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九年级数学上册 24.1.3 弧、弦、圆心角 导学案
【知识清单】
圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角的判断方法：观察顶点是否在圆心。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对优弧和劣弧分别相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
【典型例题】
考点1：利用弧、弦、圆心角的关系求解
例1．如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．
【详解】解：如下图，连接，

∵是劣弧的中点，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
考点2：利用弧、弦、圆心角的关系求解
例2．如图所示，在中，，则在①；②；③；④中，正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【详解】解：在⊙O中，，
，故①正确；
为公共弧，
，故④正确；
，故②正确；
，故③正确；
综上分析可知，正确的有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
考点3：圆心角概念辨析
例3．下列说法中，正确的是（ ）
A．长方体的截面形状一定是长方形 B．各边都相等的多边形叫做正多边形
C．三棱锥只有三个面 D．顶点在圆心的角叫圆心角
【答案】D
【分析】根据正多边形的定义，圆心角的定义以及截一个几何体的知识逐一判断分析即可．
【详解】解：A、长方体的截面形状可能是长方形也可能是正方形、还可能是三角形，故A选项不符合题意；
B、各边都相等，各角都相等的多边形叫正多边形，故B选项不符合题意；
C、三棱锥有四个面，故C选项不符合题意；
D、顶点在圆心的角叫圆心角，结论正确，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形的定义，圆心角的定义以及截一个几何体的知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．
考点4：求圆弧的度数
例4．如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，根据三角形外角的性质可得，根据等边对等角可得，进而可得．
【详解】
由题意知
∴
∵量角器为半圆
∴
∴
∴
故选D．
【点睛】本题考查量角器的使用、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、圆的性质等知识点，难度较小，解题的关键是读懂题意，得出小量角器上对应的度数为的度数．
【巩固提升】
1、选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．长度相等的弧是等弧 B．半圆是弧
C．等弦对等圆心角 D．直径是最长的弦，半径是最短的弦
2．如图，点A，B，C，D，E均在上，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
3．下列命题中，不成立的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．圆心角相等，则其对应的弧相等
C．平行四边形的对角线互相平分 D．角平分线上的点到角的两边距离相等
4．下列给出5个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②六边形的内角和等于； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；⑤若顺次连接四边形四边的中点，得到的图形是一个矩形，其中正确命题的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列语句中不正确的有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）

A．30° B．25° C．20° D．10°
二、填空题
9．如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为 ．

10．如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为 ．
11．如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．

12．如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是 ．
13．如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为 ．
三、解答题
14．已知：如图，在中，，以点C为圆心、为半径作，交于点D，求弧的度数．

15．如图，是的直径，，，求的度数．

16．如图，在中，弦、交于点，且．求证：．

17．如图，圆心角．
(1)判断和的数量关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
18．如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数．
19．如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数．
20．如图所示，以O为圆心的两个同心圆，小圆半径为1，大圆半径为，用6条直径将两个圆12等分，点A在大圆等分点上，点B在小圆等分点上，且．
（1）将绕点O顺时针旋转得，请在图甲中画出．
（2）将绕点O顺时针旋转得，使边第一次经过点B，请在图乙中画出．
参考答案
1．B
【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径；圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆；在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，等弧所对的圆心角相等，逐项判断可得答案．
【详解】解：A．等弧指的是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，而不是长度相等，就一定能够重合，故此选项不符合题意；
B．半圆是弧，故此选项符合题意；
C．在同圆或等圆中，等弦所对的弧对应相等，等弧所对的圆心角相等，故此选项不符合题意；
D．直径是最长的弦，半径不是弦，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查圆的认识，在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角的关系．解题的关键是掌握弧、半圆和弦的定义，弦、弧、圆心角的关系．
2．C
【分析】连接，可得，由圆心角定理可得．
【详解】解：连接，如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．B
【分析】根据相关的知识判断即可．
【详解】A、两直线平行，内错角相等成立，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，圆心角相等，则其对应的弧相等，不成立，符合题意；
C、平行四边形的对角线互相平分成立，不符合题意；
D、角平分线上的点到角的两边距离相等成立，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆的性质，平行四边形的性质，角的平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据正方形的判等等，矩形的判定定理，三角形中位线定理，弧、弦、圆周角的关系逐一判断即可．
【详解】解：①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以①假命题；
②六边形的内角和等于，所以②是真命题；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③是假命题；
④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以④是真命题；
根据三角形中位线定理可得：
，
再由菱形的性质得到，即可证，即可证明四边形是矩形；
⑤若顺次连接四边形四边的中点，得到的图形是一个平行四边形（同④用三角形中位线证明），所以⑤是假命题；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题的真假，涉及正方形的判定方法，多边形的内角和公式，圆心角、弧、弦的关系，矩形的判定，三角形中位线定理等知识点，正确理解这些判定与性质是解题的关键．
5．A
【分析】根据圆心角的定义作答即可．
【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上，
所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键．
6．A
【分析】根据圆的性质依次进行判断即可得．
【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线（或直径所在的直线）都是圆的对称轴；④在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；
综上，①②④错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆的性质．
7．B
【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案．
【详解】解：如图，连接
∵，
∴
∵
∴
∴
∴的度数为：
故选B．
【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键．
8．C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
9．
【分析】
过D作于E，求出，解直角三角形求出、的长度，求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】
解：过D作于E，则，

∵点C是直径的三等分点（AC＜CB），直径，
∴，
∴，
∵点D是弧的三等分点（弧＜弧），
∴，
∴，
∴,,
∴,
∴,
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理，能求出和半径的长度是解此题的关键．
10．8
【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长．
【详解】解：∵C是的中点，
∴，而，
∴，
∵，
∴和都是等边三角形，
∴， 所以四边形的周长等于8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键．
11．
【分析】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答．
方法二∶ 连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】方法一∶ 解：如图：连接，
由题意可得：，，，
∴，，
∴．
故答案为．

方法二∶解∶ 连接，
由题意可得：，
根据圆周角定理，知．
故答案为．

【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键．
12．/度
【分析】连接，根据三角形内角和定理求出的度数，根据等边对等角得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出的度数，则结果可得．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧的度数，熟练掌握相关知识点是解本题的关键．
13．/50度
【分析】连接，先根据折叠的性质、等边三角形的判定与性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，则，
由折叠的性质得：，
，
是等边三角形，
，
，
，
则弧的度数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
14．弧的度数为
【分析】连接．由题意可求出，根据同圆半径相等结合等腰三角形的性质可求出，根据三角形内角和定理求出，最后根据弧、弦、圆心角的关系求解即可．
【详解】解：如图，连接．

∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即弧的度数为．
【点睛】本题考查同圆半径相等，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，弧、弦、圆心角的关系等知识．正确的连接辅助线是解题关键．
15．
【分析】根据圆的性质进行计算即可得．
【详解】解：在中，AB是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角相等．
16．见解析
【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．
【详解】证明：连接，

，
，
∴，
，
；
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．
17．(1)，见解析
(2)
【分析】（1）根据条件和，即可求解；
（2）根据第（1）问的结论和即可求解．
【详解】（1）解：；
∵，，，
∴
（2）解：∵，，，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键．
18．
【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到．
【详解】解：连接，如图，
∵弧的度数为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵弦，
∴．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
19．54°，90°，108°，36°，72°
【分析】求出每个扇形所占的百分比，再根据所有扇形所对应的圆心角的和为360°，按比例进行计算即可．
【详解】解：由题意得，扇形DOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝10%，
扇形AOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝20%，
∴∠AOB＝360°×15%＝54°，
∠BOC＝360°×25%＝90°，
∠COD＝360°×30%＝108°，
∠DOE＝360°×10%＝36°，
∠AOE＝360°×20%＝72°，
答：这五个圆心角的度数依次为54°，90°，108°，36°，72°．
【点睛】本题考查求圆心角度数，求出各个扇形所占的百分比是正确解答的关键．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由于圆被12等分，可得每小格为30°，则120°为4小格，据此画图即可；
（2）计算出AB=2，根据经过点B，可知点B为A2B2中点，从而得到旋转角，画出图形即可．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求．
（2）AB=，
如图所示，即为所求．
【点睛】本题考查了旋转作图，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质，根据题意确定旋转角．
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