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专题2.4-2.6 估算、实数
知识点01 估算
【微点拨】日常生活中有些数据不需要十分精确时，可以通过应用所学知识进行估算，但要尽可能地减小误差，方法要科学．
估算法：（1）若，则； （2）若，则；
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．
例如：，则；，则．
常见实数的估算值：，，．
【知识拓展1】估算无理数的范围
例1．（2022·广西梧州·八年级期中）
1．下列对的大小估计正确的是（ ）
A．在1~2之间 B．在2~3之间 C．在3~4之间 D．在5~6之间
【即学即练】
（2022·海南省直辖县级单位·八年级期中）
2．估算的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．0和1之间
（2022·河北八年级期末）
3．已知，为两个连续的整数，且，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【知识拓展2】估计无理数最接近的值
例2．（2022·河南信阳·八年级期中）
4．与最接近的整数是 ．
【即学即练】
（2022·成都市八年级期中）
5．与最接近的整数是 ．
【知识拓展3】无理数的整数、小数部分问题
例3．（2022·山东泰安·八年级期中）
6．若，分别表示的整数部分和小数部分，则 ．
【即学即练】
（2022·河北邢台·八年级期末）
7．阅读下面的文字，解答问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答：
（1）的整数部分是 ．
（2）的小数部分是 ．
知识点02 实数
【微点拨】
无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数．
【知识拓展1】实数的分类
例1．（2022·山东德州·七年级期中）
8．把下列各数填入相应的集合内．
，，3.1，，0.8080080008…（相邻两个8之间的0的个数逐次加1），，，，，，，．
整数集合{ ，…}；
正数集合{ ，…}；
有理数集合{ ，…}；
无理数集合{ ，…}．
【即学即练1】
（2022·河北石家庄·八年级期末）
9．把下列各数写入相应的集合内：．
(1)有理数集合：{ …}
(2)正实数集合：{ …}
(3)无理数集合：{ …}
(4)负实数集合：{ …}
【知识拓展2】实数的性质
例2．（1）（2022·辽宁八年级期中）
10．的倒数是 ，3﹣的绝对值是 ．
（2）．（2022·湖北武汉·七年级期中）
11．的相反数是 ，﹣π的绝对值是 ，＝ ．
【即学即练2】
（2022·四川绵阳·中考真题）
12．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
（2022·福建漳州市·八年级期中）
13．下面与互为相反数的是（ ）
A． B． C．5 D．
【知识拓展3】实数与数轴的关系
例3．（2022·山东济宁·八年级期末）
14．如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ．
【即学即练3】
（2022·江苏南通·八年级期中）
15．如图，数轴上的点P，A表示的数分别为 1，2，过A点的直线l垂直于数轴，点B在直线l上，且AB=OA．连接PB，以P为圆心，PB为半径作弧，交数轴于点C，则点C表示的数为 ．
【知识拓展4】实数的应用
例4．（2022·浙江·七年级期末）
16．如阳，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
（1）图2中拼成的正方形的面积是___________；边长是_________；（填实数）
（2）请你在图3中画一个边长为的正方形，要求所面正方形的顶点都在格点上．
（3）请仿图2的形式把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形，请直接写出拼出的正方形边长．
【即学即练4】
（2021·浙江·义乌市绣湖中学教育集团七年级期中）
17．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
（1）图2中拼成的正方形的面积是　_________　；边长是　_________　；（填实数）
（2）请你在图3中画一个面积为5的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上．请用虚线画出．
（3）你能把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形．并求出它的边长．
考法01 利用数轴化简
【典例1】（2022·河南八年级期中）
18．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A． B． C．－2 D．
变式1．（2022·河南安阳市·八年级期中）
19．实数，，在数轴上的位置如图所示，化简 ．
变式2．（2022·广东八年级期末）
20．实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|﹣b|+|a+|+的值 ．
考法02 实数的规律探究
【典例2】（2022·湖北）
21．已知按照一定规律排成的一列实数：
﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（ ）
A． B．﹣ C． D．2021
变式1．（2022·河北邯郸·八年级期末）
22．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第5行从左至右第2个数是 ；第9行从左至右第8个数是 ．
变式2．（2022·河南·潢川县中小学教研室七年级期中）
23．将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第m排，从左到右第n个数，如表示实数，则这些实数中从小到大第十个有理数对应的有序数对是 ．
考法03 实数的大小比较和运算
【典例3】（2022·安徽芜湖·八年级期末）
24．比较大小： ．（填“＞”或“＜”）
（2022·甘肃定西·七年级期中）
25．计算：
(1)
(2)
变式1．（2022·四川乐山·八年级期末）
26．请将、2、这三个数用“<”连接起来 ．
变式2．（2022·山东济宁·七年级期末）
27．计算：
(1)．
(2)．
题组A 基础过关练
（2022·福建七年级期中）
28．与数轴上的点是一一对应的是（ ）
A．有理数 B．整数 C．自然数 D．实数
（2022·平泉市七年级期末）
29．如图，数轴上表示的点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
（2022·河南周口·八年级期末）
30．下列关于的说法中，错误的是（ ）
A．是无理数 B．
C．|-2|=-2 D．5的平方根是
（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）
31．下列说法中错误的是（ ）
A．任何实数的绝对值都是非负数 B．不带根号的数是有理数
C．实数包括有理数和无理数 D．实数与数轴上的点之间是一一对应的
（2022·全国·八年级课时练习）
32．实数的倒数是（ ）
A．23 B． C． D．
（2022·吉林八年级期中）
33．的绝对值是 ．
（2021·甘肃庆阳·七年级期末）
34．的相反数是 ．
（2022·常州市八年级月考）
35．已知实数、互为相反数，、互为倒数，是的整数部分，是的小数部分．求代数式的值．
（2022·云南昭通·七年级期中）
36．把下列各数填入相应的大括号中：
0.3，，，，0，，3.14，，，，，0.125，，
负数集合{ …}；
整数集合{ …}；
有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
题组B 能力提升练
（2022·河南洛阳·七年级期中）
37．一个正方形的面积是34平方厘米，其边长（ ）．
A．小于 B．等于 C．在和之间 D．大于
（2022·全国·七年级课时练习）
38．比较4，，的大小，正确的是（　　）
A．4＜＜ B．4＜＜
C．＜4＜ D．＜＜4
（2022·全国·八年级专题练习）
39．有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
（2022·安徽安庆·七年级期中）
40．下列说法：
①一个无理数的相反数一定是无理数；
②一个有理数与一个无理数的和或差或积一定是无理数；
③一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算；
④实数的倒数是．
其中，正确的说法有（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
（2022·福建福州·七年级期中）
41．若实数a＞2，则a﹣的绝对值是（　　）
A．+a B．a﹣ C．﹣﹣a D．﹣a
（2022·吉林农安县第三中学、农安三中八年级月考）
42．设a，b是两个连续的整数，已知是一个无理数，若，是，则＝ ．
（2022·北京西城·七年级期末）
43．与最接近的整数是 ，简述判断过程： ．
（2021·四川八年级期末）
44．定义：用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，．按此定义，计算 ．
（2022·全国·八年级课时练习）
45．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3…，那么第50个数据应该是 ．
（2022·湖北孝感·七年级期中）
46．计算：
(1)．
(2)．
题组C 培优拔尖练
（2022·河南许昌·七年级期中）
47．将两个边长为2的小正方形剪拼成一个大正方形（如图），这个大正方形的边长x是一个无理数，你估计的x的整数部分是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022·浙江台州·七年级期中）
48．设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．不存在实数，使
（2022·广东珠海·七年级期末）
49．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（2022·北京市通州区北关中学一模）
50．估计与1.5的大小关系是： 1.5(填“＞”“＝”或“＜”)
（2022·广西·南宁市天桃实验学校七年级期末）
51．阅读下列材料，并回答问题：
天桃学区七年级某班数学兴趣小组的同学在学习了实数的近似运算之后，探索利用数形结合的思想求实数近似值的方法．下面是小组同学一起探索的求解过程，请你仔细阅读求解过程并和数学小组的成员一起把过程补充完整：
(1)已知面积是2的正方形的边长是，且，则设，
画出如图所示的示意图．根据各部分面积之和等于总面积．
可列方程为：，
∵，∴认为是个较为接近于0的数，
令，因此省略后，得到方程：，
解得，________，即________．
(2)仿照上述方法，设，探究的近似值（精确到0.01）；（请在备用图中标明数据，并写出求解过程．）
（2022·山东济宁·八年级期中）
52．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
参考答案：
1．C
【分析】根据无理数大小的估算进行判断即可．
【详解】解：∵9<10<16，
∴3<<4，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数大小的估算，解题关键是利用平方法先估算被开方数的范围．
2．A
【分析】先确定 、的取值范围，再确定的范围．
【详解】解：∵，
即1.5<<2，
∴3<2<4，
∴3-2<2-2<4-2，
即1<2-2<2，
估算的值应在：1和2之间．
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，实数大小的比较，掌握无理数的估算方法是解题关键．
3．B
【分析】先估算出的取值范围，利用“夹逼法”求得a、b的值，然后代入求值即可．
【详解】解：∵16＜18＜25，
∴4＜＜5．
∵a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，
∴a=4，b=5，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数的大小要用“夹逼法”是解答此题的关键．
4．7
【分析】估算出4.5＜ ＜5，即可得答案．
【详解】解：∵4.52＝20.25，52＝25，
∴4.5＜ ＜5，
∴6.5＜2+＜7，
∴2+最接近7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查估算无理数的值，解题的关键是掌握算术平方根定义，得到4.5＜＜5．
5．1
【分析】先根据无理数的估算可得，再比较与的大小，由此即可得出答案．
【详解】解：，
，即，
，
，
，
，
，
最接近的整数是4，
最接近的整数是，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
6．##
【分析】估算无理数的大小，进而确定的大小，确定m，n的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵2＜＜3，
∴2-5＜-5＜3-5，
即-3＜-5＜-2，
∴2＜5-＜3，
∴m=2，n=5--2=3-，
∴mn=2（3-）=6-2．
故答案为：6-2．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数的计算，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是得出正确答案的关键．
7． 3
【分析】（1）根据题意分别找出的左边第一个整数和右边第一个整数即可作答；
（2）由（1）可知，则可求出的整数部分，再用减去它的整数部分即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴的整数部分为3．
故答案为：3
（2）∵，
∴1<<2，
∴的整数部分是1，
∴的小数部分是-1=．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据算术平方根的定义估算无理数的大小，熟练地掌握算术平方根的定义是解题的关键．
8．见解析
【分析】先根据立方根和算术平方根进行化简，再根据实数的分类进行填写即可．
【详解】，
解：整数集合{，，…}；
正数集合{，3.1，，0.8080080008…（相邻两个8之间的0的个数逐次加1），，，，，，，…}；
有理数集合{，3.1，，，，，…}；
无理数集合{，0.8080080008…（相邻两个8之间的0的个数逐次加1），，，…}．
【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握立方根和算术平方根的求解及实数的分类是解题的关键．
9．(1)，，，
(2)，，，，，
(3)，，，
(4)，
【分析】根据实数的分类方法进行解答即可．
【详解】（1）解：，，，
有理数集合为：．
（2）解：正实数集合为：．
（3）解：无理数集合为：．
（4）解：负实数集合：．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数的概念，是解题的关键．
10． ﹣ ﹣3
【分析】（1）先化简再根据互为倒数的两个数积为1的概念进行求值即可.
（2）根据若一个数小于0，那么它的绝对值为它的相反数，求出- 2的相反数即可.
【详解】解：（1）化简，又，
故答案为：.
（2）- 2＜0，则它的绝对值即为它的的相反数 = ，
故答案为：
故答案为，
【点睛】本题考查立方根，互为倒数和绝对值的概念，务必清楚的是互为倒数的的两个数积1，负数的绝对值等于它的相反数，掌握倒数和求绝对值的相关概念是解题的关键.
11． - 3
【分析】直接利用相反数以及绝对值、算术平方根的性质分别化简得出答案．
【详解】解：的相反数是：-，-π的绝对值是：π，=3．
故答案为：-，π，3．
【点睛】此题主要考查了算术平方根、实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
12．B
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
【详解】解：的绝对值是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解答本题的关键．
13．B
【分析】根据相反数的定义即可得出答案；
【详解】解：与互为相反数的是；
故选：B
【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
14．
【分析】先利用勾股定理求出圆弧的半径长，再根据数轴的性质即可得．
【详解】解：由题意，圆弧的半径长为，
因为点在表示数2的点的左侧，
所以点表示的数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题关键．
15．##
【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段PB的长度，然后根据PC＝BP即可求出PC的长度，接着可以求出数轴上点C所表示的数．
【详解】解：在Rt△PAB中，，，
∴，
∵，
∴，
∴点C表示的数为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、数轴上点的表示，解题的关键是根据勾股定理求出PB的长．
16．（1）5，；（2）见解析（3）
【分析】（1）根据正方形的面积求出边长，即可得解；
（2）根据正方形的面积求出边长为，再利用勾股定理作出正方形即可；
（3）根据勾股定理作边长为的边，并剪出两个直角三角形，然后拼接成正方形即可．
【详解】解：（1）正方形的面积为5，
边长为；
故答案为：5，；
（2）如图所示：
（3）如图所示：
它的边长为：．
【点睛】本题考查了图形的剪拼，主要利用了正方形的面积，勾股定理，根据面积求出边长，再利用勾股定理作出相应边长的正方形即可，灵活掌握并运用网格结构是解题的关键．
17．（1）5，；（2）详情见解析；（3）能，详情见解析，边长为.
【分析】（1）根据正方形的面积求出边长即可.
（2）根据正方形面积求出边长，再利用勾股定理作出正方形即可.
（3）根据勾股定理作出边长为的边，并剪出两个直角三角形，然后拼接成正方形即可.
【详解】（1）∵正方形面积仍然为5
∴边长为
（2）如图所示：
（3）如图所示：
其边长为.
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，熟练掌握画图步骤是解题关键.
18．A
【分析】根据数轴上点的位置判断出b-1，a+1，a-b的正负，原式利用绝对值、算术平方根的性质等进行化简，即可得到结果．
【详解】解：∵-2∴b-1>0，a+1<0，a-b<0，
∴
=
=
故选：A．
【点睛】此题考查了实数与数轴，判断出各式的正负是解本题的关键．
19．
【分析】结合数轴判断a-b和a+c的正负，去根号和绝对值化简即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∴
；
故答案为：-b-c；
【点睛】此题考查的是算术平方根和绝对值的性质，掌握绝对值的性质和算术平方根的非负性是解题的关键．
20．﹣2a﹣b
【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．
【详解】解：由数轴可得：a＜﹣，0＜b＜，
故|﹣b|+|a+|+
＝﹣b﹣（a+）﹣a
＝﹣b﹣a﹣﹣a
＝﹣2a﹣b．
故答案为：﹣2a﹣b．
【点睛】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．
21．A
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2021个数．
【详解】解：∵一列实数：﹣1，，，﹣2，，，﹣，，，﹣，…，
∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的负的算术平方根、算术平方根、立方根，
∵2021÷3＝673…2，
∴这一列数中的第2021个数应是，
故选：A．
【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．
22．
【分析】由图形可知，第n行最后一个数为，据此可得答案．
【详解】解：第1行最后一个数为，
第2行最后一个数为，
第3行最后一个数为，
...
∴第n行最后一个数为，
∵第4行最后一个数为，
∴第5行从左至右第2个数是，即，
∵第9行最后一个数为=，第9行有9个数，
∴第9行从左至右第8个数是，即，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．
23．（14，9）
【分析】根据题意可知第十个有理数为10，即，根据第排有个数，找到第100个数即可求解．
【详解】解：依题意第排有个数，第十个有理数为10，即，
则前排共有个数
当时，前14排共有个数
第100个数位于第14排第9个，即（14，9）
故答案为：（14，9）
【点睛】本题考查了数字的变化规律. 解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形、数值、数列等已知条件，认真分析，找出规律，利用规律解决问题．
24．
【分析】根据无理数的估算可得，由此即可得．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题关键．
25．(1)-3；
(2)6-．
【分析】（1）先计算算术平方根以及立方根，再算加减法，即可求解；
（2）先计算算术平方根，立方根和绝对值，再算加减法，即可求解．
【详解】（1）解：
=4-2-5
=-3；
（2）解：
=9-2-3+2-
=6-．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根，立方根和绝对值是解题的关键．
26．
【分析】首先将改写成，将2改写成，然后比较大小即可．
【详解】∵，，
∵，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】此题考查了比较实数的大小，解题的关键是熟练掌握比较实数的大小的方法．
27．(1)
(2)
【分析】（1）先根据算术平方根、立方根的概念以及绝对值化简，再进行加减运算即可；
（2）先将根据算术平方根、立方根的概念化简并计算乘方，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查算术平方根、立方根的概念，乘方运算，能够掌握运算顺序是解决本题的关键．
28．D
【分析】根据实数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的点都表示一个实数，进行解答．
【详解】解：与数轴上的点一一对应的是实数．
故选：D．
【点睛】此题考查了实数和数轴上的点之间的一一对应关系．
29．B
【分析】先估算的范围，即可得到在数轴上的对应点．
【详解】
是和之间的数，
故选B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，找到是解题的关键．
30．D
【分析】根据无理数、绝对值、平方根的定义以及无理数大小的估算法则解答．
【详解】解：A、是无理数，本选项不符合题意；
B、2＜＜3，本选项不符合题意；
C、＞2，故|-2|=-2，本选项不符合题意；
D、5的平方根是±，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了无理数、绝对值、平方根以及无理数大小的估算，关键是熟练掌握各知识点．
31．B
【分析】根据实数的知识，无理数的定义，立方根的定义对各小题分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A，任何实数的绝对值都是非负数，说法正确，故此选项不符合题意．
B，不带根号的数不一定是有理数，如，说法错误，故此选项符合题意．
C，实数包括有理数和无理数，说法正确，故此选项不符合题意．
D，实数与数轴上的点之间是一一对应的，说法正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，实数的定义，平方根立方根等知识，熟知实数和数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．
32．D
【分析】根据倒数的意义可直接进行求解．
【详解】解：实数的倒数是；
故选D．
【点睛】本题主要考查实数与倒数的意义，熟练掌握倒数的意义是解题的关键．
33．
【分析】根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．
【详解】解：的绝对值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的性质，差的绝对值是大数减小数．
34．
【分析】一个数a的相反数是-a，据此即可求解．
【详解】
∴的相反数是
答案为：
【点睛】本题主要考查了相反数，掌握相反数的概念是解题的关键．
35．
【分析】首先将和化简，然后求出整数部分分别为4和2，的小数部分为，然后将原式化简，代入数值即可求解．
【详解】∵、互为相反数，、互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，
∴，，，，
∴=
∴原式=．
【点睛】本题考查了无理数的估算，一个小数的小数部分等于这个数减去整数部分，所以本题的关键是求出无理数的整数部分，根据完全平方数合理估算是本题的重点．
36．见解析
【分析】根据实数分类进行解答即可．
【详解】解：∵，，，，，，，
∴负数集合；
整数集合；
有理数集合；
无理数集合．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟记整数和分数统称为有理数，无限不循环小数叫做无理数，是解题的关键．
37．C
【分析】根据题意可得它的边长为厘米，在估算出，即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积是34平方厘米，
∴它的边长为厘米，
∵，
∴，
∴它的边长在和之间．
故选：C
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
38．C
【分析】根据4=＜且4=＞进行比较
【详解】解：易得：4=＜且4=＞，
所以＜4＜
故选C.
【点睛】本题主要考查开平方开立方运算．
39．A
【分析】根据无理数、分数的概念判断．
【详解】解：无限不循环小数是无理数，
错误．
是有理数，
错误．
是有理数，
错误．
也是无理数，不含根号，
错误．
是一个无理数，不是分数，
错误．
故选：．
【点睛】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键．
40．B
【分析】根据无理数的定义、实数的运算、立方根与平方根、倒数的定义逐个判断即可得．
【详解】解：一个无理数的相反数一定是无理数，则说法①正确；
一个有理数与一个无理数的和或差一定是无理数，但积不一定是无理数，如，则说法②错误；
一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算，则说法③正确；
实数的倒数是，则说法④错误；
综上，正确的说法有①③，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数、实数的运算、立方根与平方根、倒数，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键．
41．B
【分析】先估算的值，然后判断a﹣的符号，化简绝对值即可．
【详解】解：∵，a＞2，
∴a﹣＞0，
∴|a﹣|＝a﹣，
故选：B．
【点睛】本题主要考查绝对值的化简，关键在于判断绝对值里的数的符号．
42．9
【分析】求出的范围，求出a、b的值，代入求出即可．
【详解】∵2＜＜3，
∴a＝2，b＝3，
∴ba＝32＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出a、b的值．
43． 5 22到25的距离小于到16的距离
【分析】估算无理数的大小，再根据到这两个整数的距离的大小即可．
【详解】解：∵16＜22＜25，
∵，
即，
而22-16＞25-22，
∴更接近的整数是5，
故答案为：5，理由：22到25的距离小于到16的距离．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确判断的前提，理解“22到25的距离小于到16的距离，说明更接近整数5”是正确判断的关键．
44．3
【分析】先估算出的大小，然后求得的范围，最后依据定义求解即可．
【详解】解：∵16＜19＜25，
∴4＜＜5．
∴3＜＜4．
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查的是定义新运算、估算无理数的大小，估算出的大致范围是解题的关键．
45．
【分析】根据题意得到这一列数据为0，，，，，，…，则第n个数据为，由此即可得到答案．
【详解】解：由题意得这一列数据为0，，，，，，…，
∴第n个数据为，
∴第50个数据为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律题，正确找到规律是解题的关键．
46．(1)-
(2)6
【分析】（1）直接利用立方根性质化简以及有理数加减运算法则计算即可；
（2）直接利用算术平方根性质以及绝对值的性质分别化简计算即可．
【详解】（1）解：
=2-3-
=-
（2）解：
=5+-1-+2
=6
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
47．B
【分析】先求出大正方形的面积，再根据正方形的面积公式得出边长x为面积的算术平方根，然后利用“夹逼法”即可求解．
【详解】解：∵将两个边长为2的小正方形剪拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积是22×2＝8，
∴x，
∵4＜8＜9，
,∴，
∴x的整数部分是2，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，正方形的面积，估算无理数的大小要用“夹逼法”思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
48．C
【分析】根据新定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、因为表示小于的最大整数，所以，故本选项错误，不符合题意；
C、因为表示小于的最大整数，所以的最大值是1，故本选项正确，符合题意；
D、存在实数，使，如，则，故本选项错误，不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较和新定义运算，正确理解表示小于的最大整数是解题的关键．
49．A
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9=18，
则大正方形的边长为：，
∵，
∴4＜＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
50．＞
【详解】解：由题意，的近似值为2.236，
∴>1，
故答案为>．
51．(1)0.5，1.5
(2)的近似值是2.25，见解析
【分析】（1）设方程为x2+2x+1=2，再根据x2接近为0得出2x+1=2，再求出x即可；
（2）根据题意画出图形，方程为5=4+4y+y2，根据y2是个较为接近于0的数得出4y+4=5，再求出y即可．
【详解】（1）解：可列方程为：x2+2x+1=2，
∵0＜x＜1，
∴认为x2是个较为接近于0的数，
令x2≈0，因此省略x2后，得到方程：2x+1=2，
解得，x==0.5，
即=1+x≈1.5，
故答案为：0.5，1.5；
（2）解：如图1所示：
设=2+y（0＜y＜1），
两边平方得：5=4+4y+y2，
∵0＜y＜1，
∴认为y2是个较为接近于0的数，
令y2≈0，因此省略y2后，得到方程：4y+4=5，
解得，y==0.25，
即=2+y≈2.25，
所以的近似值是2.25．
【点睛】本题考查了估算实数的近似值，解一元一次方程，估算无理数的大小等知识点，能得出关于x的方程是解此题的关键．
52．(1)，；
(2)；
(3)11．
【分析】（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分；
（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根；
（3）由得即，从而得x=9，y=，将x、y的值代入原式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为，
∵，
∴，
∴即，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为，
故答案为：，；
（2）解：∵，a是的整数部分，
∴a=9，
∵，
∴的整数部分为1，
∵b是的小数部分，
∴，
∴
∵9的平方根等于，
∴的平方根等于；
（3）解：∵，
∴即，
∵，其中x是整数，且，
∴x=9，y=，
∴．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．

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