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九年级数学上册 24.3 正多边形和圆 导学案
【知识清单】
1.如何能在圆内作出一个正多边形
把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
2.把圆分成n（n≥3）等份：依次连接各分点所得的多边形一定是 正n边形 ，这个正n边形是这个圆的 内接正n边形 ，这个圆是这个正n边形的 外接圆 .
3.正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
4.外接圆的半径叫做正多边形的半径.
5.正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
6.中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
7.正多边形的外角=中心角
【典型例题】
考点1：求正多边形的中心角
例1．如图所示正六边形的面积为6，点是边的中点，连接相交于，若四边形的面积记作，四边形的面积记作，则的值是（ ）

A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】，根据正六边形的性质分别求出 即可．
【详解】解：连接，如图所示：

由正六边形的对称性可知：
∴是全等的等边三角形
∴四边形是菱形
同理，
∵
∴
∵点是边的中点
∴
∵
∴
故选：B
【点睛】本题考查了正六边形的性质．将所求面积与正六边形的面积建立联系是解题关键．
考点2：已知正多边形的中心角求边数
例2．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解．
【详解】解：这个多边形的边数是，
故选：C．
【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．
考点3：正多边形和圆
例3．如图，已知正六边形的边长为，分别以其对角线、为边作正方形，则两个阴影部分的面积差的值为（ ）

A．0 B．1 C．3 D．2
【答案】B
【分析】分别求出两个正方形的面积，再求差可得结论．
【详解】解∶如图，取正六边形的中心，连接，令交于点

∵正六边形的边长为，
∴，
∴、与都是边长为的等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴为边的正方形的面积为，为边的正方形的面积为，
∴．
故选∶B．
【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
考点4：尺规作图——正多边形
例4．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求；
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都不对 D．两人都对
【答案】D
【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等
【详解】甲：
∵BF是中垂线
∴四边形OCDE是菱形
∴△OCD, △OED都是等边三角形，
同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
乙：
∵AB=AO=BO=AF=OF
∴△OAB, △OAF都是等边三角形，
同理可得△OCD, △OED也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
故选D
【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等
【巩固提升】
选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正八边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点M．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时、点H坐标为，则与0的关系是（ ）

A． B． C． D．无法确定
2．下列图形中，旋转后能与原图形重合的是（　　）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正八边形
3．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
4．已知一个正多边形的中心角为45°，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类数（全等的三角形为同一类）是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，若已知该外接圆的半径是4，则正六边形的面积是（ ）
A． B．24 C． D．
6．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为（ ）

A． B． C．3 D．18
7．下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．利用三角板画的角 B．用直尺画一条线段
C．用直尺和三角板画平行线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
二、填空题
8．如图，多边形为内接正五边形，与相切于点，则 ．

9．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ．
10．一个正多边形每一个中心角都为40°，则这个正多边形共有 条对角线．
11．有一个亭子的地基如图所示，它是一个半径为的正六边形，它的面积是 （保留根号）．

12．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A．
（1）⊙的周长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题
13．如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)求的度数．
14．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标．
15．【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．
【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．
【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．
16．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．

(1)如图1，A为上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出的内接正方形；
(2)我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．如图2，在中，E为的中点，作的中点F．
17．如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，．

(1)求证：是的切线；
(2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________．
18．如图，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点A、C、E、F均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出以为对角线的正方形（字母顺序为逆时针顺序），点B、D在小正方形的顶点上；
(2)在方格纸中画出以为顶角的等腰三角形（非等腰直角三角形），点C在小正方形的格点上，连接，并直接写出线段的长．
参考答案
1．C
【分析】先计算正八边形的中心角为，确定循环节为8，根据规律确定H的最终位置，连接，则，继而判定即判定即可．
【详解】根据题意，得正八边形的中心角为，

第1次旋转点H与点G重合；
第2次旋转点H与点F重合；
第3次旋转点H与点E重合；
第4次旋转点H与点D重合；
第5次旋转点H与点C重合；
第6次旋转点H与点B重合；
第7次旋转点H与点A重合；
第8次旋转点H与点H重合；
故循环节为8，
故第2023次旋转时，，
∴H的最终位置与点A重合，位于第二象限，
连接，
根据题意，得，
故即．
故，
故选C．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角，数字的规律探解，熟练掌握数字规律探解是解题的关键．
2．A
【分析】确定每个图形的中心角，然后根据旋转的性质确定即可．
【详解】解：如图
∵等边三角形的中心角为，
∴旋转后即可与原图形重合；
∵正方形的中心角为，
正五边形的中心角为，
正八边形的中心角为，
∴正方形、正五边形、正八边形旋转后不能与原图形重合．
故选：A．
【点睛】本题考查旋转的性质，确定图形的中心角，理解旋转的性质是解题关键．
3．A
【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数为．
故选：A．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
4．C
【分析】根据中心角的度数可求出圆内接正多边形的边数，再根据等腰三角形的定义和正八边形的性质进行判断即可．
【详解】解：∵一个正多边形的中心角为45°，
∴这个正多边形的边数为8，
如图，以正八边形的顶点为顶点的等腰三角形（全等的三角形为同一类）有△ABC，△ACF，△ACG共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的判定，掌握正多边形与圆的相关计算以及等腰三角形的判定是正确解答的前提．
5．C
【分析】连接、，由正六边形的特点求出判断出的形状，作，由特殊角的三角函数值求出的长，利用三角形的面积公式即可求出的面积，进而可得出正六边形的面积．
【详解】连接、，
六边形是正六边形，
，
，
，
∴是等边三角形，
作交于点，则，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，在本题中，注意正六边形的边长等于半径的特点，进行解题．
6．D
【分析】连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长，即可得到周长．
【详解】解：连接、，如图：

的周长等于，
的半径，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
即正六边形的边长为3，
∴正六边形的周长为18，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于，从而得到是等边三角形．
7．D
【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【详解】A、利用三角板画45 的角不符合尺规作图的定义，错误；
B、用直尺画线段不符合尺规作图的定义，错误；
C、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义，错误；
D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了尺规作图的定义，理解定义是解决问题的关键．
8．/度
【分析】连接，，由多边形是正五边形可求出中心角的度数，再根据三角形内角和即可求出的度数，利用切线的性质求出即可．
【详解】解：连接，，

多边形是正多边形，
，
．
直线与相切于点，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、切线性质；作出适当的辅助线（遇到切线，连接过切点的半径），利用切线性质是解答此题的关键．
9．18
【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案．
【详解】根据正n边形的中心角的度数为，
则，
故这个正多边形的边数为18，
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
10．27
【分析】利用多边形的中心角之和是度，每个中心角都是，可求多边形的边数，再根据一个多边形有条对角线，即可算出共有多少条对角线．
【详解】解：，
这个正多边形有条边；
，
这个正多边形共有条对角线．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正多边形的中心角、对角线条数，解题的关键是掌握n边形对角线条数．
11．/平方米
【分析】证明是等边三角形，求出，求得一个等边三角形的面积即可求得正六边形的面积．
【详解】解：由题意可得：，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
正六边形的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的正多边形和圆，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键．
12． 见解析
【分析】（1）利用勾股定理可得答案；
（2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求．
【详解】（1）∵⊙的半径为：，
∴⊙的周长，
故答案为：
（2）如图：
∵，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是矩形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵过圆心, ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求．
【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型．
13．(1),理由见解析
(2)
【分析】（1）连接，可得，根据切线的定义可得，即可得出结论．
（2）根据正方形的性质可得，，，则．根据点F是的中点，可得．最后根据平行线的性质可得．
【详解】（1）解：．
理由：如图，连接，
∵正方形内接于，
∴．
∵与相切于点D，
∴，即．
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵点F是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形，平行线的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接正多边形的中心角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及平行线的判定和性质．
14．A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）
【分析】过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出结论．
【详解】解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，
∵OE=OD，∠EOD=，
∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°，
∵OE＝2cm，∠OGE＝90°，
∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm，
点E的坐标为（1，），
又由题意知点D的坐标为（2，0），
由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）．
故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）．
【点睛】本题考查了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些性质．
15．【类比探究】四边形的面积=．【拓展应用】6
【分析】类比探究：通过证明可得，则．
拓展应用：通过证明可得，则．
【详解】解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴．
拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴．
∵四边形面积为，
∴正六边形的面积为6．
【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接并延长交于点C，作的中垂线交圆于点B，D，四边形即为所求；
（2）连接交于点O，连接交于点G，连接并延长交于点F，点F即为所求．
【详解】（1）解：如图1，连接并延长交于点C，作的中垂线交圆于点B，D，四边形即为所求；
；
（2）解：如图2，连接交于点O，连接交于点G，连接并延长交于点F，点F即为所求．
．
【点睛】本题是三角形的重心，作图-应用与设计作图，平行四边形的性质，正多边形与圆，解题的关键是掌握圆的有关性质和平行四边形的性质及三角形垂心的性质．
17．(1)见解析
(2)18
【分析】（1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出即可；
（2）得出以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出的长即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
即，
又是半径，
是的切线；
（2）解：连接，

，
以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，
，
以为边的圆内接正六边形的周长为．
【点睛】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提．
18．(1)见详解；
(2)见详解．
【分析】（1）利用数形结合的思想求出正方形的边长即可解决问题；
（2）根据，寻找点G，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：正方形如图所示：
（2）解：以为顶角的等腰三角形如图所示：
．
【点睛】本题考查作图 应用与设计、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
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