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青海省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
一．有理数的加法（共1小题）
1．（2023 青海）计算2+（﹣3）的结果是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
二．实数与数轴（共1小题）
2．（2021 青海）若a＝﹣2，则实数a在数轴上对应的点的位置是（　　）
A．
B．
C．
D．
三．列代数式（共1小题）
3．（2021 青海）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位数是（　　）
A．x+y B．10xy C．10（x+y） D．10x+y
四．同底数幂的除法（共1小题）
4．（2023 青海）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．（2a3）2＝2a6 D．a6÷a3＝a2
五．因式分解-提公因式法（共1小题）
5．（2022 青海）下列运算正确的是（　　）
A．3x2+4x3＝7x5 B．（x+y）2＝x2+y2
C．（2+3x）（2﹣3x）＝9x2﹣4 D．2xy+4xy2＝2xy（1+2y）
六．等式的性质（共1小题）
6．（2022 青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．若＝，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣x＝6，则x＝﹣2
七．根与系数的关系（共1小题）
7．（2022 青海）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
八．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
8．（2023 青海）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为xkm/h．根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
九．点的坐标（共1小题）
9．（2022 青海）如图所示，A（2，0），AB＝3，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　）
A．（3，0） B．（，0） C．（﹣，0） D．（﹣3，0）
一十．函数的图象（共2小题）
10．（2022 青海）2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2021 青海）新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
一十一．反比例函数的定义（共1小题）
12．（2023 青海）生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．酒精浓度越大，心率越高
B．酒精对这种鱼类的心率没有影响
C．当酒精浓度是10%时，心率是168次/分
D．心率与酒精浓度是反比例函数关系
一十二．对顶角、邻补角（共1小题）
13．（2023 青海）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
一十三．同位角、内错角、同旁内角（共1小题）
14．（2022 青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（　　）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
一十四．角平分线的性质（共1小题）
15．（2021 青海）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
一十五．等腰三角形的性质（共1小题）
16．（2021 青海）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
一十六．三角形中位线定理（共1小题）
17．（2022 青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（　　）
A．5 B．4 C．6 D．8
一十七．垂径定理的应用（共1小题）
18．（2021 青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　）
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
一十八．圆周角定理（共1小题）
19．（2023 青海）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点，OC⊥AB，垂足为D．若∠A＝20°，则∠ABC＝（　　）
A．20° B．30° C．35° D．55°
一十九．扇形面积的计算（共1小题）
20．（2021 青海）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　）
A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2
二十．轴对称图形（共1小题）
21．（2023 青海）青海地大物博，风光秀美，素有“大美青海”之美誉．下面四个艺术字中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
二十一．中心对称图形（共1小题）
22．（2022 青海）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
二十二．简单几何体的三视图（共1小题）
23．（2023 青海）下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（　　）
A． B．
C． D．
二十三．简单组合体的三视图（共1小题）
24．（2021 青海）如图所示的几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
青海省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
参考答案与试题解析
一．有理数的加法（共1小题）
1．（2023 青海）计算2+（﹣3）的结果是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
【答案】C
【解答】解：2+（﹣3）＝﹣（3﹣2）＝﹣1．
故选：C．
二．实数与数轴（共1小题）
2．（2021 青海）若a＝﹣2，则实数a在数轴上对应的点的位置是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：∵a＝﹣2＝﹣2+（﹣），
∴只有A选项符合，
故选：A．
三．列代数式（共1小题）
3．（2021 青海）一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位数是（　　）
A．x+y B．10xy C．10（x+y） D．10x+y
【答案】D
【解答】解：一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，这个两位数10x+y．
故选：D．
四．同底数幂的除法（共1小题）
4．（2023 青海）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．（2a3）2＝2a6 D．a6÷a3＝a2
【答案】B
【解答】解：A．a2 a3＝a5，故A不符合题意；
B．（a3）2＝a6，故B符合题意；
C．（2a3）2＝4a6，故C不符合题意；
D．a6÷a3＝a3，故D不符合题意．
故选：B．
五．因式分解-提公因式法（共1小题）
5．（2022 青海）下列运算正确的是（　　）
A．3x2+4x3＝7x5 B．（x+y）2＝x2+y2
C．（2+3x）（2﹣3x）＝9x2﹣4 D．2xy+4xy2＝2xy（1+2y）
【答案】D
【解答】解：A．3x2与4x3不是同类项不能加减，故选项A计算不正确；
B．（x+y）2＝x2+2xy+y2≠x2+y2，故选项B计算不正确；
C．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2≠9x2﹣4，故选项C计算不正确；
D．2xy+4xy2＝2xy（1+2y），故选项D计算正确．
故选：D．
六．等式的性质（共1小题）
6．（2022 青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．若＝，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣x＝6，则x＝﹣2
【答案】A
【解答】解：A、若＝，则a＝b，故A符合题意；
B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、﹣x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；
故选：A．
七．根与系数的关系（共1小题）
7．（2022 青海）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，
所以1+m+3＝0
解得m＝﹣4．
故选：B．
八．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
8．（2023 青海）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为xkm/h．根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵骑车师生的速度为xkm/h，汽车的速度是骑车师生速度的2倍，
∴汽车的速度是2xkm/h，
又∵30min＝h，
∴．
故选：B．
九．点的坐标（共1小题）
9．（2022 青海）如图所示，A（2，0），AB＝3，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　）
A．（3，0） B．（，0） C．（﹣，0） D．（﹣3，0）
【答案】C
【解答】解：∵A（2，0），AB＝3，
∴OA＝2，AC＝AB＝3，
∴OC＝AC﹣OA＝3﹣2＝，
∵点C在x轴的负半轴上，
∴点C的坐标为（﹣，0）．
故选：C．
一十．函数的图象（共2小题）
10．（2022 青海）2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：随着时间的增多，汽车离剧场的距离y（千米）减少，排除A、C、D；
由于途中停车加油耽误了几分钟，此时时间在增多，汽车离剧场的距离y没有变化；
后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．
故选：B．
11．（2021 青海）新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意；
C．此函数图象中，乌龟和兔子同时到达终点，符合题意；
D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意．
故选：C．
一十一．反比例函数的定义（共1小题）
12．（2023 青海）生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．酒精浓度越大，心率越高
B．酒精对这种鱼类的心率没有影响
C．当酒精浓度是10%时，心率是168次/分
D．心率与酒精浓度是反比例函数关系
【答案】C
【解答】解：由图象可知，酒精浓度越大，心率越低，故A错误；
酒精浓度越大，心率越低，酒精对这种鱼类的心率有影响，故B错误；
由图象可知，当酒精浓度是10%时，心率是168次/分，故C正确；
任意取两个点坐标（5%，192），（10%，168），因为192×5%≠168×10%，所以心率与酒精浓度不是反比例函数关系，故D错误．
故选：C．
一十二．对顶角、邻补角（共1小题）
13．（2023 青海）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【解答】解：∵∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝140°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝40°．
故选：A．
一十三．同位角、内错角、同旁内角（共1小题）
14．（2022 青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（　　）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
【答案】D
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
一十四．角平分线的性质（共1小题）
15．（2021 青海）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．
故选：B．
一十五．等腰三角形的性质（共1小题）
16．（2021 青海）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
【答案】D
【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，
∴，
解得：，
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，
∴等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
一十六．三角形中位线定理（共1小题）
17．（2022 青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（　　）
A．5 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB＝＝20．
∵CD为中线，
∴CD＝AB＝10．
∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
则BF＝CD＝5．
故选：A．
一十七．垂径定理的应用（共1小题）
18．（2021 青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　）
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
【答案】A
【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：
∵AB＝16厘米，
∴AD＝AB＝8（厘米），
∵OA＝10厘米，
∴OD＝＝＝6（厘米），
∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，
∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），
故选：A．
一十八．圆周角定理（共1小题）
19．（2023 青海）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点，OC⊥AB，垂足为D．若∠A＝20°，则∠ABC＝（　　）
A．20° B．30° C．35° D．55°
【答案】C
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠ADO＝90°，
∵∠A＝20°，
∴∠AOD＝90°﹣∠A＝70°，
∴∠ABC＝∠AOD＝35°，
故选：C．
一十九．扇形面积的计算（共1小题）
20．（2021 青海）如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　）
A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2
【答案】B
【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积＝＝π（m2）；
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，
则面积＝＝（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m2）．
故选：B．
二十．轴对称图形（共1小题）
21．（2023 青海）青海地大物博，风光秀美，素有“大美青海”之美誉．下面四个艺术字中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
二十一．中心对称图形（共1小题）
22．（2022 青海）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【答案】C
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
二十二．简单几何体的三视图（共1小题）
23．（2023 青海）下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意；
B．圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意；
C．长方体的三视图都是矩形，但3个矩形的长、宽不同，故此选项不符合题意；
D．球的三视图都是圆形，且大小一样，故此选项符合题意．
故选：D．
二十三．简单组合体的三视图（共1小题）
24．（2021 青海）如图所示的几何体的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：该几何体的左视图如图所示：
故选：C．
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青海省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
一．相反数（共1小题）
1．（2022 青海）﹣2022的相反数是 　 　．
二．绝对值（共1小题）
2．（2023 青海）﹣3的绝对值是 　 　．
三．科学记数法—表示较大的数（共3小题）
3．（2023 青海）青藏联网工程东起青海西宁，西至西藏拉萨，被誉为“电力天路”．截至2023年5月“电力天路”已安全运行近12年，累计向西藏送电105.9亿千瓦时，数据105.9亿用科学记数法表示为 　 　．
4．（2022 青海）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“学习强国”平台上线的某天，全国大约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 　 　．
5．（2021 青海）5月11日，第七次人口普查结果发布．数据显示，全国人口共14.1178亿人，同2010年第六次全国人口普查数据相比，我国人口10年来继续保持低速增长态势．其中数据“14.1178亿”用科学记数法表示为 　 　．
四．算术平方根（共1小题）
6．（2021 青海）观察下列各等式：
①；
②；
③；
…
根据以上规律，请写出第5个等式：　 　．
五．估算无理数的大小（共1小题）
7．（2023 青海）写出一个比﹣大且比小的整数　 　．
六．同类项（共1小题）
8．（2021 青海）已知单项式2a4b﹣2m+7与3a2mbn+2是同类项，则m+n＝　 　．
七．规律型：图形的变化类（共1小题）
9．（2022 青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料 　 　根．
八．二次根式有意义的条件（共1小题）
10．（2022 青海）若式子有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
九．一元二次方程的解（共1小题）
11．（2021 青海）已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式m2+m的值等于 　 　．
一十．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
12．（2022 青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 　 　．
一十一．解一元一次不等式组（共1小题）
13．（2021 青海）已知点A（2m﹣5，6﹣2m）在第四象限，则m的取值范围是 　 　．
一十二．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
14．（2022 青海）不等式组的所有整数解的和为 　 　．
一十三．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
15．（2023 青海）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是 　 　．
一十四．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
16．（2021 青海）已知点A（﹣1，y1）和点B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1与y2的大小关系是 　 　．
一十五．反比例函数的应用（共1小题）
17．（2022 青海）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1．如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为P1，P2，P3，压强的计算公式为P＝，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则P1，P2，P3的大小关系为 　 　（用小于号连接）．
一十六．平行线的性质（共1小题）
18．（2021 青海）如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，∠1＝50°，则∠2的度数是 　 　．
一十七．线段垂直平分线的性质（共2小题）
19．（2023 青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是 　 　．
20．（2022 青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 　 　．
一十八．三角形中位线定理（共1小题）
21．（2021 青海）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为 　 　．
一十九．平行四边形的性质（共1小题）
22．（2021 青海）如图，在 ABCD中，对角线BD＝8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3cm，BC＝4cm，则AD与BC之间的距离为 　 　．
二十．矩形的性质（共1小题）
23．（2022 青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　．
二十一．垂径定理（共1小题）
24．（2022 青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 　 　m．
二十二．点与圆的位置关系（共1小题）
25．（2021 青海）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 　 　．
二十三．切线的性质（共1小题）
26．（2023 青海）如图，MN是⊙O的切线，M是切点，连接OM，ON．若∠N＝37°，则∠MON的度数是 　 　．
二十四．弧长的计算（共1小题）
27．（2022 青海）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 　 　cm．
二十五．扇形面积的计算（共1小题）
28．（2023 青海）如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是 　 　（结果保留π）．
二十六．轴对称-最短路线问题（共1小题）
29．（2021 青海）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 　 　．
二十七．坐标与图形变化-平移（共1小题）
30．（2023 青海）在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是 　 　．
二十八．旋转对称图形（共1小题）
31．（2021 青海）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为 　 　cm2．
二十九．由三视图判断几何体（共1小题）
32．（2022 青海）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 　 　．
青海省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
参考答案与试题解析
一．相反数（共1小题）
1．（2022 青海）﹣2022的相反数是 　2022　．
【答案】2022．
【解答】解：﹣2022的相反数是：2022．
故答案为：2022．
二．绝对值（共1小题）
2．（2023 青海）﹣3的绝对值是 　3　．
【答案】3．
【解答】解：|﹣3|＝3．
故答案为：3．
三．科学记数法—表示较大的数（共3小题）
3．（2023 青海）青藏联网工程东起青海西宁，西至西藏拉萨，被誉为“电力天路”．截至2023年5月“电力天路”已安全运行近12年，累计向西藏送电105.9亿千瓦时，数据105.9亿用科学记数法表示为 　1.059×1010　．
【答案】1.059×1010．
【解答】解：105.9亿＝10590000000＝1.059×1010．
故答案为：1.059×1010．
4．（2022 青海）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“学习强国”平台上线的某天，全国大约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 　1.246×108　．
【答案】1.246×108．
【解答】解：124600000＝1.246×108．
故答案为：1.246×108．
5．（2021 青海）5月11日，第七次人口普查结果发布．数据显示，全国人口共14.1178亿人，同2010年第六次全国人口普查数据相比，我国人口10年来继续保持低速增长态势．其中数据“14.1178亿”用科学记数法表示为 　1.41178×109　．
【答案】1.41178×109．
【解答】解：14.1178亿
＝14.1178×108
＝1.41178×109，
故答案为：1.41178×109．
四．算术平方根（共1小题）
6．（2021 青海）观察下列各等式：
①；
②；
③；
…
根据以上规律，请写出第5个等式：　6＝　．
【答案】6＝．
【解答】解：第5个等式，等号左边根号外面是6，被开方数的分子也是6，分母是62﹣1，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根，
故答案为：6＝．
五．估算无理数的大小（共1小题）
7．（2023 青海）写出一个比﹣大且比小的整数　﹣1（或0或1）　．
【答案】﹣1（或0或1）．
【解答】解：∵1＜2＜4，
∴，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，
∴比﹣大且比小的整数有﹣1，0，1．
故答案为：﹣1（或0或1）．
六．同类项（共1小题）
8．（2021 青海）已知单项式2a4b﹣2m+7与3a2mbn+2是同类项，则m+n＝　3　．
【答案】3．
【解答】解：根据同类项的定义得：，
∴，
∴m+n＝2+1＝3，
故答案为：3．
七．规律型：图形的变化类（共1小题）
9．（2022 青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料 　　根．
【答案】．
【解答】解：由图可知：
第一个图形有木料1根，
第二个图形有木料1+2＝3（根），
第三个图形有木料1+2+3＝6（根），
第四个图形有木料1+2+3+4＝10（根），
.....．
第n个图有木料1+2+3+4+......+n＝（根），
故答案为：．
八．二次根式有意义的条件（共1小题）
10．（2022 青海）若式子有意义，则实数x的取值范围是 　x＞1　．
【答案】x＞1．
【解答】解：由题意得x﹣1＞0，
解得x＞1，
故答案为：x＞1．
九．一元二次方程的解（共1小题）
11．（2021 青海）已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式m2+m的值等于 　6　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：将x＝m代入方程x2+x﹣6＝0，
得m2+m﹣6＝0，
即m2+m＝6，
故答案为：6．
一十．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
12．（2022 青海）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 　（11﹣2x）（7﹣2x）＝21　．
【答案】（11﹣2x）（7﹣2x）＝21．
【解答】解：由题意可得：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，
故答案为：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21．
一十一．解一元一次不等式组（共1小题）
13．（2021 青海）已知点A（2m﹣5，6﹣2m）在第四象限，则m的取值范围是 　m＞3　．
【答案】m＞3．
【解答】解：∵A（2m﹣5，6﹣2m）在第四象限，
∴，
解得m＞3，
故答案为：m＞3．
一十二．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
14．（2022 青海）不等式组的所有整数解的和为 　0　．
【答案】0．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣2，
由②得x＜3，
∴﹣2≤x＜3，
x可取的整数有：﹣2，﹣1，0，1，2；
∴所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1+2＝0，
故答案为：0．
一十三．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
15．（2023 青海）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是 　10　．
【答案】10．
【解答】解：由题知，这组直线是平行直线，每条直线与x轴交点的横坐标依次是2，4，6...，
∴第5条直线与x轴的交点的横坐标是10．
故答案为：10．
一十四．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
16．（2021 青海）已知点A（﹣1，y1）和点B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1与y2的大小关系是 　y1＜y2　．
【答案】y1＜y2．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝6＞0，
∴此函数在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1）和点B（﹣4，y2）在反比例函数y＝的图象上，﹣1＞﹣4，
∴y1＜y2，
故答案为y1＜y2．
一十五．反比例函数的应用（共1小题）
17．（2022 青海）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1．如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为P1，P2，P3，压强的计算公式为P＝，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则P1，P2，P3的大小关系为 　P1＜P2＜P3　（用小于号连接）．
【答案】P1＜P2＜P3．
【解答】解：∵P＝，F＞0，
∴P随S的增大而减小，
∵A，B，C三个面的面积比是5：3：1，
∴P1，P2，P3的大小关系是：P1＜P2＜P3，
故答案为：P1＜P2＜P3．
一十六．平行线的性质（共1小题）
18．（2021 青海）如图，AB∥CD，EF⊥DB，垂足为点E，∠1＝50°，则∠2的度数是 　40°　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在△DEF中，∠1＝50°，∠DEF＝90°，
∴∠D＝180°﹣∠DEF﹣∠1＝40°．
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠D＝40°．
故答案为：40°．
一十七．线段垂直平分线的性质（共2小题）
19．（2023 青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是 　13　．
【答案】13．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线．
∴BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝AD+BD，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，
故答案为：13．
20．（2022 青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 　40°　．
【答案】40°．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，
∴∠EAC＝∠C＝40°，
故答案为：40°．
一十八．三角形中位线定理（共1小题）
21．（2021 青海）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为 　20　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵点D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点，
∴EF、DE、DF为△ABC的中位线，
∴EF＝AB，DF＝BC，DE＝AC，
∴AB＝2EF，BC＝2DF，AC＝2DE，
∵△DEF的周长为10，
∴EF+DE+DF＝10，
∴2EF+2DE+2DF＝20，
∴AB+BC+AC＝20，
∴△ABC的周长为20．
故答案为：20．
一十九．平行四边形的性质（共1小题）
22．（2021 青海）如图，在 ABCD中，对角线BD＝8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3cm，BC＝4cm，则AD与BC之间的距离为 　6cm　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
在△ABD和△BCD中
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∵AE⊥BD，AE＝3cm，BD＝8cm，
∴S△ABD＝BD AE＝×8×3＝12（cm2），
∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝24cm2，
设AD与BC之间的距离为h，
∵BC＝4cm，
∴S四边形ABCD＝BC h＝4h，
∴4h＝24，
解得h＝6cm，
故答案为：6cm．
二十．矩形的性质（共1小题）
23．（2022 青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 　6　．
【答案】6．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，
∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO；
又∵∠AOE＝∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，
∵S△BCD＝BC CD＝＝6，
∴S阴影＝6．
故答案为6．
二十一．垂径定理（共1小题）
24．（2022 青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 　　m．
【答案】．
【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，
∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，
∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，
在Rt△AOC中，∵OA＝rm，OC＝（6﹣r）m，
∴22+（6﹣r）2＝r2，
解得r＝，
即⊙O的半径长为m．
故答案为：．
二十二．点与圆的位置关系（共1小题）
25．（2021 青海）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 　6.5cm或2.5cm　．
【答案】6.5cm或2.5cm．
【解答】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝4+9＝13（cm），
∴半径r＝6.5cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝9﹣4＝5（cm），
∴半径r＝2.5cm．
综上所述，圆O的半径为6.5cm或2.5cm．
故答案为：6.5cm或2.5cm．
二十三．切线的性质（共1小题）
26．（2023 青海）如图，MN是⊙O的切线，M是切点，连接OM，ON．若∠N＝37°，则∠MON的度数是 　53°　．
【答案】53°．
【解答】解：∵MN是⊙O的切线，M是切点，
∴∠OMN＝90°，
∵∠N＝37°，
∴∠MON＝90°﹣∠N＝53°，
故答案为：53°．
二十四．弧长的计算（共1小题）
27．（2022 青海）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 　20π　cm．
【答案】20π．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，当扇形的半径为OE时扇形OCD最大，
∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OE＝OA＝30cm，
∴弧CD的长＝＝20πcm，
故答案为：20π．
二十五．扇形面积的计算（共1小题）
28．（2023 青海）如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是 　16﹣4π　（结果保留π）．
【答案】16﹣4π．
【解答】解：由图得，阴影面积＝正方形面积﹣4扇形面积，
即阴影面积＝正方形面积﹣圆的面积，
∴S阴影＝42﹣π 22＝16﹣4π．
故答案为：16﹣4π．
二十六．轴对称-最短路线问题（共1小题）
29．（2021 青海）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 　10　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN+MN＝BN+MN，
连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN+MN＝BP+PM＝BM，
BN+MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN+MN的最小值是10．
故答案为：10．
二十七．坐标与图形变化-平移（共1小题）
30．（2023 青海）在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是 　（2，2）　．
【答案】（2，2）．
【解答】解：点（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是（﹣1+3，2），即（2，2）．
故答案为：（2，2）．
二十八．旋转对称图形（共1小题）
31．（2021 青海）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为 　4　cm2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，
而∠AOB为120°，
∴图中阴影部分的面积之和＝（4+4+4）＝4（cm2）．
故答案为4．
二十九．由三视图判断几何体（共1小题）
32．（2022 青海）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 　5　．
【答案】5．
【解答】解：由三视图可得，构成这个几何体的小正方体的个数是：1+2+1+1＝5．如图：
故答案为：5．
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青海省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．二次函数综合题（共3小题）
1．（2023 青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
2．（2022 青海）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB＝6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨）
3．（2021 青海）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；
（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝时，求P点的坐标．
二．三角形综合题（共1小题）
4．（2022 青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：
如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；
（2）解决问题：
如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．
三．圆的综合题（共2小题）
5．（2023 青海）综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的．为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．
（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝120°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图2中计算C到BD的距离d1．
（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝90°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图4中计算C到BD的距离d2（结果保留根号）．
（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角∠BAD＝　 　．
此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），在图6中计算C到BD的距离d3＝　 　（结果保留根号）．
（4）归纳推理：比较d1，d2，d3大小：　 　，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离 　 　（填“越大”或“越小”）．
（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d＝　 　.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．
6．（2022 青海）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的长．
四．作图—基本作图（共1小题）
7．（2023 青海）如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AB＝AC，CF∥BE．
（1）尺规作图：作∠CAE的平分线，交CF于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2021 青海）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．
（1）求证：△BGD∽△DMA；
（2）求证：直线MN是⊙O的切线．
六．解直角三角形的应用（共2小题）
9．（2023 青海）为了方便观测动物的活动情况，某湿地公园要铺设一段道路．计划从图中A，C两处分别向B处铺设，现测得AB＝1000m，∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，求B，C两点间的距离．（结果取整数，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）
10．（2021 青海）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，≈1.4）
七．列表法与树状图法（共2小题）
11．（2023 青海）为更好引导和促进旅游业恢复发展，深入推动大众旅游，文化和旅游部决定开展2023年“5 19中国旅游日”活动．青海省某旅行社为了解游客喜爱的旅游景区的情况，对“五一”假期期间的游客去向进行了随机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图，请根据图1，图2中所给的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是 　 　；
（2）将图1中的条形统计图补充完整；
（3）根据抽样调查结果，“五一”假期期间这四个景区共接待游客约19万人，请估计前往青海湖景区的游客约有多少万人；
（4）若甲、乙两名游客从四个景区中任选一个景区旅游，请用树状图或列表法求出他们选择同一景区的概率．
12．（2022 青海）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 a 7
中位数 8 b
优秀率 80% 60%
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
青海省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共3小题）
1．（2023 青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）；
（3）M（﹣1，1）．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，
连接OP，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
∴PQ＝4，OQ＝1，
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x1＝1，x2＝﹣3，
∴OA＝3，
∴S四边形AOBP＝S△AOP+S△BOP＝＝＝；
（3）设M（﹣1，m），
由AM2＝BM2得，
[（﹣3）﹣（﹣1）]2+m2＝（﹣1）2+（m﹣3）2，
∴m＝1，
∴M（﹣1，1）．
2．（2022 青海）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB＝6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（请在图2中探讨）
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）EF＝2；
（3）存在，点P的坐标为（1﹣，3）或（1+，3）或（0，﹣3）或（2，﹣3）．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得：，解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线的顶点F的坐标为（1，﹣4），抛物线的对称轴为直线x＝1．
当x＝0时，y＝02﹣2×0﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝mx+n，
得：，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，
∴点E的坐标为（1，﹣2），
∴EF＝|﹣2﹣（﹣4）|＝2．
（3）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AB＝|3﹣（﹣1）|＝4．
设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3）．
∵S△PAB＝6，
∴×4×|t2﹣2t﹣3|＝6，
即t2﹣2t﹣3＝3或t2﹣2t﹣3＝﹣3，
解得：t1＝1﹣，t2＝1+，t3＝0，t4＝2，
∴存在满足S△PAB＝6的点P，点P的坐标为（1﹣，3）或（1+，3）或（0，﹣3）或（2，﹣3）．
3．（2021 青海）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集；
（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝时，求P点的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；
（2）﹣2＜x＜0；
（3）（﹣1，2）或（﹣﹣1，﹣）或（﹣1，）．
【解答】解：（1）当x＝0，y＝0+2＝2，
当y＝0时，x+2＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
把A（﹣2，0），C（1，0），B（0，2）代入抛物线解析式，
得，
解得，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；
（2）方法一：ax2+（b﹣1 ）x+c＞2，
即﹣x2﹣2x+2＞2，
当函数y＝﹣x2﹣2x+2＝2时，
解得x＝0或x＝﹣2，
由图象知，当﹣2＜x＜0时函数值大于2，
∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；
方法二：ax2+（b﹣1 ）x+c＞2，
即﹣x2﹣x+2＞x+2，
观察函数图象可知当﹣2＜x＜0时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+2的函数值，
∴不等式ax2+（b﹣1 ）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；
（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，作PQ⊥AB于Q，
①如图1，当P在AB上方时，
在Rt△OAB中，
∵OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝45°，
∴∠PDQ＝∠ADE＝45°，
在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，
∴PQ＝DQ＝，
∴PD＝＝1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），
∴PD＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，
即﹣x2﹣2x＝1，
解得x＝﹣1，
∴此时P点的坐标为（﹣1，2），
②如图2，当P点在A点左侧时，
同理①可得PD＝1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），
∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，
即x2+2x＝1，
解得x＝±﹣1，
由图象知此时P点在第三象限，
∴x＝﹣﹣1，
∴此时P点的坐标为（﹣﹣1，﹣），
③如图3，当P点在B点右侧时，
在Rt△OAB中，
∵OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝45°，
∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°，
在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，
∴PQ＝DQ＝，
∴PD＝＝1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），
∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，
即x2+2x＝1，
解得x＝±﹣1，
由图象知此时P点在第一象限，
∴x＝﹣1，
∴此时P点的坐标为（﹣1，），
综上，P点的坐标为（﹣1，2）或（﹣﹣1，﹣）或（﹣1，）．
二．三角形综合题（共1小题）
4．（2022 青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
（1）问题发现：
如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；
（2）解决问题：
如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由见解答过程．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由如下：
如图：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝90°＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME，
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM，
∴DE＝2CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
三．圆的综合题（共2小题）
5．（2023 青海）综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的．为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．
（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝120°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图2中计算C到BD的距离d1．
（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝90°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图4中计算C到BD的距离d2（结果保留根号）．
（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角∠BAD＝　60°　．
此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），在图6中计算C到BD的距离d3＝　2﹣　（结果保留根号）．
（4）归纳推理：比较d1，d2，d3大小：　d1＞d2＞d3　，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离 　越小　（填“越大”或“越小”）．
（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d＝　0　.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．
【答案】（1）1；
（2）2﹣；
（3）2﹣；
（4）d1＞d2＞d3，越小；
（5）0．
【解答】解：（1）图1，
∵AB＝AD＝2，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠CAD＝，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴d1＝CE＝AC＝1；
（2）如图2，
∵AB＝AD，AC⊥BD，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AE＝AB sin∠ABD＝2×＝，
∴d2＝CE＝AC﹣AE＝2；
（3）如图3，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
在Rt△ABE中，
AE＝AB sin∠ABD＝2 sin60°＝，
∴d3＝AC﹣AE＝2﹣，
故答案为：60°，2﹣；
（4）∵1＞2﹣＞2﹣，
∴d1＞d2＞d3，越小；
故答案为：d1＞d2＞d3；
（5）∵圆的半径相等，
∴d＝0，
故答案为：0．
6．（2022 青海）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）BE的长为2．
【解答】（1）证明：连接OD，如图：
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠FAD＝∠ODA，
∴OD∥AF，
∵EF是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴OD⊥EF，
∴AF⊥EF；
（2）解：连接CO并延长交⊙O于K，连接DK，DC，如图：
∵CK是⊙O的直径，
∴∠CDK＝90°，
∴∠K+∠DCK＝90°，
∵OD⊥EF，
∴∠ODF＝90°，即∠ODC+∠CDF＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠DCK＝∠ODC，
∴∠K＝∠CDF，
∵＝，
∴∠FAD＝∠K，
∴∠FAD＝∠CDF，
∵∠F＝∠F，
∴△FAD∽△FDC，
∴＝，
∵CF＝1，AC＝2，
∴FA＝CF+AC＝3，
∴＝，
解得FD＝，
在Rt△AFD中，tan∠FAD＝＝，
∴∠FAD＝30°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAE＝2∠FAD＝60°，
∴AE＝＝＝6，
∵AB＝4，
∴BE＝AE﹣AB＝6﹣4＝2，
答：BE的长为2．
四．作图—基本作图（共1小题）
7．（2023 青海）如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AB＝AC，CF∥BE．
（1）尺规作图：作∠CAE的平分线，交CF于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】（1）作图见解答；
（2）证明过程见解答．
【解答】（1）解：如图，AD为所作；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AD平分∠CAE，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵∠CAE＝∠B+∠ACB，
即∠CAD+∠EAD＝∠B+∠ACB，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2021 青海）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．
（1）求证：△BGD∽△DMA；
（2）求证：直线MN是⊙O的切线．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵MN⊥AC，BG⊥MN，
∴∠BGD＝∠DMA＝90°，
∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，
∴∠ADM+∠CDM＝90°，
∵∠DBG+∠BDG＝90°，∠CDM＝∠BDG，
∴∠DBG＝∠ADM，
∴△BGD∽△DMA；
（2）连接OD．
∴BO＝OA，BD＝DC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又∵MN⊥AC，
∴OD⊥MN，
∴直线MN是⊙O的切线．
六．解直角三角形的应用（共2小题）
9．（2023 青海）为了方便观测动物的活动情况，某湿地公园要铺设一段道路．计划从图中A，C两处分别向B处铺设，现测得AB＝1000m，∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，求B，C两点间的距离．（结果取整数，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）
【答案】B，C两点间的距离约为2083m．
【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，
∵∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝14°，
在Rt△ABD中，AB＝1000m，
∴BD＝AB＝500（m），
在Rt△BDC中，BC＝≈≈2083（m），
∴B，C两点间的距离约为2083m．
10．（2021 青海）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，≈1.4）
【答案】1.4米．
【解答】解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，
∵AB＝CD，AB+CD＝AD＝2，
∴AB＝CD＝1，
在Rt△ABE中，∠A＝35°，AB＝1，
∴BE＝AB sinA＝1×sin35°≈0.6，
∴AE＝AB cosA＝1×cos35°≈0.8，
在Rt△CDF中，∠D＝45°，CD＝1，
∴CF＝CD sinD＝1×sin45°≈0.7，
∴DF＝CD cosD＝1×cos45°≈0.7，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE＝CM，
∴四边形BEMC是平行四边形，
∴BC＝EM，
在Rt△MEF中，FM＝CF+CM＝1.3，EF＝AD﹣AE﹣FD＝0.5，
∴EM＝＝≈1.4（米），
答：B与C之间的距离约为1.4米．
七．列表法与树状图法（共2小题）
11．（2023 青海）为更好引导和促进旅游业恢复发展，深入推动大众旅游，文化和旅游部决定开展2023年“5 19中国旅游日”活动．青海省某旅行社为了解游客喜爱的旅游景区的情况，对“五一”假期期间的游客去向进行了随机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图，请根据图1，图2中所给的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是 　200　；
（2）将图1中的条形统计图补充完整；
（3）根据抽样调查结果，“五一”假期期间这四个景区共接待游客约19万人，请估计前往青海湖景区的游客约有多少万人；
（4）若甲、乙两名游客从四个景区中任选一个景区旅游，请用树状图或列表法求出他们选择同一景区的概率．
【答案】（1）200；
（2）见解答；
（3）6.65万；
（4）．
【解答】解；（1）此次抽样调查的样本容量为50÷25%＝200；
故答案为：200；
（2）B组的人数为200﹣70﹣20﹣50＝60（人），
条形统计图补充为：
（3）19×＝6.65（万），
所以估计前往青海湖景区的游客约有6.65万人；
（4）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中两人选择同一景区的结果数为4，
所以他们选择同一景区的概率＝＝．
12．（2022 青海）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 a 7
中位数 8 b
优秀率 80% 60%
（1）填空：a＝　8　，b＝　8　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【答案】（1）8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由见解析；
（3）700人；
（4）．
【解答】解：（1）由众数的定义得：a＝8，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），
故答案为：8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）500×80%+500×60%＝700（人），
即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；
（4）把七年级获得10分的学生记为A，八年级获得10分的学生记为B，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，
∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为＝．
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青海省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 青海）计算：+2﹣1+20230﹣sin30°．
二．分式的化简求值（共2小题）
2．（2023 青海）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝+1．
3．（2021 青海）先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a＝．
三．解一元二次方程-公式法（共1小题）
4．（2023 青海）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：
（1）解不等式组：；
（2）当m取（1）的一个整数解时，解方程x2﹣2x﹣m＝0．
四．解分式方程（共1小题）
5．（2022 青海）解方程：﹣1＝．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
6．（2023 青海）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1和反比例函数y＝的图象如图所示．
（1）求一次函数的解析式；
（2）当x＞0时，直接写出不等式kx+1＞的解集．
六．菱形的性质（共1小题）
7．（2022 青海）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．
（1）求证：△DCE≌△BCE；
（2）求证：∠AFD＝∠EBC．
七．作图—基本作图（共1小题）
8．（2021 青海）如图，DB是 ABCD的对角线．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段BD的垂直平分线EF，交AB，DB，DC分别于E，O，F，连接DE，BF（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）试判断四边形DEBF的形状并说明理由．
八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
9．（2021 青海）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用如下方法：
操作感知：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1 ）．
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN （如图2）．
猜想论证：
（1）若延长MN交BC于点P，如图3所示，试判定△BMP的形状，并证明你的结论．
拓展探究：
（2）在图3中，若AB＝a，BC＝b，当a，b满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD中剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？
九．解直角三角形的应用（共1小题）
10．（2022 青海）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
一十．列表法与树状图法（共1小题）
11．（2021 青海）为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
月平均用水量（吨） 3 4 5 6 7
频数（户数） 4 a 9 10 7
频率 0.08 0.40 b c 0.14
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是 　 　，众数是 　 　，中位数是 　 　．
（3）根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？
（4）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率，并列出所有等可能的结果．
青海省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 青海）计算：+2﹣1+20230﹣sin30°．
【答案】2+1．
【解答】解：原式＝2+1
＝2+1．
二．分式的化简求值（共2小题）
2．（2023 青海）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝+1．
【答案】x﹣1，．
【解答】解：÷（1+）
＝
＝
＝x﹣1，
当x＝+1时，
原式＝．
3．（2021 青海）先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a＝．
【答案】，1+．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝
＝，
当a＝+1时，
原式＝
＝
＝
＝1+．
三．解一元二次方程-公式法（共1小题）
4．（2023 青海）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：
（1）解不等式组：；
（2）当m取（1）的一个整数解时，解方程x2﹣2x﹣m＝0．
【答案】（1）1＜x＜4；
（2）x1＝1+，x2＝1﹣（答案不唯一）．
【解答】解：（1）由①得，x＜4，由②得，x＞1，
故不等式组的解集为：1＜x＜4；
（2）由（1）知1＜x＜4，
∴令m＝2，
则方程变为x2﹣2x﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12，
∴x＝＝＝1±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣（答案不唯一）．
四．解分式方程（共1小题）
5．（2022 青海）解方程：﹣1＝．
【答案】x＝4．
【解答】解：﹣1＝，
﹣1＝，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0，
∴x＝4是原方程的根．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
6．（2023 青海）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1和反比例函数y＝的图象如图所示．
（1）求一次函数的解析式；
（2）当x＞0时，直接写出不等式kx+1＞的解集．
【答案】（1）y＝x+1；
（2）x＞1．
【解答】解：（1）由图象知，
一次函数与反比例函数的一个交点的横坐标为1，且反比例函数表达式为，
则交点的纵坐标为2．
将（1，2）代入y＝kx+1得，k＝1．
所以一次函数的解析式为：y＝x+1．
（2）当x＞0，即图象在y轴的右侧，
观察图象发现：当图象在直线x＝1的右侧时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
所以不等式kx+1＞的解集为：x＞1．
六．菱形的性质（共1小题）
7．（2022 青海）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．
（1）求证：△DCE≌△BCE；
（2）求证：∠AFD＝∠EBC．
【答案】（1）见解答过程；
（2）见解答过程．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，
∵CE＝CE，
∴△DCE≌△BCE（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AF，
∴∠CDF＝∠AFD，
∵△DCE≌△BCE，
∴∠CDF＝∠EBC，
∴∠AFD＝∠EBC．
七．作图—基本作图（共1小题）
8．（2021 青海）如图，DB是 ABCD的对角线．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段BD的垂直平分线EF，交AB，DB，DC分别于E，O，F，连接DE，BF（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）试判断四边形DEBF的形状并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，EF、DE、BF为所作；
（2）四边形DEBF为菱形．
理由如下：如图，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，FB＝FD，OB＝OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠FDB＝∠EBD，
在△ODF和△OBE中，
，
∴△ODF≌△OBE（ASA），
∴DF＝BE，
∴DE＝EB＝BF＝DF，
∴四边形DEBF为菱形．
八．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
9．（2021 青海）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用如下方法：
操作感知：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1 ）．
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN （如图2）．
猜想论证：
（1）若延长MN交BC于点P，如图3所示，试判定△BMP的形状，并证明你的结论．
拓展探究：
（2）在图3中，若AB＝a，BC＝b，当a，b满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD中剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？
【答案】（1）△BMP是等边三角形，理由见解析过程；
（2）b≥a．
【解答】解：（1）△BMP是等边三角形，
理由如下：如图3，连接AN，
由折叠的性质可得AE＝BE，EF⊥AB，AB＝BN，∠ABM＝∠NBM，∠BAM＝∠BNM＝90°，
∴AN＝BN，
∴AN＝BN＝AB，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠ABN＝60°，
∴∠ABM＝∠NBM＝30°＝∠PBN，
∴∠BMN＝∠BPM＝60°，
∴△BMP是等边三角形；
（2）∵AB＝a，∠ABM＝30°，
∴BM＝＝a，
∵△BMP是等边三角形，
∴BP＝BM＝a，
∵在矩形纸片ABCD中剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP，
∴BC≥BP，
∴b≥a．
九．解直角三角形的应用（共1小题）
10．（2022 青海）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【答案】24．
【解答】解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E，
∵AB∥CD，
∴四边形AECF是矩形，
∵∠BCD＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，
∴BE＝BC＝4，CE＝BC＝4，
∵∠ADC＝135°，
∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝AF＝CE＝4，
由于FC＝AE，即4+2＝AB+4，
∴AB＝4﹣2，
∴S梯形ABCD＝（2+4﹣2）×4＝24，
答：垂尾模型ABCD的面积为24．
一十．列表法与树状图法（共1小题）
11．（2021 青海）为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
月平均用水量（吨） 3 4 5 6 7
频数（户数） 4 a 9 10 7
频率 0.08 0.40 b c 0.14
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：a＝　20　，b＝　0.18　，c＝　0.20　．
（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是 　4.92　，众数是 　4　，中位数是 　5　．
（3）根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？
（4）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率，并列出所有等可能的结果．
【答案】（1）20，0.18，0.20；
（2）4.92，4，5；
（3）132户；
（4），所有等可能的结果分别为（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，丁）（丁，甲）、（丁，乙）、（丁，丙）．
【解答】解：（1）抽查的户数为：4÷0.08＝50（户），
∴a＝50×0.40＝20，b＝9÷50＝0.18，c＝10÷50＝0.20，
故答案为：20，0.18，0.20；
（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数＝＝4.92（吨），
众数是4吨，中位数为＝5（吨），
故答案为：4.92，4，5；
（3）∵4+20+9＝33（户），
∴估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有：200×＝132（户）；
（4）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选到甲、丙两户的结果有2种，
∴恰好选到甲、丙两户的概率为＝，所有等可能的结果分别为（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，丁）、（丁，甲）、（丁，乙）、（丁，丙）．
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