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1.3 有理数的加减法（重难点）
【知识精讲】
【知识点一、有理数的加法法则】
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3. 互为相反数的两数相加，和为零；
4. 一个数与零相加，仍得这个数．
【知识点二、有理数加法的运算律】
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”．
【知识点三、加法性质】
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数．即：
（1）当b＞0时，a＋b＞a；（2）当b＜0时，a＋b＜a；（3）当b＝0时，a＋b＝a
【知识点四、有理数减法法则】
减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母表示为：a－b＝a＋（－b）．
【重点题型】
考点1：有理数的加法
例1．计算：的结果是（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】A
【分析】根据有理数的加法运算进行计算即可．
【详解】解：，
故选A
【点睛】本题考查的是有理数的加法运算，熟记运算法则是解本题的关键．
【变式训练1-1】．计算：（ ）
A． B．14 C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的加法运算法则求解即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】题目主要考查有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式训练1-2】．已知两个有理数，那么a+b与a，必定是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】D
【分析】根据有理数加减法即可判断每个选项是否正确．
【详解】解：当时，，故A选项错误；
当时，，故B选项错误；
当，时，，此时，故C选项错误，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的加减运算和大小比较，注意：和可能会比加数小．
【变式训练1-3】．如图，若数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则的值可能是（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【答案】C
【分析】由图可知，，且，则 2【详解】由图可知，，且，则 2故选：C
【点睛】本题考查了有理数的加法法则、利用数轴比较有理数的大小，正确理解题意是关键．
考点2：有理数的减法
例2．下列与不相等的是（ ）
A． B． C． D．6
【答案】D
【分析】根据，判断各项结果是否等于即可．
【详解】解：，
A．，不符合题意，故A选项不符合题意；
B．，不符合题意，故B选项不符合题意；
C．，不符合题意，故C选项不符合题意；
D．，符合题意，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的加减，熟练掌握有理数的加减法运算法则是解题的关键．
【变式训练2-1】．下面算式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的减法法则逐项计算即可．
【详解】解：A.，原式错误；
B. ，原式正确；
C. ，原式错误；
D. ，原式错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式训练2-2】与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的加减法的法则计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数加减法的法则是解题的关键．
【变式训练2-3】下列计算结果与的结果不相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的加减运算法则、绝对值的计算进行即可．
【详解】原式，
选项A，，故不符合题意；
选项B，，符合题意；
选项C，，故不符合题意；
选项D，，故不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了有理数加减法运算，绝对值计算，掌握有理数加减运算法则是关键．
考点3：有理数的加减混合运算
例3．计算：．
【答案】0
【分析】利用有理数的加减运算的法则进行求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查有理数的加减运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式训练3-1】；
【答案】
【分析】用乘法交换律和乘法结合律进行就算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握加法运算律在有理数范围依旧适用．
【变式训练3-2】计算：
【答案】
【分析】根据有理数加减法运算法则直接求解即可得到答案；
【详解】解：原式
；
【点睛】本题考查有理数加减法混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减运算的法则．
【变式训练3-3】．计算：．
【答案】
【分析】按照有理数的加减法运算法则和运算律进行计算．
【详解】原式＝

．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减法运算法则和运算律．
考点4：有理数的加减混合简便运算
例4．计算：
【答案】998
【分析】将原式变形为，然后根据得到的1的个数进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是根据式子特点，熟练掌握加法的结合律．
【变式训练4-1】．计算：
【答案】
【分析】先分组，将放在一起计算得到整数，再将结果相加即可；
【详解】解：
；
【点睛】此题考查有理数的加减混合运算，掌握正确的计算顺序是解题的关键．
【变式训练4-2】．计算：．
【答案】
【分析】可利用加法交换律和结合律以及分数与小数的互化进行有理数的加减运算即可求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序，会利用加法运算律进行简便运算．
【变式训练4-3】．计算：．
【答案】0.9
【分析】根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可
【详解】解：原式=
=
=
=
=0.9．
【点睛】本题考查了有理数的加减，熟练掌握减法的简便运算即a－(b－c)=a－b+c是解题的关键．加法的交换律和结合律在有理数范围内仍然可以使用．
考点5：有理数的加减混合运算的应用
例5．西峡猕猴桃，河南省西峡县特产，西峡因其独特的气候条件，所产猕猴桃内在品质优良，猕猴桃口感好，维生素含量高．小芸买了10箱西峡猕猴桃，每箱的标准重量是5千克，将超出标准重量的千克数记为正数，不足标准重量的千克数记为负数，记录结果如下：
，，，，，，，，0，．
(1)最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？
(2)求这10箱西峡猕猴桃的总重量．
【答案】(1)重的一箱比最轻的一箱重千克
(2)这10箱西峡猕猴桃的总重量为千克
【分析】（1）将数据中的最大的数减去最小的数即可求解；
（2）将所有数据相加再加上，即可求解．
【详解】（1）解：∵（千克），
∴重的一箱比最轻的一箱重千克，
（2）解：，
（千克），
答：这10箱西峡猕猴桃的总重量为千克．
【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数的加减的应用，理解正负数的意义是解题的关键．
【变式训练5-1】．粮库天内粮食进、出库的吨数记录如下表（“＋”表示进库，“”表示出库）：
时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天
进、出库数量（吨） ＋25 ＋8 ＋34 22
(1)在这6天中，进库或出库的粮食数量最多的是 吨．
(2)经过这6天，粮库里的粮食是增多还是减少了？请通过计算说明．
(3)经过这6天，仓库管理员结算时发现库里还存有480吨粮食，那么6天前库里存粮多少吨？
【答案】(1)36
(2)库里的粮食是增多了41吨；
(3)6天前库里有粮439吨．
【分析】（1）根据比较绝对值的大小即可得到答案；
（2）根据有理数的加法进行计算即可得答案；
（3）根据题意列出算式，可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴在这6天中，进库或出库的粮食数量最多的是36吨；
故答案为：36；
（2）（吨），
答：库里的粮食是增多了41吨；
（3）（吨），
答：6天前库里有粮439吨．
【点睛】本题考查了正数和负数，绝对值的含义，有理数的加减运算的实际应用，读懂题意，根据有理数的运算法则进行计算是解题关键．
【变式训练5-2】．某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以为标准，超过的记为“+”，不足的记为“﹣”，七年级六个班级的废纸收集情况如表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为．
班级 一 二 三 四 五 六
超过（不足）（kg） 0
(1)请你计算七年级六班同学收集废纸的质量；
(2)若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量；
(3)若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，（包括）以内的2元/千克，超出的部分元/千克，求废纸卖出的总价格．
【答案】(1)六班收集废纸的质量为
(2)获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为
(3)废纸卖出的总价格为元
【分析】（1）根据三班收集废纸最少，收集废纸最多和最少的班级的质量差为得六班收集废纸的质量最多，可得超出标准质量为，即可得六班收集废纸的质量；
（2）由（1）得六班收集废纸的质量最大，超过标准，可得本次活动收集废纸质量排名前三的班级为一班、二班、六班，即可得获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量；
（3）七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，可算出卖出的废纸的总质量为：
，即可算出废纸卖出的总价格．
【详解】（1）解：∵三班收集废纸最少，收集废纸最多和最少的班级的质量差为，
∴六班收集废纸的质量最多，超出标准质量为：，
∴六班收集废纸的质量为：，
答：六班收集废纸的质量为；
（2）解：由（1）得六班收集废纸的质量最大，超过标准，
∴本次活动收集废纸质量排名前三的班级为一班、二班、六班，
∴获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为：．
答：获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为；
（3）解：七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，卖出的废纸的总质量为：
∴废纸卖出的总价格为：（元）．
答：废纸卖出的总价格为元．
【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
【变式训练5-3】．已知某粮库一周前存有粮食吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）．
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
进、出记录
(1)通过计算，说明本周内哪天粮库剩下的粮食最多？
(2)若运进的粮食为购进的，购买价为元/吨，运出的粮食为卖出的，卖出价为元/吨，则这一周的利润为多少？
(3)若每周平均进出的粮食数量大致相同，问：再过几周粮库存粮食达到吨？
【答案】(1)本周内星期六粮库剩下的粮食最多；
(2) 元；
(3)周．
【分析】（1）理解“”表示进库“”表示出库，求出每天的情况即可求解；
（2）这一周的利润卖出的钱数购买的钱数、依此列式计算即可求解；
（3）一周前存有粮食吨数每周平均进出的粮食数量，列式计算即可求解．
【详解】（1）星期一库存有：吨，
星期二库存有：吨，
星期三库存有：吨，
星期四库存有：吨，
星期五库存有：吨，
星期六库存有： 吨，
星期日库存有： 吨，
答：本周内星期六粮库剩下的粮食最多．
（2）由题意得：
，
，
（元）．
答：这一周的利润为 元．
（3），
，
（周）．
答：再过周粮库存粮食达到吨．
【点睛】此题主要考查了正数和负数的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确正数和负数的定义．
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1.3 有理数的加减法（重难点）
【知识精讲】
【知识点一、有理数的加法法则】
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3. 互为相反数的两数相加，和为零；
4. 一个数与零相加，仍得这个数．
【知识点二、有理数加法的运算律】
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”．
【知识点三、加法性质】
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数．即：
（1）当b＞0时，a＋b＞a；（2）当b＜0时，a＋b＜a；（3）当b＝0时，a＋b＝a
【知识点四、有理数减法法则】
减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母表示为：a－b＝a＋（－b）．
【重点题型】
考点1：有理数的加法
例1．计算：的结果是（ ）
A．1 B． C． D．5
【变式训练1-1】．计算：（ ）
A． B．14 C． D．
【变式训练1-2】．已知两个有理数，那么a+b与a，必定是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【变式训练1-3】．如图，若数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则的值可能是（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
考点2：有理数的减法
例2．下列与不相等的是（ ）
A． B． C． D．6
【变式训练2-1】．下面算式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】下列计算结果与的结果不相同的是（ ）
A． B． C． D．
考点3：有理数的加减混合运算
例3．计算：．
【变式训练3-1】；
【变式训练3-2】计算：
【变式训练3-3】．计算：．
考点4：有理数的加减混合简便运算
例4．计算：
【变式训练4-1】．计算：
【变式训练4-2】．计算：．
【变式训练4-3】．计算：．
考点5：有理数的加减混合运算的应用
例5．西峡猕猴桃，河南省西峡县特产，西峡因其独特的气候条件，所产猕猴桃内在品质优良，猕猴桃口感好，维生素含量高．小芸买了10箱西峡猕猴桃，每箱的标准重量是5千克，将超出标准重量的千克数记为正数，不足标准重量的千克数记为负数，记录结果如下：
，，，，，，，，0，．
(1)最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？
(2)求这10箱西峡猕猴桃的总重量．
【变式训练5-1】．粮库天内粮食进、出库的吨数记录如下表（“＋”表示进库，“”表示出库）：
时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天
进、出库数量（吨） ＋25 ＋8 ＋34 22
(1)在这6天中，进库或出库的粮食数量最多的是 吨．
(2)经过这6天，粮库里的粮食是增多还是减少了？请通过计算说明．
(3)经过这6天，仓库管理员结算时发现库里还存有480吨粮食，那么6天前库里存粮多少吨？
【变式训练5-2】．某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以为标准，超过的记为“+”，不足的记为“﹣”，七年级六个班级的废纸收集情况如表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为．
班级 一 二 三 四 五 六
超过（不足）（kg） 0
(1)请你计算七年级六班同学收集废纸的质量；
(2)若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量；
(3)若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，（包括）以内的2元/千克，超出的部分元/千克，求废纸卖出的总价格．
【变式训练5-3】．已知某粮库一周前存有粮食吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）．
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
进、出记录
(1)通过计算，说明本周内哪天粮库剩下的粮食最多？
(2)若运进的粮食为购进的，购买价为元/吨，运出的粮食为卖出的，卖出价为元/吨，则这一周的利润为多少？
(3)若每周平均进出的粮食数量大致相同，问：再过几周粮库存粮食达到吨？
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