的图象关于对称，
所以，所以，
则直线的斜率为，
又直线倾斜角的取值范围为，
所以该直线的倾斜角为，
故选D．
练1-2.解：正方形中，对角线所在直线的斜率为，建立如图直角坐标系，
设对角线所在直线的倾斜角为，则，
由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
故，
．
故答案为：；．
例3.解：由题可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，
即．
由点，到直线的距离相等，
得，解得或，
故直线的方程为或．
故选A．
例4.解：因为为坐标原点，点的坐标为，
所以的中点坐标为，且，
所以以线段为直径的圆的圆心为，半径，
所以圆的方程为，
联立方程，解得或，
因为点在第一象限，
所以，又，
所以直线的方程为，即．
故答案为：．
例5. 解：依题可得圆：的圆心在直线上，
所以，，
设点，则，
故以为直径的圆的方程为，
将和：相减，
即可得直线的方程为，
直线恒过定点，
故选：．
练2-1.解：设直线的方程为：，当时，；当时，；
由题意可得：，解得：，
直线的方程为：或．
故答案为：或．
练2-2.解：对于直线：过定点，
对于直线：，即，则，
可得，，故定点，
与的交点为，且
，
，
，
，
当且仅当时，的最大值为，
故答案为：．
练2-3.解：由直线，可得与轴、轴分别交于，，则的中点的坐标为，即．
当直线的斜率不存在时，围成的三角形面积为，不符合题意
当直线的斜率存在时，设直线的方程为即且与轴交于点，
由直线，及轴围成的三角形面积为，可得，
即，解得或，当时，即点，此时直线的方程为 ，
即
当时，即点，此时，直线的方程为．
综上可得，直线的方程为或．
故选AC．
例6.解：因为，且，
所以点在线段上
方法一：因为，
所以直线的方程为，
即，
所以点的轨迹为线段：
，
所以，
当时，，
当时，，
所以的取值范围是．
故答案为．
方法二：即为与点两点连线的斜率，
由图形可知，或，
而，，，
，，
或，
的取值范围是．
故答案为．
练3-1.解：过点的直线分别与两坐标轴的正半轴相交于，两点，
所以该直线斜率一定小于．
设直线，为直线与轴交点，为直线与轴交点，
则，，
，
当且仅当，即时等号成立，
，
又，
当且仅当，即时等号成立，
，
．
练3-2.解：当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程为；
当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，
所以点与点关于折痕所在的直线对称，有，
即，交点，故点的坐标为，
从而折痕所在的直线与的交点坐标线段的中点为，
所以折痕所在的直线方程为，即，
综上所述，折痕所在的直线方程为；
当时，折痕的长为；
当时，折痕所在的直线交于点，
交轴于点，，
又因为，所以，所以
综上所述，折痕长的取值范围为．
例7.解：在上取一点，
则由题意可得其关于直线的对称点在上，
所以，得，
在上取一点，
则其关于直线的对称点在上，
所以，得，综上，
故选：
例8. 解：若，当的斜率存在时，，则；
当的斜率不存在时，则，，故A错误；
若，当的斜率存在时，，则；
当的斜率不存在时，则，，不可能平行，不符合题意，故B正确；
直线：与轴，轴的交点分别为，，
则与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确；
若直线不经过第一象限，则当时，，解得；
当时，直线：，也不过第一象限；
综上可知：时，不经过第一象限，故D正确．
故选BCD．
例9.解：由直线：，得
，
联立，解得
直线恒过定点，
则原点到直线的距离的最大值为，
此时，解得．
故选B．
练3-1.解：因为三条直线：，：，：将平面分为六个部分，
所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，
当三条直线交于一点时，联立可得，此时，即，
当两条平行线与第三条直线相交时，可得或，
所以或．
故选：．
练3-2.解：如图：
点关于直线的对称点为 ，点关于轴的对称点，
因为动点和点分别在直线和上运动，所以，，
所以的周长为
，
此时直线为，即为，由，可得点的坐标为
故答案为：
练3-3.解：由，，易得直线的方程为，故A正确；
原点到直线的距离为，故B错误；
点关于轴的对称点坐标是，设点关于直线对称的点为，
由，解得，
即点关于直线对称的点的坐标为，故 C正确；
因为入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，
所以光线所经过的路程，即光线所经过的路程是，故D正确．
故选ACD．
1.解：将点，代入直线的方程，可知点，均不在直线上，
设，则，
又，且，
所以点的轨迹为线段，
因为线段的方程为，即，，
联立方程组，解得，
直线的斜率为，
设的倾斜角为，则，
因为，所以，即，，
解得．
故选：．
2.解：关于的对称函数
的图象向右平移个单位，向下平移个单位，得到，
将向右平移个单位，向下平移个单位得到，
故与关于直线对称．
从而，若存在，分别在与上，使得之间距离最小．
由对称性，，到直线距离相等，
故问题可以转化为在上找一点到距离最小．
设，
则到距离，
当时，取最小值，
故之间距离最小值为．
故答案为．
3.解：由于，
令，则，该方程表示以为圆心，以为半径的半圆，
有题意可知表示该半圆上的点到直线：的距离，
圆心到直线的距离为，
所以半圆上的点到直线：的距离的最小值为，
即的最小值是，
故的最小值是，
故答案为：．

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