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1.4 有理数的乘除法（重难点）
【知识精讲】
【知识点一、有理数的乘法法则】
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0，则积等于0.
【知识点二、倒数】
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·＝1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数．
注意：①0没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；
④倒数等于它本身的数是1或－1，不包括0.
【知识点三、有理数的乘法运算律】
1. 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即ab＝ba
2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即（ab）c＝a（bc）．
2. 乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加．即a（b＋c）＝ab＋ac
【知识点四、有理数的除法法则】
除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数．
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0
【知识点五、有理数的乘除混合运算】
1.乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
2. 有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行．
【重点题型】
考点1：有理数的乘法运算
例1．下列运算中，结果小于0的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】．下列算式中，积为负数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】．下列算式中，积为负数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】．下列各选项中计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
考点2：倒数
例2．的倒数是（　　）
A．2 B． C． D．
【变式训练2-1】．的倒数是( )
A． B．2023 C． D．
【变式训练2-2】．的相反数的倒数是（ ）．
A． B．2022 C． D．
【变式训练2-3】．下列各数中，倒数最大的是（ ）
A． B． C．1 D．2
考点3：有理数的除法运算
例3．计算的结果等于（　　）
A． B．9 C． D．1
【变式训练3-1】．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】．把转化为乘法是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练3-3】．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点4：有理数的混合运算
例4．计算：
【变式训练4-1】．计算：．
【变式训练4-2】．计算：．
【变式训练4-3】．
考点5：有理数的混合运算的实际应用
例5． 股民李明上星期六买进春兰公司股票1000股，每股28元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）（注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数）
星期 一 二 三 四 五 六
每股涨跌 ＋3 ＋3.5 －2 －3.5 －6 ＋6.5
（1）星期三收盘时，每股是多少元？
（2）本周内最高价是何时每股多少元？最低价是何时每股多少元？
（3）已知李明买进股票时付了0.15%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果李明在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
【变式训练5-1】．“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩　 　个．
（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量．
（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？
（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元．
星　期 一 二 三 四 五 六 日
增减产量/个 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣9 +16 ﹣8
【变式训练5-2】．某股民上周五以每股元买进某公司股票2000股，下表为本周每日该股涨跌情况（单位：元，股价比前一日上涨记为正，股价比前一日下跌记为负）
星期 一 二 三 四 五
涨跌
根据上表回答：
(1)星期二收盘时，该股票每股________元；
(2)星期________卖出可以获得最大收益，每股最大收益是________元（不考虑上税等）；
(3)股票买、卖都要支付一定比例的额外费用．已知该股民买入时支付了的手续费，卖出时支付了股票成交额的的手续费和的交易税．若该股民在周五把股票以收盘价全部卖出，他的收益如何？
【变式训练5-3】．股民铭铭上星期五买进萱萱公司的股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况(单位：元)(注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数)
(1)星期二收盘时，每股是多少元
(2)本周内最高价是每股多少元 最低价每股多少元
(3)已知铭铭买进股票时付了购买金额0.1%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果铭铭在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益(获利)情况如何
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1.4 有理数的乘除法（重难点）
【知识精讲】
【知识点一、有理数的乘法法则】
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0，则积等于0.
【知识点二、倒数】
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·＝1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数．
注意：①0没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；
④倒数等于它本身的数是1或－1，不包括0.
【知识点三、有理数的乘法运算律】
1. 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即ab＝ba
2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即（ab）c＝a（bc）．
2. 乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加．即a（b＋c）＝ab＋ac
【知识点四、有理数的除法法则】
除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数．
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0
【知识点五、有理数的乘除混合运算】
1.乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
2. 有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行．
【重点题型】
考点1：有理数的乘法运算
例1．下列运算中，结果小于0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的乘法，有理数的加法，有理数的减法运算，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，有理数的加法，有理数的减法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【变式训练1-1】．下列算式中，积为负数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据几个非零数相乘，负号的个数为奇数，积为负，负号的个数为偶数，积为正，任何数乘0，都得0，进行判断即可．
【详解】解：，不符合题意；
B、，2个负号，积为正数，不符合题意；
C、，2个负号，积为正数，不符合题意；
D、，3个负号，积为负数，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查有理数乘法的符号法则．熟练掌握同号为正，异号为负，任何数乘0，都得0，以及几个非零数相乘，负号的个数为奇数，积为负，负号的个数为偶数，积为正，是解题的关键．
【变式训练1-2】．下列算式中，积为负数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法法则进行判断便可．
【详解】解：A、，结果为0，不符合题意；
B、，结果为正，不符合题意；
C、，结果为正，不符合题意；
D、，结果为负，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了有理数乘法，关键是熟记和应用有理数法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数与零相乘积为零；几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数的个数为奇数时，积为负，负因数的个数为偶数时，积为正．
【变式训练1-3】．下列各选项中计算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的加减法运算和乘法运算逐项求解判断即可．
【详解】解：A．，选项错误；
B．，选项正确；
C．，选项错误；
D．，选项错误．
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的加减法运算和乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加减法运算和乘法运算法则和运算顺序．
考点2：倒数
例2．的倒数是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】乘积是1的两个数互为倒数，求一个数（0除外）的倒数，只要用1除以这个数即可．
【详解】解：∵
∴-2的倒数是
故选B．
【点睛】此题考查倒数的意义和求法：乘积是1的两个数互为倒数，一般在求小数的倒数，先把小数化为分数再求解．
【变式训练2-1】．的倒数是( )
A． B．2023 C． D．
【答案】C
【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解：的倒数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．
【变式训练2-2】．的相反数的倒数是（ ）．
A． B．2022 C． D．
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质、相反数和倒数的定义求解即可，绝对值：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；相反数定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数；倒数定义：两个数相乘积等于1的两个数互为倒数．
【详解】解：=2022，
2022的相反数是-2022，
-2022的倒数是，
故选D
【点睛】本题考查了绝对值的性质、相反数和倒数的定义，熟练掌握相关性质和定义是解题关键．
【变式训练2-3】．下列各数中，倒数最大的是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】先计算倒数，后比较大小，选择解答即可．
【详解】因为的倒数是2，的倒数是，1的倒数是1，2的倒数是，
且，
故选：A．
【点睛】本题考查了倒数即乘积为1的两个数，有理数大小的比较，熟练掌握倒数的定义，活用有理数大小比较的法则是解题的关键．
考点3：有理数的除法运算
例3．计算的结果等于（　　）
A． B．9 C． D．1
【答案】A
【分析】利用有理数的除法公式进行计算即可．
【详解】解：原式；
故选A．
【点睛】本题考查有理数的除法．熟练掌握有理数的除法法则，正确的计算，是解题的关键．
【变式训练3-1】．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的除法法则计算即可判断．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，故正确，符合题意；
D、，故错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查有理数除法法则，根据法则准确计算即可．
【变式训练3-2】．把转化为乘法是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的除法运算可进行求解．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题主要考查有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算法则是解题的关键．
【变式训练3-3】．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数除法运算法则进行判断即可．
【详解】解：A.，原式计算错误，不符合题意；
B.，原式计算错误，不符合题意；
C.，原式计算正确，符合题意；
D.，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数除法，熟练掌握有理数除法运算法则是解本题的关键．
考点4：有理数的混合运算
例4．计算：
【答案】
【分析】按照从左至右的顺序计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是乘除混合运算，熟练的按照从左至右的顺序进行运算是解本题的关键．
【变式训练4-1】．计算：．
【答案】
【分析】根据有理数的乘除混合运算法则求解即可．
【详解】
．
【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘除混合运算法则．
【变式训练4-2】．计算：．
【答案】
【分析】根据有理数乘除运算法则计算，即可．
【详解】原式，
；
【点睛】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，准确计算是解题的关键．
【变式训练4-3】．
【答案】
【分析】首先将带分数化成假分数，再进行乘除运算，最后计算加减运算．
【详解】原式，
=，
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则，在化简过程中注意同类项的合并．
考点5：有理数的混合运算的实际应用
例5． 股民李明上星期六买进春兰公司股票1000股，每股28元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）（注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数）
星期 一 二 三 四 五 六
每股涨跌 ＋3 ＋3.5 －2 －3.5 －6 ＋6.5
（1）星期三收盘时，每股是多少元？
（2）本周内最高价是何时每股多少元？最低价是何时每股多少元？
（3）已知李明买进股票时付了0.15%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果李明在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
【答案】（1）32.5元；（2）最高价星期二每股34.5元，最低价,星期五每股23元；（3）他赚了1384.25元.
【详解】试题分析：（1）根据有理数的加法运算，可得周三美股价格；
（2）根据有理数的加法运算，可得每天价格，再根据有理数的大小比较，可得最高价，最低价；
（3）先算出刚买股票所花的钱，然后再算出星期五卖出股票后所剩的钱，最后再减去当时购买时所花的钱，则剩下的钱就是所收益的．
试题解析：（1）28+3+3.5-2=32.5（元），
答：星期三收盘时，每股是32.5元；
（2）周一：28+3=31（元），周二：31+3.5=34.5（元），周三：34.5-2=32.5（元），周四：32.5-3.5=29（元），周五：29-6=23（元），周六：23+6.5=29.5（元），
∵34.5＞32.5＞31＞29.5＞29＞23，
答：本周内最高价星期二每股34.5元，最低价,星期五每股23元 ；
（3）28×1000×（1+0.15%）=28000×（1+0.15%）=28042（元），
29.5×1000-29.5×1000×0.15%-29.5×1000×0.1%
=29500-29500×0.15%-29500×0.1%
=29426.25（元），
29426.25-28042=1384.25（元），
即他的收益为赚了1384.25元．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
【变式训练5-1】．“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩　 　个．
（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量．
（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？
（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元．
星　期 一 二 三 四 五 六 日
增减产量/个 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣9 +16 ﹣8
【答案】（1）291；（2）2111个；（3）1268.25元；（4）1267.1元．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；
（2）根据题意和表格中的数据，本周生产个数=2100+增减产量，即可求得；
（3）根据题意和表格中的数据，本周收入=本周生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），即可解得；
（4）根据题意和表格中的数据，每天收入=生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），然后累加即可解得．
【详解】解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），
故答案为：291；
（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），
则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个）
答：小王本周实际生产口罩数量为2111个；
（3）一周超额完成的数量为：+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），
所以，2100×0.6+11×（0.6+0.15）
＝1260+11×0.75
＝1260+8.25
＝1268.25（元），
答：小王这一周的工资总额是1268.25元；
（4）第一天：300×0.6+5×（0.6+0.15）＝183.75（元）；
第二天：（300﹣2）×0.6﹣2×0.2＝178.4（元）；
第三天：（300﹣4）×0.6﹣4×0.2＝176.8（元）；
第四天：300×0.6+13×（0.6+0.15）＝189.75（元）；
第五天：（300﹣9）×0.6﹣9×0.2＝172.8（元）；
第六天：300×0.6+16×（0.6+0.15）＝192（元）；
第七天：（300﹣8）×0.6﹣8×0.2＝173.6（元）；
共183.75+178.4+176.8+189.75+172.8+192+173.6＝1267.1（元）．
答：小王这一周的工资总额是1267.1元．
【点睛】此题考查有理数的混合运算和正负数的意义，本题是实际生活中常见的一个表格，它提供了多种信息，但关键是从中找出解题所需的有效信息，构造相应的数学模型来解决问题．
【变式训练5-2】．某股民上周五以每股元买进某公司股票2000股，下表为本周每日该股涨跌情况（单位：元，股价比前一日上涨记为正，股价比前一日下跌记为负）
星期 一 二 三 四 五
涨跌
根据上表回答：
(1)星期二收盘时，该股票每股________元；
(2)星期________卖出可以获得最大收益，每股最大收益是________元（不考虑上税等）；
(3)股票买、卖都要支付一定比例的额外费用．已知该股民买入时支付了的手续费，卖出时支付了股票成交额的的手续费和的交易税．若该股民在周五把股票以收盘价全部卖出，他的收益如何？
【答案】(1)17
(2)四；18
(3)若该股民在周五把股票以收盘价全部卖出，他的收益为4270.6元．
【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得周二每股价格；
（2）根据有理数的加法运算，可得每天价格，再根据有理数的大小比较，可得最高价；
（3）根据收益=卖出股票费-买进股票费-买进手续费-卖出交易税计算即可；
（1）
解：根据题意，得
周二收盘时，每股价格为：（元）；
故答案为：17．
（2）
解：根据题意，得本周每日股价如下，
周一：14.8+1=15.8（元），
周二：15.8+1.2=17（元），
周三：17-1=16（元），
周四：16+2=18（元），
周五：18-1=17（元），
∵18>17>16
∴星期四卖出可以获得最大收益，每股最大收益是18元．
故答案为：四；18．
（3）
解：根据题意，得
买进的手续费为14.8×2000×0.15％=44.4（元），
卖出的交易税为17×2000×(0.15％+0.1％)=85（元），
∵收益=卖出股票费-买进股票费-买进手续费-卖出交易税，
∴收益为17×2000 14.8×2000 44.4 85=4270.6（元）．
答：若该股民在周五把股票以收盘价全部卖出，他的收益为4270.6元．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算的应用，正数与负数的运用，解题的关键是弄清题意．
【变式训练5-3】．股民铭铭上星期五买进萱萱公司的股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况(单位：元)(注：用正数记股价比前一日上升数，用负数记股价比前一日下降数)
(1)星期二收盘时，每股是多少元
(2)本周内最高价是每股多少元 最低价每股多少元
(3)已知铭铭买进股票时付了购买金额0.1%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果铭铭在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益(获利)情况如何
【答案】（1）29.5元；（2）本周内最高价为每股30元，最低价为每股28.1元；（3）2898元.
【分析】（1）利用正数和负数的意义，将星期一和星期二的涨跌相加，可得到星期二收盘时每股的价格；
（2）分别计算出星期一到星期五每天的股价，然后比较大小即可；
（3）先计算出以星期五收盘前每股的价格卖出所得，然后再计算买进股票所需费用，然后求出它们的差即可.
【详解】（1）根据题意得：
27+2-0.5=29.5（元）
故星期二收盘时，每股29.5元.
（2）星期一收盘时每股价格为：27+2=29（元）；
星期二收盘时每股价格为：29+0.5=29.5（元）；
星期三收盘时每股价格为：29.5-1=28.5（元）；
星期四收盘时每股价格为：28.5-0.4=28.1（元）；
星期五收盘时每股价格为：28.1+1.9=30（元）；
所以本周内最高价是每股30元，最低价每股28.1元；
（3）星期五收盘前将全部股票卖出所得为：
（元）
买进股票的费用为：
（元）
29925-27027=2898（元）
所以他的收益为2898元.
【点睛】在实际应用中，有时需要根据记数的基准先把实际的量进行转化，然后用正数和负数来表示相关的数量.本题就是正负数的实际应用，同时结合利润问题进行考查，明确买入和卖出费用是解题的关键.
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