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九年级数学上册 24.2.1 点和圆的位置关系 导学案
【知识清单】
1．判定一个点P是否在⊙O上
　　设⊙O的半径为，OP=，则有
　　点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.
知识要点：
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
2．判定几个点在同一个圆上的方法
　　当时，在⊙O 上.
3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。
【典型例题】
考点1：利用点和圆的位置关系求半径
例1．已知的半径为4cm，点P在上，则的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．5cm D．8cm
【答案】B
【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解即可．
【详解】解：∵的半径为4cm，点P在上，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外时，；点P在圆上时，；点P在圆内时，．
考点2：求三角形外心坐标
例2．如图，已知点是的外心，，连接，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用外心的概念，转换为求等腰三角形的顶角即可．
【详解】方法一、如图，连接，

∵点是的外心，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
方法二、如图，

∵点是的外心，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的外心，内角和，等腰三角形的性质，解题的关键是熟记以上知识及其应用．
考点3：判断确定圆的条件
例3．下列说法：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；；③相等的圆心角所对的弦相等④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤弧长相等的弧是等弧；其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、三角形的外心等弧定义进行判断即可得到正确结论．
【详解】解：不共线的三点确定一个圆，故表述不正确；
平分弦不是直径的直径垂直于弦，故表述不正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故表述不正确；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故表述正确；
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧，故表述不正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义三角形的外心，熟练掌握定义与性质是解题的关键．
考点4：画圆
例4．四边形是平行四边形，下列尺规作图不能得到等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析每个选项的尺规作图，进一步判断是否又等腰三角形即可．
【详解】A．根据作图痕迹可知，为的角平分线，故，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形，A不符合题意；
B．根据作图痕迹可知，点，在以为圆心，的长为半径的圆上，故，即为等腰三角形，B不符合题意；
C．根据作图痕迹可知，令的角平分线与交于点，如图，则，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形；根据作图痕迹可知，以点为圆心，画弧，与边交于两点，分别以该两点为圆心，画弧交于一点，连接该点与点，延长交于点，故为的角平分线，故，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形，C不符合题意；

D．作图痕迹没有依据，D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质等，解题的关键是根据做图痕迹进行判断．
考点5:反正法证明中的假设
例5．用反证法证明：一个三角形中，至少有两个角是锐角．应先假设三角形中（ ）
A．至少有两个角是锐角 B．至多有一个角是锐角
C．只有一个角是锐角 D．没有一个角是锐角
【答案】B
【分析】“至少有两个”的反面为“至多有一个”，据此可以解答．
【详解】解：“至少有两个”的反面为“至多有一个”，
而反证法的结社即原命题的逆命题正确，
应假设：三角形三个内角中至多有一个锐角，
故选：B．
【点睛】本题考查了反证法，注意逆命题与原命题的关系是解题的关键．
考点6：用反证法证明明命题
例6．用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角是钝角或直角”，第一步应假设（ ）
A．一个四边形中至少有两个内角是钝角或直角
B．一个四边形中至多有两个内角是钝角或直角
C．一个四边形中没有一个内角是钝角或直角
D．一个四边形中至多有一个内角是钝角或直角
【答案】C
【分析】根据反证法定义：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法，进行判断即可．
【详解】解：由反证法的定义得
先假设结论：“至少有一个内角是钝角或直角”不成立，
则有：一个四边形中没有一个内角是钝角或直角，
故选：C．
【点睛】本题考查了反证法的定义，理解定义是解题的关键．
【巩固提升】
选择题
1．在平面直角坐标中，的半径为5，以下各点在内的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，抛物线与轴负半轴交于点A，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段PA的中点，连接，则线段的最小值是（　　）

A． B．2 C． D．
3．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
4．如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ）

A．8 B．4 C．3.5 D．3
5．一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程的两根，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A． B．5 C． D．8
6．如图中外接圆的圆心坐标是（　　）

A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则该弧的圆心的坐标为（　　）

A．（1，0） B．（2，0） C．（2.5，0） D．（2.5，1）
8．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
9．能说明命题“若x为无理数，则也是无理数”是假命题的反例可以是（　　）
A． B． C． D．
10．用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设（ ）
A．一个三角形中至少有一个角是直角或钝角
B．一个三角形中至少有两个角是直角或钝角
C．一个三角形中至多有一个角是直角或钝角
D．一个三角形中没有一个直角或钝角
11．用反证法证明：在中，中不能有两个角是钝角时，假设，令，则所得结论与下列四个选项矛盾的是（　　）
A．已知 B．三角形内角和等于 C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对
二、填空题
12．已知的圆心与坐标原点重合，半径为r，若点在内，点在外，则r的取值范围是 ．
13．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，动点P在射线上运动，作的外接圆，当圆心M落在该抛物线上时，的长为 ．
14．在中，，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ．
15．在中，为的中点，为的中点，为线段上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，为直线上一动点，点关于直线的对称点为，连接，则线段的最小值为 ．

16．如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．

17．命题“若，则”，能说明该命题是假命题的反例是 ．（写出一个即可）
18．如图，两条直线m、n被直线所截，已知．求证：m与n不平行．用反证法证明时，假设为 ．

19．已知中，，求证：．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以，这与三角形内角和为矛盾；
②因此假设不成立，所以；
③假设在中，；
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是 ．（填序号）
参考答案
1．A
【分析】先根据勾股定理求出各点到的距离，再与的半径5相比较即可．
【详解】解：A、点到的距离为，则点在内，本选项符合题意；
B、点到的距离为，则点在上，本选项不符合题意；
C、点到的距离为，则点在外，本选项不符合题意；
D、点到的距离为，则点在外，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
2．A
【分析】连接，如图，先解方程得，再判断为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，过圆心C时，最小，如图，点P运动到位置时，最小，然后计算出即可得到线段的最小值．
【详解】解：连接，如图，

当时，，
解得，
∴，
∵Q是线段的中点，
∴为的中位线，
∴，
当最小时，最小，
而过圆心C时，最小，如图，点P运动到位置时，最小，
∵，
∴，
∴线段的最小值是．
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．确定位置是解题的关键．
3．C
【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意．
【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图，
得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B，
以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B，
即能画的圆的个数是2个．
故选：C．
【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键．
4．B
【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可．
【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，，
∴点D、E、F分别是的中点，
∴，
∵的周长为21，
∴即，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．
5．C
【分析】先求出方程的解，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半作答．
【详解】解：，
因式分解得，
解得，
∵，
∴这个三角形是直角三角形，且斜边为13，
∴这个三角形外接圆的半径是斜边长的一半即，
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理和求三角形外接圆的半径，熟记直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半是解题的关键．
6．C
【分析】三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点，分别作垂直平分线，交点为外心，再过外心分别向轴，轴的垂线，确定坐标．
【详解】解：外接圆圆心的坐标为．

故选C．
【点睛】本题考查三角形的外接圆的定义．本题解题的关键是作图找出三角形的外心．
7．B
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，

可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．
故选：B．
【点睛】本题考查垂径定理的应用，解题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
8．D
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．
【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：D．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．
9．C
【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论的命题为假命题即可解答．
【详解】解：A、当时，，是无理数，则命题“若x为无理数，则也是无理数”是真命题；
B、当时，，是无理数，则命题“若x为无理数，则也是无理数”是真命题；
C、当时，，18不是无理数，则命题“若x为无理数，则也是无理数”是假命题；
B、当时，，是无理数，则命题“若x为无理数，则也是无理数”是真命题．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反证法、二次根式的运算等知识点，掌握反证法是解题的关键．
10．C
【分析】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确．
【详解】解：假设正确的是：假设三角形中至少有两个角是直角或钝角，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反证法，正确理解反证法的思想方法，理解求设的方法是解决本题的关键．
11．B
【分析】根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：假设，
则，
这与三角形内角和等于相矛盾，
故选：B．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
12．
【分析】由题意知，，，由点在内，点在外，可得．
【详解】解：由题意知，，，
∵点在内，点在外，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
13．3
【分析】的外接圆的圆心在线段的垂直平分线上，求出直线与抛物线的交点，即可推出点坐标，由此即可解决问题．
【详解】解：的外接圆的圆心在线段的垂直平分线上，
由，
解得或（舍弃），
点坐标为，
如图1中，作于，
，，
，
，，
当时圆心在抛物线上．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，抛物线与轴的交点，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．5
【分析】先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半求出即可．
【详解】解：在中，，，，
，
其外接圆的直径为10，半径为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题关键是熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径．
15．/
【分析】连接、，证明、D、C三点在以点P为圆心，为半径的圆上，根据为此圆的弦，点在线段上，得出，即，根据线段绕点逆时针旋转得到线段，得出，根据垂直平分，得出，根据，得出，即可求出结果．
【详解】解：连接、，如图所示：

∵在中，为的中点，
∴，，
∴，
∵P为的中点，
∴，
∴、D、C三点在以点P为圆心，为半径的圆上，
∴为此圆的弦，
∵点在线段上，
∴，
即，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，三角形三边关系，解题的关键是作出辅助线，求出，．
16．6
【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
【详解】解：如图，

以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
综上分析可知，共6组．
故答案为：6．
【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．
17．（答案不唯一）
【分析】举一个数，满足，但不满足即可．
【详解】当时，满足题设，但，即
∴命题“若，则”是假命题，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例的方法：满足假设，但不能得到结论．
18．
【分析】根据反证法的解题要求，写出结论的否命题即可．
【详解】解：∵m与n不平行，
∴假设m与n不平行不成立即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握反证法的要领是解题的关键．
25．③④①②
【分析】反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：
1、假设在中，；
2、由，得，即，
3、所以，这与三角形内角和为矛盾；
4、因此假设不成立，所以．
故答案为：③④①②．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及反证法的应用，理解并掌握反证法的一般步骤是解题关键．
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