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专题2.7 二次根式（二）
知识点01 同类二次根式
【微点拨】
1．同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
2．合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
【知识拓展1】同类二次根式的辨别
例1．
（2022·山东烟台·八年级期中）
1．下列各式与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练】
（2022·广西柳州·八年级期中）
2．下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【知识拓展2】根据同类二次根式求参数值
例2．
（2022·山东烟台·八年级期中）
3．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【即学即练】
（2022·河北保定·八年级期中）
4．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．10
（2022·河南安阳·八年级阶段练习）
5．若最简二次根式与能合并，则 ．
【知识拓展3】合并同类二次根式
例3．
（2022·福建福州·八年级期中）
6．下列式子正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【即学即练】
（2022·广西贺州·八年级期中）
7．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点02 二次根式的加减
【微点拨】
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将数相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变．
【知识拓展1】二次根式的加减
例1．
（2022·辽宁大连·八年级期中）
8．计算：
(1)；
(2)
【即学即练1】
（2022·湖北武汉·八年级期中）
9．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【知识拓展2】二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
例2．
（2022·辽宁鞍山·八年级期中）
10．计算：
(1)；
(2)．
【即学即练2】
（2022·四川德阳·八年级期中）
11．计算
(1).
(2).
（2022·山东烟台·八年级期中）
12．计算：
(1)
(2)
【知识拓展3】二次根式的化简求值
例3．
（2022·湖北孝感·八年级期中）
13．已经，求下列各式的值：
(1)；
(2)
【即学即练3】
（2022·陕西·西北大学附中八年级阶段练习）
14．化简求值已知，，求．
（2022·山东烟台·八年级期中）
15．已知，，求代数式的值．
考法01 二次根式的应用
【典例1】
（2022·湖南永州·八年级期末）
16．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”，告诉你计算的方法是：S＝，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即请你利用公式解答下列问题．
(1)在△ABC中，已知AB＝4，BC＝6，CA＝8，求△ABC的面积；
(2)计算（1）中△ABC的BC边上的高．
变式1．
（2022·河南安阳·八年级阶段练习）
17．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为米，宽为米
(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）；
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
变式2．
（2022·河南许昌·八年级期中）
18．在《九章算术》中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，准确测量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（约1202—约1261）提出了“三斜求积术”，简称秦九韶公式．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了利用三角形三边长求面积的方法和证明，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年）得出的．在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式．它的表述为：如果一个三角形三边长分别为a、b、c，那么三角形的面积为．（公式里的p为半周长，即）
请利用海伦——秦九韶公式解决以下问题：
(1)三边长分别为3、6、7的三角形面积为___________．
(2)四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=7，AD=6，∠B=90°，求该四边形的面积．
考法02 二次根式的规律探究
【典例2】
（2022·甘肃定西·八年级期中）
19．如图是由一连串直角三角形组成的，其中，第1个三角形的面积记为，第2个三角形的面积记为，…，第n个三角形的面积记为，观察图形，得到如下各式：，；，；，；…根据以上的规律，推算出 ．
变式1．
（2022·全国·八年级专题练习）
20．观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
．．．．．．．．．．．
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第7个等式： ；
(2)写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为自然数）
(3)计算：
题组A 基础过关练
（2022·河南商丘·八年级期中）
21．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2022·山东临沂·八年级期中）
22．下列二次根式化简后能与 合并的是（　　）
A． B． C． D．
（2022·湖北武汉·八年级期中）
23．下列计算正确的是（ ）
A． B．33
C．7 D．
（2022·河北廊坊·八年级阶段练习）
24．如果一个三角形的面积为，一边长为，则这条边上的高为（ ）
A． B． C． D．
（2022·河北沧州·八年级期中）
25．计算的结果是 ．已知最简二次根式与能进行合并，则 ．
（2022·河南濮阳·八年级期中）
26．计算的结果是 ．
（2022·浙江杭州·八年级期末）
27．已知，，则的值是 ．
（2022·湖北武汉·八年级阶段练习）
28．已知，则x2+2x﹣3＝ ．
（2022·山东威海·八年级期中）
29．已知：，，求下列式子的值：
(1)；
(2)．
（2022·湖北湖北·七年级期中）
30．计算：
(1)＋－＋；
(2)3＋－(2－)．
（2022·湖北随州·八年级期中）
31．计算
(1)
(2)
（2022·山东滨州·八年级期中）
32．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题组B 能力提升练
（2022·甘肃平凉·八年级期中）
33．若最简二次根式和能合并，则的值为（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
（2022·江西·南城县第二中学七年级阶段练习）
34．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（2021·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）
35．已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
（2022·山东烟台·八年级期中）
36．计算的结果等于 ．
（2022·河北邢台·八年级期末）
37．已知，．
（1） ．
（2）求的值为 ．
（2022·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试）
38．已知长方形的长为a，宽为b，且，．
（1）这个长方形的周长为 ；
（2）若一正方形的面积和这个长方形的面积相等，则这个正方形的边长为 ．
（2022·山东烟台·八年级期中）
39．计算：
(1)
(2)
（2022·辽宁大连·八年级阶段练习）
40．计算：
(1)；
(2)．
（2022·山东烟台·八年级期末）
41．在数学课外学习活动中，小明和他的同学通到一道题：已知，求的值，他是这样解答的：
∵∴，
∴，即，
∴．
∴．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：若，求的值．
（2022·河南驻马店·八年级阶段练习）
42．先化简，再求值∶，其中x=，y=4
题组C 培优拔尖练
（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室八年级期末）
43．我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知的三边长分别为4，5，7，则的面积为（ ）
A． B． C． D．8
（2022·湖北武汉·八年级期中）
44．用[x]表示不超过x的最大整数．例如：[3.14]＝3，[﹣3.78]＝﹣4，把x﹣[x]作为x的小数部分．已知m，m的小数部分是a，﹣m的小数部分是b，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．（1）
（2022·山东临沂·八年级期末）
45．若，则的值为 ．
（2022·广西钦州·八年级期中）
46．已知，那么的值为 .
（2022·陕西安康·八年级期中）
47．在数学课外学习活动中，小军和他的同学遇到一道题，已知，求的值．他是这样解答的；
∵，，，，
请据小军的解题过程，解决如下问题：
(1)__________；
(2)若，求的值．
（2022·全国·九年级阶段练习）
48．请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小敏的做法是：根据得，
，得：．
把作为整体代入：得．
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
（2022·全国·八年级专题练习）
49．已知：y＝＋5，化简并求的值．
（2022·山西朔州·七年级期中）
50．阅读理解：
设m，n是有理数，且满，求的值．
解：由题意，移项得：，
∵m，n是有理数
∴m－2，n＋3也是有理数，
又∵是无理数，
∴，∴m＝2，n＝－3，
∴．
问题解决：
设a，b都是有理数，且，求的值．
参考答案：
1．C
【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断．
【详解】解：∵，，，，，
∴与是同类二次根式的是，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．D
【分析】同类二次根式的定义：化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式．
【详解】解：A、=，不是同类二次根式，故错误；
B、=，不是根式，故错误；
C、=，不是同类二次根式，故错误；
D、=，符合同类二次根式的定义，本选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．
3．3
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：a＝3．
故答案为：3.
【点睛】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
4．A
【分析】先把化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式与能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可．
【详解】，
∵最简二次根式与能够合并，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式， 利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键．
5．
【分析】根据题意可得与是同类二次根式，并且被开方数相同，进而可得方程，再解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
6．D
【分析】利用二次根式的加减运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：A、，故此选项不合题意；
B、无法合并，故此选项不合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．D
【分析】根据二次根式的加减法法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、2和不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意；
B、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意；
C、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，熟练掌握二次根式的加减法法则是解题的关键．
8．(1)0
(2)
【分析】（1）先化简二次根式，再利用二次根式加减运算法则求解即可；
（2）先化简二次根式，再利用二次根式加减运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解答的关键．
9．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式混合运算法则进行化简，然后再进行计算即可；
（3）先根据二次根式混合运算法则进行化简，然后再进行计算即可；
（4）先根据二次根式混合运算法则进行化简，然后再进行计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式的性质和二次根式混合运算法则，是解题的关键．
10．(1)；
(2)
【分析】（1）根据负整数指数幂，二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据零次幂，二次根式的混合运算，实数的混合运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解：原式＝
；
（2）解：原式＝
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，负整数指数幂，零次幂，正确的计算是解题的关键．
11．(1)-5
(2)2
【分析】（1）原式先计算二次根式的乘除法，再去括号合并即可求出结果；
（2）原式分别化简，然后再合并即可得到结果．
【详解】（1）
= - -（2+2）
=2 -3 -2-2
=-5
（2）
=2- +4-3-1+
=2
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的相关运算法则．
12．(1)
(2)
【分析】（1）先化简括号内二次根式，再做除法运算，最合并同类二次根式即可；
（2）先化简二次根式，并根据零指数幂运算法则计算，再合并同类二欠根式即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则和零指数幂的运算法则是解题的关键．
13．(1)12
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式写成，把x、y的值代入计算即可；
（2）根据平方差公式写成(x+y)(x-y)，把x、y的值代入计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题主要考查利用乘法公式进行二次根式的化简，熟记乘法公式是解题的关键．
14．
【分析】先计算的值，然后将代数式化简，代入的值进行计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式变形求值，掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
15．
【分析】先根据，，判定x、y同号，都为负数，再据此化简二次根式，合并同类二次根式，然后整代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴x、y同号，都为负数
∴
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，由已知条件判定x、y同号，且都为负数是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由△ABC三边长求出p的值，再将△ABC的三边长及p的值代入公式中计算即可求出面积；
（2）根据三角形面积公式，结合△ABC的面积及BC的长，求出BC边上的高即可．
【详解】（1）解：在△ABC中，AB＝4，BC＝6，CA＝8，
∴p＝，
则；
（2）设△ABC的BC边上的高为h，
则，即，
解得：，
即△ABC的BC边上的高为．
【点睛】此题考查了二次根式的应用以及三角形面积公式，熟练掌握二次根式的性质是解本题的关键．
17．(1)米；
(2)元．
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可．
【详解】（1）解：长方形ABCD的周长（米），
答：长方形ABCD的周长是米；
（2）解：通道的面积
（平方米），
购买地砖需要花费（元）．
答：购买地砖需要花费元．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由题意直接将三边长代入海伦—秦九韶公式即可求得答案；
（2）根据题意分别计算△ABC的面积和△ACD的面积进而相加即可得出四边形的面积．
【详解】（1）解：由海伦—秦九韶公式可得三边长分别为3、6、7的三角形面积为：
，
；
（2）连接AC，如图，
∵四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴AC=5，
∴△ABC的面积=×3×4＝6，
∵，
∴△ACD的面积=，
∴四边形ABCD的面积为：.
【点睛】本题考查二次根式的应用，解题的关键是根据三角形的面积公式进行解答．
19．
【分析】根据题中给出的规律即可得出结论；
【详解】解：根据题意，
∵OAn2=n，
∴OA100=
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，图形的变化规律，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出图形的变化规律进行解题．
20．(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据所给的等式的形式求解即可；
（2）分析所给的等式的形式，总结出规律即可；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得第7个等式为：
；
故答案为：；
（2）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
由以上等式可以猜想第n个等式是：
；
故答案为：；
（3）解：
＝
＝
＝．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律、二次根式性质和运算法则，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
21．C
【分析】根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．
【详解】A． ，原式计算错误，故本选项错误；
B． 与不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；
C． ，计算正确，故本选项正确；
D． 3与不能合并，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，解答本题的关键掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
22．D
【分析】根据同类二次根式的概念解答即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、与是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
23．D
【分析】利用二次根式的加减法的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，详解的关键是对相应的运算法则的掌握．
24．B
【分析】根据三角形的面积公式列出算式，再根据二次根式的性质化简计算即可．　
【详解】解：由三角形的面积公式可得所求高为：
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的综合应用，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
25． 3
【分析】①根据二次根式的加减进行计；②根据最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义即可求解．
【详解】解：①；
②∵最简二次根式与能进行合并，
∴．
故答案为：①，②3．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，最简二次根式与同类二次根式的定义，掌握以上知识是解题的关键．
26．
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
=
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、二次根式的加减，掌握二次根式的性质和合并同类二次根式法则是解题的关键．
27．
【分析】先求出a+b和a-b的值，把所求的式子进行分解，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵，，
∴
∴
故答案为
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
28．-1
【分析】把x2+2x﹣3变形为（x+1）2﹣4，直接代入即可求得结果．
【详解】∵x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴原式＝（1+1）2﹣4＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，把x2+2x﹣3变形为（x+1）2﹣4是解题的关键．
29．(1)
(2)15
【分析】（1）代值后分母有理化即可；
（2）先将式子转化成完全平方的形式后代值再利用平方差公式进行化简求值即可．
【详解】（1）原式=
（2）原式=
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算及分母有理化，解题关键是掌握二次根式的混合运算法则．
30．(1)
(2)
【分析】（1）先化简二次根式，再进行加减运算即可；
（2）先去括号，再把被开方数相同的项合并即可．
【详解】（1）解：＋－＋，
=3-1-0+，
=；
（2）解：3＋－(2－)，
=，
=．
【点睛】本题考查了实数的加减运算，正确化简二次根式，把被开数相同的项合并成一项是解本题的关键．
31．(1)
(2)
【分析】（1）运用二次根式的运算法则计算即可．
（2）运用完全平方公式和平方差公式计算即可．
【详解】（1）
=
=．
（2）
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质，平方差公式，完全平方公式是解题的关键．
32．(1)
(2)
(3)1
(4)0
【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后再进行计算即可；
（2）先根据二次根式性质进行化简，然后再按照二次根式乘除运算法则进行计算即可；
（3）根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
（4）根据平方差公式和二次根式性质和负整数指数幂进行运算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和实数混合运算，熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则，是解题的关键．
33．C
【分析】根据最简二次根式可以合并，得出最简二次根式为同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义进行解答即可．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴与为同类二次根式，
∴，
解得：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出关于x的方程，是解题的关键．
34．A
【分析】先把化为再结合从而可得答案．
【详解】解：∵，
，
，
而
∴
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．
35．
【分析】根据同类二次根式定义：两个被开方数相同的最简二次根式是同类二次根，列出方程组求解，得出a、b值，再代入计算即可．
【详解】银，根据题意，得
，解得：，
∴ab=2-1=，
故答案为：．
【点睛】本题考查同类二次根式概念，代数式求值，负整理指数幂的运算，解二元一次方程组，熟练掌握同类二次根式概念是解题的关键．
36．
【分析】根据积的乘方的逆运算对原式进行变形，再利用平方差公式进行计算即可；
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，能正确利用平方差公式是解题的关键．
37． 8 53
【分析】（1）直接计算即可；
（2）先计算出，再把变形为，最后整体代入求值即可．
【详解】解：（1）∵，
∴
帮答案为：8；
（2）∵，
∴
又
∴=
故答案为：53
【点睛】本题主要考查了二次根式的代简求值，正确将变形为是解答本题的关键．
38．
【分析】利用长方形的周长公式列出代数式并求值；利用等量关系另一个正方形的面积=这个长方形的面积列出等式并计算．
【详解】解：∵，．
长方形的周长=2×(+)= 2×(+)=12；
长方形的面积===24，
根据面积相等，则正方形的边长==．
故答案为：；．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，需要掌握长方形和正方形的面积公式与长方形周长公式．
39．(1)-
(2)4+
【分析】（1）利用平方差公式计算二次根式的乘法进而得出答案；
（2）直接利用二次根式的加、减、乘、除运算法则化简，然后合并同类项即可求出答案．
【详解】（1）解：原式=（）2-（）2
=7-（7+）
=
（2）原式=
=4-
=4+．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，二次根式的加、减、乘、除运算，正确掌握运算法则是解题的关键．
40．(1)
(2)
【分析】（1）先化简二次根式，再运用二次根式加减法则计算即可；
（2）先化简二次根式，再运用二次根式加减法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
41．4
【分析】先利用，得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】∵，
∴，
∴，即，
∴．
∴
．
【点睛】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
42．，
【分析】先确定，再利用二次根式的性质化简，然后计算二次根式的加减法，最后将的值代入计算即可得．
【详解】解：由题意得：，
，
则
，
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．
43．A
【分析】直接将三边长代入公式求解即可．
【详解】解：∵的三边长分别为4，5，7，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了学生对题意的理解和对公式的运用，涉及到了二次根式的计算，解题关键是读懂题意，正确将数值代入公式计算．
44．C
【分析】利用分母有理化化简m，﹣m的值，求出a，b的值，代入代数式求值即可．
【详解】解：m＝2，
∵1＜3＜4，
∴12，
∴3＜24，
∴a＝231，
∵m＝2，
∴﹣m＝﹣2，
∵1＜3＜4，
∴12，
∴﹣21，
∴﹣4＜﹣23，
∴b＝﹣2（﹣4）＝﹣24＝2，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，分母有理化，新定义，掌握分母有理化以及理解负数的小数部分是解题的关键．
45．2023
【分析】根据完全平方公式把原式变形，把a的值代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：2023．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，熟记完全平方公式是解题的关键．
46．
【分析】根据已知条件求出的值，再由：，即可得出答案．
【详解】解:，得：
，
，
，
故答案为：.
【点睛】本题考查完全平方公式的变形运用，能利用已知条件求出，再将化为平方形式，再化回来是关键．
47．(1)
(2)4
【分析】（1）根据分母有理化的方法可以解答本题；
（2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题．
【详解】（1）解：
故答案为：．
（2）解：，
，
，
，
【点睛】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
48．(1)；
(2)0．
【分析】（1）先将原式配方变形后，将的值代入计算即可求出值；
（2）先求出的值，原式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：，
，
则原式
；
（2）解：，
，
则原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则．
49．
，-4
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x=4，则y=5，再利用约分得到原式=，然后通分得到原式=，最后把x、y的值代入计算即可．
【详解】解：∵x-4≥0且4-x≥0，
∴x=4，
∴y=5，
=
=，
=，
=，
=-4．
【点睛】本题考查了考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值，做题的关键是要先化简再代入求值．
50．－21
【分析】已知等式变形后，根据a与b为有理数，确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：由题意，移项得：，
∵a，b都是有理数，
∴，也是有理数，
又∵是无理数，
∴，，
∴或（舍），．
∵．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

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