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2023年山东省青岛市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 的相反数是( )
A. B. C. D.
3. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 中欧班列是共建“一带一路”的旗舰项目和明星品牌，是亚欧各国深化务实合作的重要载体中欧班列“青岛号”自胶州开往哈萨克斯坦，全程公里将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5. 如图，将线段先向左平移，使点与原点重合，再将所得线段绕原点旋转得到线段，则点的对应点的坐标是( )
A. B. C. D.
6. 如图，直线，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
8. 如图，四边形是的内接四边形，，若的半径为，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一点，为的中点若，，则线段的长度为( )
A.
B.
C.
D.
10. 一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字，，，，，，其展开图如图所示在一张不透明的桌子上，按图方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算： ______ ．
12. 小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分单位：分如下：，，，，，这六个分数的极差是______ 分
13. 反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为______ ．
14. 某校组织学生进行劳动实践活动，用元购进甲种劳动工具，用元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的倍，但单价贵了元设甲种劳动工具单价为元，则满足的分式方程为______ ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点，且与轴交于另一点，为的切线，为切点，是的直径，则的度数为______
16. 如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线下列结论：；；关于的方程的两根为，；其中正确的是______ 只填写序号
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：．
求作：点，使，且点在边的高上．
18. 本小题分
解不等式组：；
计算：．
19. 本小题分
今年月日是我国第八个“全民国家安全教育日”为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某市举行国家安全知识竞赛竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩满分分均不低于分小明将自己所在班级学生的成绩用表示分为四组：组，组，组，组，绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
补全频数分布直方图；
扇形统计图中组所对应的圆心角的度数为______ ；
把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值如组：的中间值为来代替，试估计小明班级的平均成绩；
小明根据本班成绩，估计全市参加竞赛的所有名学生中会有名学生成绩低于分，实际只有名学生的成绩低于分请你分析小明估计不准确的原因．
20. 本小题分
为了解我国的数学文化，小明和小红从九章算术孙子算经海岛算经依次用、、表示三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果并求抽取两本书中有九章算术的概率．
21. 本小题分
太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排某校组织学生进行综合实践活动测量太阳能路灯电池板的宽度如图，太阳能电池板宽为，点是的中点，是灯杆地面上三点，与在一条直线上，，该校学生在处测得电池板边缘点的仰角为，在处测得电池板边缘点的仰角为此时点、与在一条直线上求太阳能电池板宽的长度结果精确到参考数据：，，，
22. 本小题分
如图，正方形的面积为．
如图，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______ ；
如图，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______ ；
延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______ ．
23. 本小题分
某服装店经销，两种恤衫，进价和售价如下表所示：
品名
进价元件
售价元件
第一次进货时，服装店用元购进，两种恤衫共件，全部售完获利多少元？
受市场因素影响，第二次进货时，种恤衫进价每件上涨了元，种恤衫进价每件上涨了元，但两种恤衫的售价不变服装店计划购进，两种恤衫共件，且种恤衫的购进量不超过种恤衫购进量的倍设此次购进种恤衫件，两种恤衫全部售完可获利元．
请求出与的函数关系式；
服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
24. 本小题分
如图，在 中，的平分线交于点，的平分线交于点，点，分别是和的中点．
求证：≌；
连接若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
25. 本小题分
许多数学问题源于生活雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞如图、可以发现数学研究的对象抛物线在如图所示的直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，、关于轴对称分米，点到轴的距离是分米，，两点之间的距离是分米．
求抛物线的表达式；
分别延长，交抛物线于点，，求，两点之间的距离；
以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为若，求的值．
26. 本小题分
如图，在菱形中，对角线，相交于点，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为以，为邻边的平行四边形的边与交于点设运动时间为，解答下列问题：
当点在上时，求的值；
连接设的面积为，求与的函数关系式和的最大值；
是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，但不是是轴对称图形，符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题主要考察了学生对中心对称图形和轴对称图形的性质认识．
2.【答案】
【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据实数的相反数是进行求解．
此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
3.【答案】
【解析】解：、选项不符合三种视图，不符合题意；
B、选项是主视图，不符合题意；
C、选项是右视图，不符合题意；
D、选项是左视图，符合题意；
故选：．
运用三种视图的空间方位进行解题．
本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
4.【答案】
【解析】解：，
故选：．
将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，
由题意可知，点，，
由平移的性质得：，点，
由旋转的性质得：点与关于原点对称，
，
故选：．
由平移的性质得，点，再由旋转的性质得点与关于原点对称，即可得出结论．
本题考查了坐标与图形的变化旋转、坐标与图形的变化平移，熟练掌握旋转和平移的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
又，
．
故选：．
首先根据平行线的性质得，再由三角形的外角定理可得的度数．
此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角定理是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：与无法合并，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则符合题意；
，则不符合题意；
故选：．
根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：连接、、，
，．
，，
，
．
故选：．
根据圆周角的性质，计算出弧所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可．
本题考查了弧长的计算和圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
9.【答案】
【解析】解：连接，，
点，分别是，的中点，
四边形是矩形，
是的中点，
在正方形中，，，
，
在中，由勾股定理得，
，
在三角形中，是的中点，是的中点，
是三角形的中位线，
．
故选：．
根据条件正方形边长为，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可．
本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，“”与“”，“”与“”，“”与“”是对面，
因此要使图中几何体能看得到的面上数字之和最小，最右边的那个正方体所能看到的个面的数字为、、、，最上边的那个正方体所能看到的个面的数字为、、、、，左下角的那个正方体所能看到的个面的数字为、、，
所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为，
故选：．
根据正方体表面展开图的特征，判断“对面”“邻面”上的数字，再该结合体的摆放方式得出答案．
本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、端是对面”是正确解答的前提．
11.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
利用积的乘方及单项式除以单项式的法则进行计算即可．
本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：这组数据的最大值是，最小值是，
这六个分数的极差是：分，
故答案为：．
根据极差的概念计算即可．
本题考查的是极差的概念，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
13.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象经过点，
．
，
反比例函数解析式为：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于的方程解出即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标之积是常数是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了元，且甲种劳动工具单价为元，
乙种劳动工具单价为元．
根据题意得：．
故答案为：．
根据两种劳动工具单价间的关系，可得出乙种劳动工具单价为元，利用数量总价单价，结合乙种劳动工具购买数量是甲种的倍，即可列出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：点，，
，
过原点，
为的半径，
为的切线，
，，
在中，，，，
，
，
，
又，
三角形为等边三角形，
，
即的度数为．
故答案为：．
先根据点，的坐标得，进而得的半径为，然后再在中利用锐角三角函数求出，进而得，最后再证为等边三角形即可求出的度数．
此题主要考查了点的坐标，切线的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质等，熟练掌握切线的性质，锐角三角函数的定义和等边三角形的判定和性质是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由图象可得，，，又，
．
．
正确．
由题意，令，
．
又二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为，
的两根之和为，两根之积为．
，．
．
又，
．
．
错误，正确．
，，
．
错误．
故答案为：．
依据题意，根据所给图象可以得出，，再结合对称轴，同时令，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
17.【答案】解：如图，点为所作．

【解析】作的垂直平分线和边上的高，它们的交点为点．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
18.【答案】解：解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
故原不等式组的解集为：；
原式
．
【解析】分别解两个不等式后即可求得不等式组的解集；
利用分式的混合运算法则进行计算即可．
本题考查解一元一次不等式组及分式的混合运算，熟练掌握解不等式组的方法及分式的运算法则是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：由频数分布直方图可知：组是人，
由扇形统计图可知：组占班级人数的，
班级人数为：人，
组的人数为：人，
补全频数分布直方图如图所示：
由频数分布直方图可知：组是人，
组人数占班级人数的百分比为：，
组所对应的圆心角的度数为：．
故答案为：．
组中间值为分，组有人，组中间值为分，组有人，组中间值为分，组有人，组中间值为分，组有人，
班级的平均成绩为：分，
答：估计小明班级的平均成绩为分．
小明班级低于分的人数占班级人数的，
人，
因此小明估计全市低于分的人数有人．
其实这样估计是不准确，其原因是：小明班级的这个样本只能代表小明学校，可以用来估计小明学校的学生成绩，不能用来估计全市所有学校学生的成绩，因此小明的估计不准确答案不唯一，只要合理即可．
先根据组是人，所占班级人数的求出班级人数为人，由此可求出组的人数为人，据此可补全频数分布直方图；
由组是人，班级人数为人求出组人数占班级人数的百分比，进而可求出组所对应的圆心角的度数；
分别求出组，组，组，组的中间值，然后利用加权平均数的计算公式即可求出班级的平均成绩；
原因是：小明班级的这个样本只能代表小明学校，可以用来估计小明学校的学生成绩，不能用来估计全市所有学校学生的成绩，因此小明的估计不准确．答案不唯一，只要合理即可．
此题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，加权平均数的计算，理解题意，读懂统计图并从统计图中提取相关的解题信息是解答此题的关键．
20.【答案】解：画树状图为：
共有种等可能的结果，其中抽取两本书中有九章算术的结果数为种，
所以抽取两本书中有九章算术的概率．
【解析】画树状图展示所有种等可能的结果，再找出抽取两本书中有九章算术的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
21.【答案】解：过点作于点，过点作于点，如图，

依题意得：，，，
又
和均为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，，，
四边形为矩形，
，，，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
在中，，
即：，
，
解得：，
检验后知道是原方程得根．
，
在等腰中，由勾股定理得：，
点为的中点，
，
答：太阳能电池板宽的长度约为．
【解析】过点作于点，过点作于点，先证和均为等腰直角三角形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，则，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的长．
此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键．
22.【答案】
【解析】解：正方形的面积为，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
正方形的面积为，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
正方形的面积为，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由正方形的面积为则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可；
与相似，由正方形的面积为，则边长，根据已知，所以，根据，，因为，，列式计算即可；
由正方形的面积为，则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可．
本题考查了列代数式及代数式的求值，组合图形面积的计算，三角形的面积公式，梯形的面积公式，掌握相关知识是解决问题的关键．
23.【答案】解：设购进恤衫件，购进恤衫件，根据题意列出方程组为：
，
解得，
全部售完获利元．
设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据题意，即，
，
服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
由可知，，
，一次函数随的增大而减小，
当时，取最大值，元，
，
服装店第二次获利不能超过第一次获利．
【解析】根据条件，购进恤衫件，购进恤衫件，列出方程组解出、值，最后求出获利数；
根据条件，可列，整理即可；
由可知，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值计算出来和第一次获利比较即可．
本题考查了一元二次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键．
24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，，，
和的平分线、分别交、于点、，
，，
，
在和中，
，
≌．
证明：≌，
，，
，
，
点、分别为、的中点，
，，
四边形是平行四边形
，为的中点，
，
四边形是矩形．
【解析】由平行四边形的性质得出，，，，证出，由证明≌，即可得出结论；
由全等三角形的性质得出，，证出，由已知得出，，即可证出四边形是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
25.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
由题意得，点的坐标为：、点，
则，解得：，
则抛物线的表达式为：；
由点的坐标得，直线的表达式为：，
联立得：，
解得：舍去或，
即点，
则；
平移后的抛物线表达式为：，
令，则，此时抛物线与轴的交点为，
平移前后抛物线和轴交点间的距离不变，若，
则，
即，
解得：舍去负值，
即．
【解析】由待定系数法即可求解；
求出直线的表达式为：，联立上述函数和抛物线的表达式求出点的坐标，即可求解；
平移前后抛物线和轴交点间的距离不变，若，则，即可求解．
本题为二次函数综合题，涉及到一次函数的性质、图象的平移、面积的计算等，确定点的坐标是本题解题的关键．
26.【答案】解：由题意得：，，，，
如下图，点在上时，
，，
，，
∽，则，
即，
解得：；
如上图，
，
，
四边形是菱形，
则，
，
为等腰三角形，则，
过点作于点，
则，
即，
解得：，
则，
设中边上的高为，
则，
，故由最大值，
当时，的最大值为；
存在，理由：
如下图，过点作于点，
当点在的平分线上时，则，
在中，，
解得：．
【解析】证明∽，则，即可求解；
由，即可求解；
当点在的平分线上时，则，在中，，即可求解．
本题为四边形综合题，涉及到特殊四边形性质、三角形相似、解直角三角形、函数的表达式确定等，综合性强，难度适中．
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