资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类
一．二次函数综合题（共3小题）
1．（2022 陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴的交点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．
2．（2021 陕西）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2021 陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P关于x轴对称．在该抛物线上，是否存在点D、E、F，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在，求点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
二．全等三角形的判定与性质（共1小题）
4．（2023 陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．
三．三角形综合题（共1小题）
5．（2022 陕西）问题提出
（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为 　 　．
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．
问题解决
（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；
②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；
③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．
请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．
四．四边形综合题（共1小题）
6．（2022 陕西）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4．若点P是边AC上一点，则BP的最小值为 　 　；
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，点E是BC的中点．若点P是边AC上一点，试求PB+PE的最小值；
问题解决
（3）某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知AD＝2000米，CD＝1000米，∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝150°．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此时BE，DF的长．（路面宽度忽略不计）
五．圆的综合题（共1小题）
7．（2021 陕西）问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4．求BC+CD的值．
问题解决：
（2）有一个直径为30cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小，试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值，及此时OA的长；若不存在，请说明理由．
六．作图—复杂作图（共1小题）
8．（2023 陕西）如图．已知锐角△ABC，∠B＝48°，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P．使PB＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作图痕迹，不写作法）
七．列表法与树状图法（共1小题）
9．（2023 陕西）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3．这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 　 　；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共3小题）
1．（2022 陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴的交点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）如图：
∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，
∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，
在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵△PMN和△OBC相似，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，
∴∠MPN＝90°，PM＝PN，
设P（m，m2﹣m﹣4），
∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，
∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，
解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，
∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，
∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．
2．（2021 陕西）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）B（4，0），C（0，8）；
（2）P（0，16）或P（0，）．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+8，
取x＝0，得y＝8，
∴C（0，8），
取y＝0，得﹣x2+2x+8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴B（4，0）；
（2）存在点P，设P（0，y），
∵CC'∥OB，且PC与PO是对应边，
∴，
即：，
解得：y1＝16，，
∴P（0，16）或P（0，）．
3．（2021 陕西）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0）和点B，与y轴交于点C（0，5），它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）若点P（m，2）在l上，点P′与点P关于x轴对称．在该抛物线上，是否存在点D、E、F，使四边形P′DEF与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′？若存在，求点D、E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+6x+5，B（﹣1，0）；
（2）抛物线上存在D（﹣4，﹣3），E（﹣3，﹣4），F（﹣2，﹣3），使四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′．
【解答】解：（1）∵A（﹣5，0）、C（0，5）在抛物线y＝x2+bx+c上，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2+6x+5，
令y＝0得x＝﹣1或x＝﹣5，
∴B（﹣1，0）；
（2）存在，理由如下：
延长AP'交抛物线于F，延长BP'交抛物线于D，对称轴交抛物线于E，如图：
由y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4知：E（﹣3，﹣4），抛物线对称轴为直线x＝﹣3，
∵点P（m，2）在对称轴直线l上，
∴P（﹣3，2），
∵点P′与点P关于x轴对称，
∴P'（﹣3，﹣2），
∴PP'＝4，P'E＝2，
由A（﹣5，0），P'（﹣3，﹣2）可得直线AP'为y＝﹣x﹣5，
解得或，
∴F（﹣2，﹣3），
∴AP'＝＝2，P'F＝＝，
由B（﹣1，0）、P'（﹣3，﹣2）可得直线BP'为y＝x+1，
解得或，
∴D（﹣4，﹣3），
∴BP'＝＝2，P'D＝＝，
∴＝＝＝2，
由位似图形定义知，四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′，
∴抛物线上存在D（﹣4，﹣3），E（﹣3，﹣4），F（﹣2，﹣3），使四边形P'FED与四边形P′BPA位似，且位似中心是P′．
二．全等三角形的判定与性质（共1小题）
4．（2023 陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．
【答案】见解析．
【解答】证明：在△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．
∵AE⊥BC．
∴∠AEC＝90°．
∴∠DAF＝∠AEC+∠C＝110°，
∴∠DAF＝∠CAB．
在△DAF和△CAB中，
，
∴△DAF≌△CAB（SAS）．
∴DF＝CB．
三．三角形综合题（共1小题）
5．（2022 陕西）问题提出
（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为 　75°　．
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．
问题解决
（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；
②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；
③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．
请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．
【答案】（1）75°；
（2）；
（3）符合要求，证明见解答过程．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的中线，
∴∠PAC＝∠BAC＝30°，
∵AP＝AC，
∴∠APC＝×（180°﹣30°）＝75°，
故答案为：75°；
（2）如图2，连接PB，
∵AP∥BC，AP＝BC，
∴四边形PBCA为平行四边形，
∵CA＝CB，
∴平行四边形PBCA为菱形，
∴PB＝AC＝6，∠PBC＝180°﹣∠C＝60°，
∴BE＝PB cos∠PBC＝3，PE＝PB sin∠PBC＝3，
∵CA＝CB，∠C＝120°，
∴∠ABC＝30°，
∴OE＝BE tan∠ABC＝，
∴S四边形OECA＝S△ABC﹣S△OBE
＝×6×3﹣×3×
＝；
（3）符合要求，
理由如下：如图3，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，两条平行线交于点F，
∵CA＝CD，∠DAC＝45°，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形FDCA为正方形，
∵PE是CD的垂直平分线，
∴PE是AF的垂直平分线，
∴PF＝PA，
∵AP＝AC，
∴PF＝PA＝AF，
∴△PAF为等边三角形，
∴∠PAF＝60°，
∴∠BAP＝60°﹣45°＝15°，
∴裁得的△ABP型部件符合要求．
四．四边形综合题（共1小题）
6．（2022 陕西）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4．若点P是边AC上一点，则BP的最小值为 　　；
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，点E是BC的中点．若点P是边AC上一点，试求PB+PE的最小值；
问题解决
（3）某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知AD＝2000米，CD＝1000米，∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝150°．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此时BE，DF的长．（路面宽度忽略不计）
【答案】（1）；
（2）PB+PE的最小值为；
（3）BE的长为500米，DF的长为1000米．
【解答】解：（1）过B作BP⊥AC于P，如图：
由垂线段最短可知，BP⊥AC时，BP的值最小，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵2S△ABC＝AB BC＝AC BP，
∴BP＝＝＝，
故答案为：；
（2）作E关于直线AC的对称点E'，连接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，如图：
∵E，E'关于直线AC对称，
∴PE＝PE'，
∴PB+PE＝PB+PE'，
∵B，P，E'共线，
∴此时PB+PE最小，最小值为BE'的长度，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠ACB＝45°，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝1，
∵E，E'关于直线AC对称，
∴∠ACE'＝∠ACB＝45°，CE＝CE'＝1，
∴∠BCE'＝90°，
在Rt△BCE'中，
BE'＝＝＝，
∴PB+PE的最小值为；
（3）作C关于AD的对称点M，连接DM，CM，CM交AD于H，作C关于AB的对称点N，连接BN，延长DC，AB交于G，连接NG，连接MN交AB于E，交AD于F，如图：
∵C，N关于AB对称，C，M关于AD对称，
∴CE＝NE，CF＝MF，
∴CE+EF+CF＝NE+EF+MF，
∵N，E，F，M共线，
∴此时CE+EF+CF最小，
∵∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝150°，
∴∠ADC＝60°，
∵C，M关于AD对称，
∴∠MDH＝∠CDH＝60°，∠CHD＝∠MHD＝90°，CD＝MD＝1000米，
∴∠MCD＝∠CMD＝30°，
∴DH＝CD＝500米，CH＝MH＝DH＝500米，
∴CM＝1000米，
∵∠ADC＝60°，∠A＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴DG＝AD＝2000米，
∴CG＝DG﹣CD＝1000米，
∵∠BCD＝150°，
∴∠BCG＝30°，
∵C，N关于AB对称，∠ABC＝90°，
∴C，B，N共线，CG＝NG＝1000米，∠BNG＝∠BCG＝30°，
∴BG＝CG＝500米，BC＝BN＝BG＝500米，
∴CN＝1000米＝CM，
∴∠CNM＝∠CMN，
∵∠BCD＝150°，∠MCD＝30°，
∴∠NCM＝120°，
∴∠CNM＝∠CMN＝30°，
在Rt△BNE中，
BE＝＝＝500（米），
在Rt△MHF中，
FH＝＝＝500（米），
∴DF＝FH+DH＝500+500＝1000（米），
答：BE的长为500米，DF的长为1000米．
五．圆的综合题（共1小题）
7．（2021 陕西）问题提出：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4．求BC+CD的值．
问题解决：
（2）有一个直径为30cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小，试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值，及此时OA的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4；
（2）cm2，OA＝5cm．
【解答】解：（1）如图1，
∵∠BCD＝∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴可以将△ABC绕A点逆时针旋转90°得△ADE，
∴∠ADE＝∠B，AE＝AC，∠CAE＝90°，
∴∠ADE+∠ADC＝180°，
∴C、D、E在同一条直线上，
∴CD+DE＝CE＝＝4；
（2）如图2，
连接OB，
∵∠AOC＝60°，OA＝OC，
∴将△AOB绕O点顺时针旋转60°至△COE，连接BE，
∴∠BOE＝60°，OE＝OB，
∴△BOE是等边三角形，
∴BE＝OB＝15，∠BEO＝60°，∠CBE＝∠ABO＝∠CEO，
∴∠CBE+∠CEB＝60°，
∴∠BCE＝120°，
∵S四边形OABC＝S△AOB+S△BCO＝S△COE+S△BCO
＝S△BOE﹣S△BCE
＝﹣S△BCE，
∴要使四边形OABC的面积最小，就要使△BCE的面积最大，
作正△BEF，作它的外接圆⊙I，作直径FC′，
当C与C′重合时，S△BCE最大，
S△BCE最大＝×15×（）＝，
∴S四边形OABC最小＝cm2，
此时OA＝OC＝＝＝5cm．
六．作图—复杂作图（共1小题）
8．（2023 陕西）如图．已知锐角△ABC，∠B＝48°，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P．使PB＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解答．
【解答】解：如图，点P即为所求．
七．列表法与树状图法（共1小题）
9．（2023 陕西）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3．这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 　　；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）由题意可得，
从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为＝，
故答案为：；
（2）树状图如下：
由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，
∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021 陕西）计算：（﹣）0+|1﹣|﹣．
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2021 陕西）化简：（﹣）÷．
三．一元一次方程的应用（共1小题）
3．（2021 陕西）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．
四．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2021 陕西）一家超市中，杏的售价为11元/kg，桃的售价为10元/kg，小菲在这家超市买了杏和桃共5kg，共花费52元，求小菲这次买的杏、桃各多少千克．
五．解分式方程（共1小题）
5．（2021 陕西）解方程：﹣＝1．
六．解一元一次不等式（共1小题）
6．（2023 陕西）解不等式：x．
七．一元一次不等式的整数解（共1小题）
7．（2021 陕西）求不等式﹣x+1＞﹣2的正整数解．
八．解一元一次不等式组（共1小题）
8．（2022 陕西）解不等式组：．
九．待定系数法求一次函数解析式（共2小题）
9．（2022 陕西）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小．
（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力；当石块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力．）
10．（2022 陕西）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
输入x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 …
输出y … ﹣6 ﹣2 2 6 16 …
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为1时，输出的y值为 　 　；
（2）求k，b的值；
（3）当输出的y值为0时，求输入的x值．
一十．一次函数的应用（共1小题）
11．（2023 陕西）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y（m）是其胸径x（m）的一次函数．已知这种树的胸径为0.2m时，树高为20m；这种树的胸径为0.28m时，树高为22m．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当这种树的胸径为0.3m时，其树高是多少？
一十一．二次函数的应用（共1小题）
12．（2023 陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，OE′＝E′N′．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．
一十二．全等三角形的判定与性质（共2小题）
13．（2021 陕西）如图，∠A＝∠BCD，CA＝CD，点E在BC上，且DE∥AB，求证：AB＝EC．
14．（2021 陕西）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
一十三．切线的性质（共2小题）
15．（2021 陕西）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．
（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．
16．（2021 陕西）如图，DP是⊙O的切线，D为切点，弦AB∥DP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD．
（1）求证：AF∥OD；
（2）若OD＝5，AB＝8，求线段EF的长．
一十四．作图—基本作图（共3小题）
17．（2022 陕西）如图，已知扇形AOB．请用尺规作图，在上求作一点P，使PA＝PB．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（2022 陕西）如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角．
请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）
19．（2021 陕西）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
一十五．作图-平移变换（共1小题）
20．（2022 陕西）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）．将△ABC平移后得到△A'B'C'，且点A的对应点是A'（2，3），点B、C的对应点分别是B'、C'．
（1）点A、A'之间的距离是 　 　；
（2）请在图中画出△A'B'C'．
一十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
21．（2022 陕西）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
（1）求证：∠CAB＝∠APB；
（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．
一十七．解直角三角形的应用（共1小题）
22．（2021 陕西）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号）
一十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
23．（2022 陕西）端午假期，小明和小昊与家人到一山庄度假．闲暇时，他们想利用所学数学知识测量所住楼前小河的宽．如图所示，他们先在六层房间窗台点F处，测得河岸点A处的俯角∠1的度数，然后来到四层房间窗台点E处，测得河对岸点B处的俯角∠2的度数（AB与河岸垂直），并且发现∠1与∠2正好互余．其中O，E，F三点在同一直线上，O，A，B三点在同一直线上，OF⊥OA．已知OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，求河宽AB．
24．（2021 陕西）小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影A′的俯角为60°．已知：点O到湖面的距离OD＝3m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、A′三点共线，A'B＝AB，求小山的高度AB．（光线的折射忽略不计；结果保留根号）
一十九．条形统计图（共1小题）
25．（2021 陕西）为弘扬中华传统文化，草根一中准备开展“传统手工技艺”学习实践活动．校学生会在全校范围内随机地对本校一些学生进行了“我最想学习的传统手工技艺”问卷调查（问卷共设有五个选项：“A——剪纸”、“B——木版画雕刻”、“C——陶艺创作”、“D——皮影制作”、“E——其他手工技艺”，参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中的一个选项），将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图；
（2）本次问卷的这五个选项中，众数是 　 　；
（3）该校共有3600名学生，请你估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A——剪纸”的人数．
二十．中位数（共1小题）
26．（2022 陕西）某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别 “劳动时间”t/分钟 频数 组内学生的平均“劳动时间”/分钟
A t＜60 8 50
B 60≤t＜90 16 75
C 90≤t＜120 40 105
D t≥120 36 150
根据上述信息，解答下列问题：
（1）这100名学生的“劳动时间”的中位数落在 　 　组；
（2）求这100名学生的平均“劳动时间”；
（3）若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．
二十一．众数（共1小题）
27．（2022 陕西）某校为了了解本校九年级学生的视力情况，随机抽查了50名学生的视力，并进行统计，绘制了如下统计图．
（1）这50名学生视力的众数为 　 　，中位数为 　 　；
（2）求这50名学生中，视力低于4.7的人数占被抽查总人数的百分比；
（3）若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数．
二十二．列表法与树状图法（共1小题）
28．（2022 陕西）有三枚普通硬币，其面值数字分别为1，5，5．现规定：掷一枚硬币，若该硬币正面朝上，则所得的数字为面值数字；若该硬币反面朝上，则所得的数字为0．
（1）若用其中一枚硬币，随机掷20次，其中正面朝上的次数为8次，则在这20次掷币中，该硬币正面朝上的频率为 　 　；
（2）若依次掷出这三枚硬币，用画树状图的方法，求掷出这三枚硬币所得数字之和是6的概率．
陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2021 陕西）计算：（﹣）0+|1﹣|﹣．
【答案】﹣．
【解答】解：原式＝1+﹣1﹣2
＝﹣．
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2021 陕西）化简：（﹣）÷．
【答案】﹣．
【解答】解：原式＝[]÷
＝
＝
＝﹣．
三．一元一次方程的应用（共1小题）
3．（2021 陕西）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．
【答案】这种服装每件的标价为110元．
【解答】解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意得，
10×0.8x＝11（x﹣30），
解得x＝110，
答：这种服装每件的标价为110元．
四．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2021 陕西）一家超市中，杏的售价为11元/kg，桃的售价为10元/kg，小菲在这家超市买了杏和桃共5kg，共花费52元，求小菲这次买的杏、桃各多少千克．
【答案】杏2千克、桃3千克．
【解答】解：设小菲这次买的杏、桃分别为x千克、y千克，
由题意得，
解得，
答：小菲这次买杏2千克、买桃3千克．
五．解分式方程（共1小题）
5．（2021 陕西）解方程：﹣＝1．
【答案】x＝﹣．
【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：（x﹣1）2﹣3＝（x+1）（x﹣1），
解得x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以x＝﹣是原方程的解．
六．解一元一次不等式（共1小题）
6．（2023 陕西）解不等式：x．
【答案】x＜﹣5．
【解答】解：x，
去分母，得3x﹣5＞4x，
移项，得3x﹣4x＞5，
合并同类项，得﹣x＞5，
不等式的两边都除以﹣1，得x＜﹣5．
七．一元一次不等式的整数解（共1小题）
7．（2021 陕西）求不等式﹣x+1＞﹣2的正整数解．
【答案】1，2，3，4．
【解答】解：去分母得：﹣3x+5＞﹣10，
移项合并得：﹣3x＞﹣15，
解得：x＜5，
则不等式的正整数解为1，2，3，4．
八．解一元一次不等式组（共1小题）
8．（2022 陕西）解不等式组：．
【答案】x≥﹣1．
【解答】解：由x+2＞﹣1，得：x＞﹣3，
由x﹣5≤3（x﹣1），得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为x≥﹣1．
九．待定系数法求一次函数解析式（共2小题）
9．（2022 陕西）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．
（1）求AB所在直线的函数表达式；
（2）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小．
（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力；当石块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力．）
【答案】（1）F拉力＝﹣x+；
（2）当石块下降的高度为8cm时，该石块所受浮力为N．
【解答】解：（1）设AB所在直线的函数表达式为F拉力＝kx+b，将（6，4），（10，2.5）代入得：
，
解得，
∴AB所在直线的函数表达式为F拉力＝﹣x+；
（2）在F拉力＝﹣x+中，令x＝8得F拉力＝﹣×8+＝，
∵4﹣＝（N），
∴当石块下降的高度为8cm时，该石块所受浮力为N．
10．（2022 陕西）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．
输入x … ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 …
输出y … ﹣6 ﹣2 2 6 16 …
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当输入的x值为1时，输出的y值为 　8　；
（2）求k，b的值；
（3）当输出的y值为0时，求输入的x值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当输入的x值为1时，输出的y值为y＝8x＝8×1＝8，
故答案为：8；
（2）将（﹣2，2）（0，6）代入y＝kx+b得，
解得；
（3）令y＝0，
由y＝8x得0＝8x，
∴x＝0＜1（舍去），
由y＝2x+6，得0＝2x+6，
∴x＝﹣3＜1，
∴输出的y值为0时，输入的x值为﹣3．
一十．一次函数的应用（共1小题）
11．（2023 陕西）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y（m）是其胸径x（m）的一次函数．已知这种树的胸径为0.2m时，树高为20m；这种树的胸径为0.28m时，树高为22m．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当这种树的胸径为0.3m时，其树高是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0），
根据题意，得，
解之，得，
∴y＝25x+15；
（2）当x＝0.3m时，y＝25×0.3+15＝22.5（m）．
∴当这种树的胸径为0.3m时，其树高为22.5m．
一十一．二次函数的应用（共1小题）
12．（2023 陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，OE′＝E′N′．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．
【答案】（1）方案一中抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x；
（2）S1＝18m2；S1＞S2．
【解答】解：（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点P（6，4），
设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+4，
把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣6）2+4＝﹣x2+x；
∴方案一中抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x；
（2）在y＝﹣x2+x中，令y＝3得：3＝﹣x2+x；
解得x＝3或x＝9，
∴BC＝9﹣3＝6（m），
∴S1＝AB BC＝3×6＝18（m2）；
∵18＞12，
∴S1＞S2．
一十二．全等三角形的判定与性质（共2小题）
13．（2021 陕西）如图，∠A＝∠BCD，CA＝CD，点E在BC上，且DE∥AB，求证：AB＝EC．
【答案】证明过程见解析．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝EC．
14．（2021 陕西）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵BD∥AC，
∴∠ACB＝∠EBD，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠ABC＝∠D．
一十三．切线的性质（共2小题）
15．（2021 陕西）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．
（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：取的中点M，连接OM、OF，
∵＝2，
∴＝＝，
∴∠COB＝∠BOF，
∵∠A＝∠BOF，
∴∠COB＝∠A；
（2）解：连接BF，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴AB⊥CD，
∴∠OBC＝∠ABD＝90°，
∵∠COB＝∠A，
∴△OBC∽△ABD，
∴＝，即＝，解得BD＝8，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝10，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠BDF＝∠ADB，
∴Rt△DBF∽Rt△DAB，
∴＝，即＝，解得DF＝．
16．（2021 陕西）如图，DP是⊙O的切线，D为切点，弦AB∥DP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD．
（1）求证：AF∥OD；
（2）若OD＝5，AB＝8，求线段EF的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：延长DO交AB于点H，
∵DP是⊙O的切线，
∴OD⊥DP，
∵AB∥DP，
∴HD⊥AB，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴AF∥OD；
（2）∵OH⊥AB，AB＝8，
∴BH＝AH＝4，
∴OH＝＝＝3，
∵BH∥ED，
∴△BOH∽△EOD，
∴＝，即＝，
解得：ED＝，
∵∠BAC＝90°，DH⊥AB，DH⊥DP，
∴四边形AFDH为矩形，
∴DF＝AH＝4，
∴EF＝ED﹣DF＝﹣4＝．
一十四．作图—基本作图（共3小题）
17．（2022 陕西）如图，已知扇形AOB．请用尺规作图，在上求作一点P，使PA＝PB．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解答过程．
【解答】解：作∠AOB的角平分线交于P，如图：
则点P即为所求的点．
18．（2022 陕西）如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角．
请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解答过程．
【解答】解：如图，射线CP即为所求．
19．（2021 陕西）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解答．
【解答】解：如图，点P为所作．
一十五．作图-平移变换（共1小题）
20．（2022 陕西）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣1）．将△ABC平移后得到△A'B'C'，且点A的对应点是A'（2，3），点B、C的对应点分别是B'、C'．
（1）点A、A'之间的距离是 　4　；
（2）请在图中画出△A'B'C'．
【答案】（1）4．
（2）作图见解析．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，3），A'（2，3），
∴点A、A'之间的距离是2﹣（﹣2）＝4，
故答案为：4；
（2）如图所示，△A'B'C'即为所求．
一十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
21．（2022 陕西）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
（1）求证：∠CAB＝∠APB；
（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．
【答案】（1）见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM＝90°，
∵∠CEA＝90°，
∴AM∥CD，
∴∠CDB＝∠APB，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠APB．
（2）解：如图，连接AD，
∵AB是直径，
∴∠CDB+∠ADC＝90°，
∵∠CAB+∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，
∴∠ADC＝∠C，
∴AD＝AC＝8，
∵AB＝10，
∴BD＝6，
∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠PAD+∠APD＝90°，
∴∠APB＝∠DAB，
∵∠BDA＝∠BAP
∴△ADB∽△PAB，
∴＝，
∴PB＝＝＝，
∴DP＝﹣6＝．
故答案为：．
一十七．解直角三角形的应用（共1小题）
22．（2021 陕西）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在△ADC中，设AD＝xm，
∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝xm，
在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD＝30°，
∴AD＝BD tan30°，
即x＝（16+x）m，
解得：x＝（8+8）m，
∴AB＝2AD＝2×（8）＝（16）m，
∴钢索AB的长度为（16）m．
一十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
23．（2022 陕西）端午假期，小明和小昊与家人到一山庄度假．闲暇时，他们想利用所学数学知识测量所住楼前小河的宽．如图所示，他们先在六层房间窗台点F处，测得河岸点A处的俯角∠1的度数，然后来到四层房间窗台点E处，测得河对岸点B处的俯角∠2的度数（AB与河岸垂直），并且发现∠1与∠2正好互余．其中O，E，F三点在同一直线上，O，A，B三点在同一直线上，OF⊥OA．已知OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，求河宽AB．
【答案】河宽AB为4.25米．
【解答】解：∵∠1＝∠FAO，∠2＝∠EBO，∠1+∠2＝90°，
∴∠FAO+∠EBO＝90°，
∵OF⊥OA，
∴∠O＝90°，
∴∠FAO+∠AFO＝90°，
∴∠EBO＝∠AFO，
∵∠O＝∠O，
∴△EBO∽△AFO，
∴＝，
∵OE＝15米，OF＝21.6米，OA＝16米，
∴＝，
解得OB＝20.25，
∴AB＝OB﹣OA＝20.25﹣16＝4.25（米），
答：河宽AB为4.25米．
24．（2021 陕西）小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影A′的俯角为60°．已知：点O到湖面的距离OD＝3m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、A′三点共线，A'B＝AB，求小山的高度AB．（光线的折射忽略不计；结果保留根号）
【答案】（6+3）m．
【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，则BE＝OD＝3m，
设AE＝xm，则AB＝（x+3）m，A′E＝（x+6）m，
∵∠AOE＝45°，
∴OE＝AE＝xm，
∵∠A′OE＝60°，
∴tan60°＝＝，
即＝，
解得x＝3+3，
∴AB＝3+3+3＝（6+3）m．
答：小山的高度AB为（6+3）m．
一十九．条形统计图（共1小题）
25．（2021 陕西）为弘扬中华传统文化，草根一中准备开展“传统手工技艺”学习实践活动．校学生会在全校范围内随机地对本校一些学生进行了“我最想学习的传统手工技艺”问卷调查（问卷共设有五个选项：“A——剪纸”、“B——木版画雕刻”、“C——陶艺创作”、“D——皮影制作”、“E——其他手工技艺”，参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中的一个选项），将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图；
（2）本次问卷的这五个选项中，众数是 　“C——陶艺创作”　；
（3）该校共有3600名学生，请你估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A——剪纸”的人数．
【答案】（1）图形见解析；
（2）“C——陶艺创作”；
（3）792人．
【解答】解：（1）参加问卷调查的学生人数为：90÷30%＝300（人），
则“D——皮影制作”的人数为：300﹣66﹣54﹣90﹣15＝75（人），
补全条形统计图如下：
（2）本次问卷的这五个选项中，众数是“C——陶艺创作”，
故答案为：“C——陶艺创作”；
（3）估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A——剪纸”的人数为：3600×＝792（人）．
二十．中位数（共1小题）
26．（2022 陕西）某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别 “劳动时间”t/分钟 频数 组内学生的平均“劳动时间”/分钟
A t＜60 8 50
B 60≤t＜90 16 75
C 90≤t＜120 40 105
D t≥120 36 150
根据上述信息，解答下列问题：
（1）这100名学生的“劳动时间”的中位数落在 　C　组；
（2）求这100名学生的平均“劳动时间”；
（3）若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．
【答案】（1）C；
（2）112分钟；
（3）912人
【解答】解：（1）把100名学生的“劳动时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在C组，故这100名学生的“劳动时间”的中位数落在C组，
故答案为：C；
（2）＝×（50×8+75×16+105×40+150×36）＝112（分钟），
答：这100名学生的平均“劳动时间”为112分钟；
（3）1200×＝912（人），
答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数为912人．
二十一．众数（共1小题）
27．（2022 陕西）某校为了了解本校九年级学生的视力情况，随机抽查了50名学生的视力，并进行统计，绘制了如下统计图．
（1）这50名学生视力的众数为 　4.9　，中位数为 　4.8　；
（2）求这50名学生中，视力低于4.7的人数占被抽查总人数的百分比；
（3）若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数．
【答案】（1）4.9，4.8；
（2）视力低于4.7的人数占被抽查总人数的百分比为16%；
（3）估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数为272人．
【解答】解：（1）由统计图可知众数为4.9；共有50人，中位数应为第25与第26个的平均数，而第25个数和第26个数都是4.8，
∴中位数是4.8；
故答案为：4.9，4.8；
（2）由统计图可知，50人中视力低于4.7的有8人，
∴视力低于4.7的人数占被抽查总人数的百分比为×100%＝16%；
（3）由统计图可知，50人中视力不低于4.8的有34人，
∴视力不低于4.8的人数占被抽查总人数的百分比为×100%＝68%，
∴400名学生中，视力不低于4.8的人数为400×68%＝272（人），
答：估计该校九年级学生中，视力不低于4.8的人数为272人．
二十二．列表法与树状图法（共1小题）
28．（2022 陕西）有三枚普通硬币，其面值数字分别为1，5，5．现规定：掷一枚硬币，若该硬币正面朝上，则所得的数字为面值数字；若该硬币反面朝上，则所得的数字为0．
（1）若用其中一枚硬币，随机掷20次，其中正面朝上的次数为8次，则在这20次掷币中，该硬币正面朝上的频率为 　0.4　；
（2）若依次掷出这三枚硬币，用画树状图的方法，求掷出这三枚硬币所得数字之和是6的概率．
【答案】（1）0.4；
（2）所得数字之和是6的概率是．
【解答】解：（1）硬币正面朝上的频率为＝0.4，
故答案为：0.4；
（2）树状图如下：
一共有8种等可能的情况，其中所得数字之和是6的有2种，
∴所得数字之和是6的概率是＝．
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题（基础题）知识点分类
一．相反数（共2小题）
1．（2022 陕西）﹣37的相反数是（　　）
A．﹣37 B．﹣ C．37 D．
2．（2022 陕西）﹣37的相反数是（　　）
A．﹣37 B．37 C． D．
二．绝对值（共1小题）
3．（2022 陕西）﹣21的绝对值为（　　）
A．21 B．﹣21 C． D．﹣
三．有理数的加法（共1小题）
4．（2021 陕西）计算：5+（﹣7）＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣12
四．有理数的减法（共1小题）
5．（2023 陕西）计算：3﹣5＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
五．有理数的乘法（共1小题）
6．（2021 陕西）计算：3×（﹣2）＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6
六．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
7．（2022 陕西）2022年6月5日上午10时44分07秒，熊熊的火焰托举着近500000千克的火箭和飞船冲上云霄，这是我国长征2F运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情景．其中，数据500000用科学记数法可以表示为（　　）
A．0.5×106 B．50×104 C．5×104 D．5×105
七．幂的乘方与积的乘方（共2小题）
8．（2022 陕西）计算：（﹣4a3b）2＝（　　）
A．8a5b3 B．16a6b2 C．﹣8a6b2 D．16a5b2
9．（2021 陕西）计算：（a3b）﹣2＝（　　）
A． B．a6b2 C． D．﹣2a3b
八．单项式乘单项式（共3小题）
10．（2022 陕西）计算：2x （﹣3x2y3）＝（　　）
A．﹣6x3y3 B．6x3y3 C．﹣6x2y3 D．18x3y3
11．（2022 陕西）计算：2x （﹣3x2y3）＝（　　）
A．6x3y3 B．﹣6x2y3 C．﹣6x3y3 D．18x3y3
12．（2023 陕西）计算：＝（　　）
A．3x4y5 B．﹣3x4y5 C．3x3y6 D．﹣3x3y6
九．正比例函数的图象（共1小题）
13．（2023 陕西）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a为常数，a＜0）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
一十．一次函数图象与几何变换（共1小题）
14．（2021 陕西）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
一十一．二次函数的应用（共1小题）
15．（2021 陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（　　）
A．9m B．10m C．11m D．12m
一十二．余角和补角（共1小题）
16．（2022 陕西）若∠A＝48°，则∠A的补角的度数为（　　）
A．42° B．52° C．132° D．142°
一十三．平行线的性质（共3小题）
17．（2023 陕西）如图，l∥AB，∠A＝2∠B．若∠1＝108°，则∠2的度数为（　　）
A．36° B．46° C．72° D．82°
18．（2022 陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（　　）
A．120° B．122° C．132° D．148°
19．（2021 陕西）如图，直线l1∥l2，直线l1、l2被直线l3所截，若∠1＝54°，则∠2的大小为（　　）
A．36° B．46° C．126° D．136°
一十四．三角形的重心（共1小题）
20．（2021 陕西）如图，△ABC的中线BE、CF交于点O，连接EF，则的值为（　　）
A． B． C． D．
一十五．平面展开-最短路径问题（共1小题）
21．（2022 陕西）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（　　）
A． B．2 C． D．3
一十六．菱形的性质（共1小题）
22．（2021 陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
一十七．轴对称的性质（共1小题）
23．（2021 陕西）下列各选项中，两个三角形成轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
一十八．轴对称图形（共1小题）
24．（2021 陕西）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
一十九．中心对称图形（共1小题）
25．（2023 陕西）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
二十．解直角三角形（共1小题）
26．（2022 陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（　　）
A．3 B．3 C．3 D．6
二十一．由三视图判断几何体（共1小题）
27．（2023 陕西）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则⊙O的半径OA为（　　）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．相反数（共2小题）
1．（2022 陕西）﹣37的相反数是（　　）
A．﹣37 B．﹣ C．37 D．
【答案】C
【解答】解：﹣37的相反数是37．
故选：C．
2．（2022 陕西）﹣37的相反数是（　　）
A．﹣37 B．37 C． D．
【答案】B
【解答】解：﹣37的相反数是﹣（﹣37）＝37，
故选：B．
二．绝对值（共1小题）
3．（2022 陕西）﹣21的绝对值为（　　）
A．21 B．﹣21 C． D．﹣
【答案】A
【解答】解：﹣21的绝对值为21，
故选：A．
三．有理数的加法（共1小题）
4．（2021 陕西）计算：5+（﹣7）＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣12
【答案】B
【解答】解：原式＝﹣（7﹣5）＝﹣2，
故选：B．
四．有理数的减法（共1小题）
5．（2023 陕西）计算：3﹣5＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【答案】B
【解答】解：3﹣5＝﹣2．
故选：B．
五．有理数的乘法（共1小题）
6．（2021 陕西）计算：3×（﹣2）＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6
【答案】D
【解答】解：3×（﹣2）＝﹣6．
故选：D．
六．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
7．（2022 陕西）2022年6月5日上午10时44分07秒，熊熊的火焰托举着近500000千克的火箭和飞船冲上云霄，这是我国长征2F运载火箭将“神舟十四号”载人飞船送入太空的壮观情景．其中，数据500000用科学记数法可以表示为（　　）
A．0.5×106 B．50×104 C．5×104 D．5×105
【答案】D
【解答】解：数据500000用科学记数法表示为5×105．
故选：D．
七．幂的乘方与积的乘方（共2小题）
8．（2022 陕西）计算：（﹣4a3b）2＝（　　）
A．8a5b3 B．16a6b2 C．﹣8a6b2 D．16a5b2
【答案】B
【解答】解：（﹣4a3b）2
＝（﹣4）2（a3）2b2
＝16a6b2；
故选：B．
9．（2021 陕西）计算：（a3b）﹣2＝（　　）
A． B．a6b2 C． D．﹣2a3b
【答案】A
【解答】解：（a3b）﹣2＝＝．
故选：A．
八．单项式乘单项式（共3小题）
10．（2022 陕西）计算：2x （﹣3x2y3）＝（　　）
A．﹣6x3y3 B．6x3y3 C．﹣6x2y3 D．18x3y3
【答案】A
【解答】解：2x （﹣3x2y3）＝﹣6x3y3．
故选：A．
11．（2022 陕西）计算：2x （﹣3x2y3）＝（　　）
A．6x3y3 B．﹣6x2y3 C．﹣6x3y3 D．18x3y3
【答案】C
【解答】解：原式＝2×（﹣3）x1+2y3＝﹣6x3y3．
故选：C．
12．（2023 陕西）计算：＝（　　）
A．3x4y5 B．﹣3x4y5 C．3x3y6 D．﹣3x3y6
【答案】B
【解答】解：
＝6×（﹣）x1+3y2+3
＝﹣3x4y5．
故选：B．
九．正比例函数的图象（共1小题）
13．（2023 陕西）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a为常数，a＜0）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：∵a＜0，
∴函数y＝ax是经过原点的直线，经过第二、四象限，
函数y＝x+a是经过第一、三、四象限的直线，
故选：D．
一十．一次函数图象与几何变换（共1小题）
14．（2021 陕西）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】D
【解答】解：将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，得到直线y＝﹣2x+3，
把点（﹣1，m）代入，得m＝﹣2×（﹣1）+3＝5．
故选：D．
一十一．二次函数的应用（共1小题）
15．（2021 陕西）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（　　）
A．9m B．10m C．11m D．12m
【答案】A
【解答】解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，
所以当x＝2时，y＝9，即AD＝9m，
故选：A．
一十二．余角和补角（共1小题）
16．（2022 陕西）若∠A＝48°，则∠A的补角的度数为（　　）
A．42° B．52° C．132° D．142°
【答案】C
【解答】解：180°﹣48°＝132°．
故选：C．
一十三．平行线的性质（共3小题）
17．（2023 陕西）如图，l∥AB，∠A＝2∠B．若∠1＝108°，则∠2的度数为（　　）
A．36° B．46° C．72° D．82°
【答案】A
【解答】解：如图，
∵∠1＝108°，
∴∠3＝∠1＝108°，
∵l∥AB，
∴∠3+∠A＝180°，∠2＝∠B，
∴∠A＝180°﹣∠3＝72°，
∵∠A＝2∠B，
∴∠B＝36°，
∴∠2＝36°．
故选：A．
18．（2022 陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF．若∠1＝58°，则∠2的大小为（　　）
A．120° B．122° C．132° D．148°
【答案】B
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°，
∴∠C＝∠1＝58°，
∵BC∥EF，
∴∠CGF＝∠C＝58°，
∴∠2＝180°﹣∠CGF＝180°﹣58°＝122°，
故选：B．
19．（2021 陕西）如图，直线l1∥l2，直线l1、l2被直线l3所截，若∠1＝54°，则∠2的大小为（　　）
A．36° B．46° C．126° D．136°
【答案】C
【解答】解：如图．
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3＝54°．
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣54°＝126°．
故选：C．
一十四．三角形的重心（共1小题）
20．（2021 陕西）如图，△ABC的中线BE、CF交于点O，连接EF，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵中线BE、CF交于点O，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴△OEF∽△OBC，
∴＝＝，
∴＝．
故选：B．
一十五．平面展开-最短路径问题（共1小题）
21．（2022 陕西）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解答】解：需要爬行的最短路程即为线段AB的长，如图：
∵正方体棱长为1，
∴BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝＝，
∴需要爬行的最短路程为；
故选：C．
一十六．菱形的性质（共1小题）
22．（2021 陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴BO＝AO，
∵，
∴，
故选：D．
一十七．轴对称的性质（共1小题）
23．（2021 陕西）下列各选项中，两个三角形成轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：各选项中，两个三角形成轴对称的是选项A．
故选：A．
一十八．轴对称图形（共1小题）
24．（2021 陕西）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
一十九．中心对称图形（共1小题）
25．（2023 陕西）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
二十．解直角三角形（共1小题）
26．（2022 陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（　　）
A．3 B．3 C．3 D．6
【答案】D
【解答】解：∵2CD＝6，
∴CD＝3，
∵tanC＝2，
∴＝2，
∴AD＝6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB＝，
故选：D．
二十一．由三视图判断几何体（共1小题）
27．（2023 陕西）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是⊙O的一部分，D是的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，则⊙O的半径OA为（　　）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
【答案】A
【解答】解：∵是⊙O的一部分，D是的中点，AB＝24cm，
∴OD⊥AB，AC＝BC＝AB＝12cm．
设⊙O的半径OA为Rcm，则OC＝OD﹣CD＝（R﹣8）cm．
在Rt△OAC中，∵∠OCA＝90°，
∴OA2＝AC2+OC2，
∴R2＝122+（R﹣8）2，
∴R＝13，
即⊙O的半径OA为13cm．
故选：A．
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题（提升题）知识点分类
一．单项式乘单项式（共1小题）
1．（2021 陕西）计算：﹣a2b （ab）﹣1＝（　　）
A．a B．a3b2 C．﹣a D．﹣a3b2
二．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题）
2．（2022 陕西）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022 陕西）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
三．一次函数图象与几何变换（共1小题）
4．（2021 陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
四．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题）
5．（2022 陕西）若方程3x﹣12＝0的解，是一个一次函数的函数值为5时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是（　　）
A．y＝3x﹣7 B．y＝﹣3x+12 C．y＝3x﹣12 D．y＝﹣3x+7
五．二次函数的性质（共2小题）
6．（2023 陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（　　）
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
7．（2022 陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
六．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
8．（2022 陕西）若二次函数y＝x2+2x+3m﹣1的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（　　）
A．m＞ B．m＜2
C．m＜﹣2或m≥﹣ D．≤m＜2
七．抛物线与x轴的交点（共1小题）
9．（2021 陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（　　）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
八．三角形内角和定理（共1小题）
10．（2021 陕西）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为（　　）
A．60° B．70° C．75° D．85°
九．全等三角形的应用（共1小题）
11．（2021 陕西）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（　　）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
一十．三角形中位线定理（共1小题）
12．（2023 陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（　　）
A． B．7 C． D．8
一十一．矩形的判定（共2小题）
13．（2022 陕西）在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是（　　）
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD
14．（2022 陕西）在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是（　　）
A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝AD D．AC＝BD
一十二．圆周角定理（共2小题）
15．（2022 陕西）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径．若∠CAD＝∠B，AD＝8，则AC的长为（　　）
A．5 B． C． D．
16．（2022 陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（　　）
A．44° B．45° C．54° D．67°
一十三．中心对称（共1小题）
17．（2021 陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE＝BF＝2，则OE+OF的值为（　　）
A．2 B．5 C． D．2
一十四．解直角三角形（共1小题）
18．（2022 陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（　　）
A．3 B．3 C．6 D．3
陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．单项式乘单项式（共1小题）
1．（2021 陕西）计算：﹣a2b （ab）﹣1＝（　　）
A．a B．a3b2 C．﹣a D．﹣a3b2
【答案】C
【解答】解：原式＝﹣a2b a﹣1b﹣1
＝﹣a2 a﹣1 b b﹣1
＝﹣a2﹣1b1﹣1
＝﹣a．
故选：C．
二．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题）
2．（2022 陕西）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4，
得n＝﹣3+4＝1，
∴P（3，1），
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：C．
3．（2022 陕西）在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4，
得n＝﹣3+4＝1，
∴P（3，1），
∴原方程组的解为，
故选：B．
三．一次函数图象与几何变换（共1小题）
4．（2021 陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【答案】A
【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣1，
把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1，
解得m＝﹣5．
故选：A．
四．一次函数与二元一次方程（组）（共1小题）
5．（2022 陕西）若方程3x﹣12＝0的解，是一个一次函数的函数值为5时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是（　　）
A．y＝3x﹣7 B．y＝﹣3x+12 C．y＝3x﹣12 D．y＝﹣3x+7
【答案】A
【解答】解：由3x﹣12＝0得x＝4，
当x＝4时，
y＝3x﹣7＝3×4﹣7＝5，故A符合题；
y＝﹣3x+12＝﹣3×4+12＝0，故B不符合题意；
y＝3x﹣12＝3×4﹣13＝3×4﹣12＝0，故C不符合题意；
y＝﹣3x+7＝﹣3×4+7＝﹣5，故D不符合题意；
故选：A．
五．二次函数的性质（共2小题）
6．（2023 陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（　　）
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
【答案】D
【解答】解：由题意可得：6＝m2﹣m，
解得：m1＝3，m2＝﹣2，
∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧，
∴m＞0，
∴m＝3，
∴y＝x2+3x+6，
∴二次函数有最小值为：＝＝．
故选：D．
7．（2022 陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，
故选：D．
六．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
8．（2022 陕西）若二次函数y＝x2+2x+3m﹣1的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（　　）
A．m＞ B．m＜2
C．m＜﹣2或m≥﹣ D．≤m＜2
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+3m﹣1经过第一、二、三象限，
∴Δ＝（2）2﹣4（3m﹣1）＞0且3m﹣1≥0，
解得≤m＜2．
故选：D．
七．抛物线与x轴的交点（共1小题）
9．（2021 陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（　　）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题知，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣）2﹣，
A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意；
B．与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），故B选项不符合题意；
C．当x＝时，函数有最小值为﹣，故C选项符合题意；
D．函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当x＞时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选：C．
八．三角形内角和定理（共1小题）
10．（2021 陕西）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为（　　）
A．60° B．70° C．75° D．85°
【答案】B
【解答】解：∵∠1＝180﹣（∠B+∠ADB），∠ADB＝∠A+∠C，
∴∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C）
＝180°﹣（25°+35°+50°）
＝180°﹣110°
＝70°，
故选：B．
九．全等三角形的应用（共1小题）
11．（2021 陕西）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（　　）
A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm
【答案】D
【解答】解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，
过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，
则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，
∴∠CBM＝∠DCN，
在△BCM和△CDN中，
，
∴△BCM≌△CDN（AAS），
∴BM＝CN，
在Rt△BCM中，
∵BC＝5，CM＝3，
∴BM＝＝＝4，
∴CN＝4，
∴CE＝2CN＝2×4＝8，
故选：D．
一十．三角形中位线定理（共1小题）
12．（2023 陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（　　）
A． B．7 C． D．8
【答案】C
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3，
∴△DEF∽△BMF，
∴＝＝＝2，
∴BM＝，
CM＝BC+BM＝．
故选：C．
一十一．矩形的判定（共2小题）
13．（2022 陕西）在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是（　　）
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD
【答案】D
【解答】解：A．∵ ABCD中，AB＝AD，
∴ ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B．∵ ABCD中，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C． ABCD中，AB＝AC，不能判定 ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D．∵ ABCD中，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
14．（2022 陕西）在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是（　　）
A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝AD D．AC＝BD
【答案】D
【解答】解：A、 ABCD中，AB＝AC，不能判定 ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵ ABCD中，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵ ABCD中，AB＝AD，
∴ ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵ ABCD中，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
一十二．圆周角定理（共2小题）
15．（2022 陕西）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径．若∠CAD＝∠B，AD＝8，则AC的长为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：连接CD，如图：
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠ADC+∠B＝90°，
∵＝，
∴∠ADC＝∠B，
∴∠ADC＝45°＝∠B，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝＝＝4，
故选：B．
16．（2022 陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（　　）
A．44° B．45° C．54° D．67°
【答案】A
【解答】解：如图，连接OB，
∵∠C＝46°，
∴∠AOB＝2∠C＝92°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝＝44°．
故选：A．
一十三．中心对称（共1小题）
17．（2021 陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE＝BF＝2，则OE+OF的值为（　　）
A．2 B．5 C． D．2
【答案】D
【解答】解：如图，连接，AC，BD．过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD＝OB，
∵OM⊥AD，
∴AM＝DM＝3，
∴OM＝AB＝2，
∵AE＝2，
∴EM＝AM﹣AE＝1，
∴OE＝＝＝，
同法可得OF＝，
∴OE+OF＝2，
故选：D．
一十四．解直角三角形（共1小题）
18．（2022 陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（　　）
A．3 B．3 C．6 D．3
【答案】C
【解答】解：∵BD＝2CD＝6，
∴CD＝3，BD＝6，
∵tanC＝＝2，
∴AD＝6，
∴AB＝AD＝6
故选：C．
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
一．立方根（共1小题）
1．（2021 陕西）﹣27的立方根是 　 　．
二．实数与数轴（共2小题）
2．（2023 陕西）如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 　 　．
3．（2022 陕西）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a　 　﹣b．（填“＞”“＝”或“＜”）
三．实数的运算（共1小题）
4．（2022 陕西）计算：3﹣＝　 　．
四．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）
5．（2022 陕西）分解因式：a3﹣4a2+4a＝　 　．
6．（2021 陕西）分解因式x3+6x2+9x＝　 　．
五．一元一次方程的应用（共1小题）
7．（2021 陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 　 　．
六．一元二次方程的应用（共1小题）
8．（2022 陕西）某县2019年粮食总产量为100万吨，经过两年的努力，该县2021年粮食总产量达到121万吨，则该县这两年粮食总产量的年平均增长率为 　 　．
七．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
9．（2021 陕西）若点A（a，3）、B（5a，b）在同一个反比例函数的图象上，则b的值为 　 　．
10．（2021 陕西）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1　 　y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）
八．待定系数法求反比例函数解析式（共2小题）
11．（2023 陕西）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC＝2CD，AB＝3．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 　 　．
12．（2022 陕西）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 　 　．
九．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
13．（2022 陕西）将函数y＝﹣x的图象沿y轴向上平移6个单位后，与反比例函数y＝的图象交于点A（n，3），则k的值为 　 　．
一十．三角形的角平分线、中线和高（共1小题）
14．（2022 陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为 　 　．
一十一．含30度角的直角三角形（共1小题）
15．（2021 陕西）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为 　 　．
一十二．勾股定理的证明（共1小题）
16．（2021 陕西）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD的面积的大小为 　 　．
一十三．多边形的对角线（共1小题）
17．（2021 陕西）七边形一共有　 　条对角线．
一十四．多边形内角与外角（共1小题）
18．（2021 陕西）正九边形一个内角的度数为 　 　．
一十五．菱形的性质（共2小题）
19．（2023 陕西）点E是菱形ABCD的对称中心，∠B＝56°，连接AE，则∠BAE的度数为 　 　．
20．（2022 陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠D＝60°．点P为边CD上一点，且不与点C，D重合，连接BP，过点A作EF∥BP，且EF＝BP，连接BE，PF，则四边形BEFP的面积为 　 　．
一十六．矩形的性质（共1小题）
21．（2023 陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN＝4．则线段PC的长为 　 　．
一十七．切线的性质（共1小题）
22．（2021 陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　 　．
一十八．正多边形和圆（共1小题）
23．（2023 陕西）如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E．则线段BE的长为 　 　．
一十九．黄金分割（共1小题）
24．（2022 陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE AB．已知AB为2米，则线段BE的长为 　 　米．
二十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
25．（2022 陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为 　 　．
陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
参考答案与试题解析
一．立方根（共1小题）
1．（2021 陕西）﹣27的立方根是 　﹣3　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，
∴＝﹣3
故答案为：﹣3．
二．实数与数轴（共2小题）
2．（2023 陕西）如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 　﹣　．
【答案】﹣．
【解答】解：由题意得：点B表示的数是﹣．
故答案为：．
3．（2022 陕西）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a　＜　﹣b．（填“＞”“＝”或“＜”）
【答案】＜．
【解答】解：∵b与﹣b互为相反数
∴b与﹣b关于原点对称，即﹣b位于3和4之间
∵a位于﹣b左侧，
∴a＜﹣b，
故答案为：＜．
三．实数的运算（共1小题）
4．（2022 陕西）计算：3﹣＝　﹣2　．
【答案】﹣2．
【解答】解：原式＝3﹣5
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
四．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）
5．（2022 陕西）分解因式：a3﹣4a2+4a＝　a（a﹣2）2　．
【答案】a（a﹣2）2．
【解答】解：a3﹣4a2+4a，
＝a（a2﹣4a+4），
＝a（a﹣2）2．
故答案为：a（a﹣2）2．
6．（2021 陕西）分解因式x3+6x2+9x＝　x（x+3）2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝x（9+6x+x2）
＝x（x+3）2．
故答案为x（x+3）2
五．一元一次方程的应用（共1小题）
7．（2021 陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 　﹣2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：依题意得：﹣1﹣6+1＝0+a﹣4，
解得：a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
六．一元二次方程的应用（共1小题）
8．（2022 陕西）某县2019年粮食总产量为100万吨，经过两年的努力，该县2021年粮食总产量达到121万吨，则该县这两年粮食总产量的年平均增长率为 　10%　．
【答案】10%．
【解答】解：设该县这两年粮食总产量的年平均增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝121，
解得x＝0.1＝10%或x＝﹣2.1（舍去），
答：该县这两年粮食总产量的年平均增长率为10%．
故答案为：10%．
七．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
9．（2021 陕西）若点A（a，3）、B（5a，b）在同一个反比例函数的图象上，则b的值为 　　．
【答案】．
【解答】解：∵点A（a，3）、B（5a，b）在同一个反比例函数的图象上，
∴3a＝5ab，
解得b＝，
故答案为：．
10．（2021 陕西）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1　＜　y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵2m﹣1＜0（m＜），
∴图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
又∵0＜1＜3，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
八．待定系数法求反比例函数解析式（共2小题）
11．（2023 陕西）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC＝2CD，AB＝3．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 　y＝　．
【答案】y＝．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB＝3，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝CF＝EF，
∵BC＝2CD，
∴设CD＝m，BC＝2m，
∴B（3，2m），E（3+m，m），
设反比例函数的表达式为y＝，
∴3×2m＝（3+m） m，
解得m＝3或m＝0（不合题意舍去），
∴B（3，6），
∴k＝3×6＝18，
∴这个反比例函数的表达式是y＝，
故答案为：y＝．
12．（2022 陕西）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 　y＝﹣　．
【答案】y＝﹣．
【解答】解：∵点A'与点A关于y轴对称，点A（﹣2，m），
∴点A'（2，m），
∵点A'在正比例函数y＝x的图象上，
∴m＝＝1，
∴A（﹣2，1），
∵点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
九．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
13．（2022 陕西）将函数y＝﹣x的图象沿y轴向上平移6个单位后，与反比例函数y＝的图象交于点A（n，3），则k的值为 　18　．
【答案】18．
【解答】解：将函数y＝﹣x的图象沿y轴向上平移6个单位后，得到的图象函数解析式为y＝﹣x+6，
把A（n，3）代入y＝﹣x+6得：3＝﹣n+6，
解得n＝6，
∴A（6，3），
把A（6，3）代入y＝得：
3＝，
解得k＝18，
故答案为：18．
一十．三角形的角平分线、中线和高（共1小题）
14．（2022 陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为 　9　．
【答案】9．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵△ACD的周长为8，
∴AC+CD+AD＝8，
∵AC＝3，
∴BD+AD＝5，
∵AB＝4，
∴AB+BD+AD＝9．
故答案为：9．
一十一．含30度角的直角三角形（共1小题）
15．（2021 陕西）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为 　6　．
【答案】6．
【解答】解：如图，
当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，
∵∠ACB＝90°，∠PFE＝60°，
∴∠PCA＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠APC＝90°，
△ABC中，AC＝AB＝4，
△ACP中，AP＝AC＝2，
∴PC＝＝＝2，
∴周长为2×3＝6．
故答案为：6．
一十二．勾股定理的证明（共1小题）
16．（2021 陕西）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD的面积的大小为 　49　．
【答案】49．
【解答】解：根据勾股定理，得AF＝＝＝5．
所以AB＝12﹣5＝7．
所以正方形ABCD的面积为：7×7＝49．
故答案为：49．
一十三．多边形的对角线（共1小题）
17．（2021 陕西）七边形一共有　14　条对角线．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：七边形的对角线总共有：＝14条．
故答案为：14．
一十四．多边形内角与外角（共1小题）
18．（2021 陕西）正九边形一个内角的度数为 　140°　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝＝140°．
故答案为：140°．
一十五．菱形的性质（共2小题）
19．（2023 陕西）点E是菱形ABCD的对称中心，∠B＝56°，连接AE，则∠BAE的度数为 　62°　．
【答案】62°．
【解答】解：如图，连接BE，
∵点E是菱形ABCD的对称中心，∠ABC＝56°，
∴点E是菱形ABCD的两对角线的交点，
∴AE⊥BE，∠ABE＝∠ABC＝28°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝62°．
故答案为：62°．
20．（2022 陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠D＝60°．点P为边CD上一点，且不与点C，D重合，连接BP，过点A作EF∥BP，且EF＝BP，连接BE，PF，则四边形BEFP的面积为 　72　．
【答案】72．
【解答】解：如图，连接AC、AP，
∵四边形ABCD是菱形，∠D＝60°，
∴AB＝BC＝12，∠ABC＝∠D＝60°，AB∥CD，
∴△ABC是等边三角形，
过C作CG⊥AB于点G，过P作PH⊥AB于点H，
则CG＝PH，
∵S△ABP＝AB PH，S△ABC＝AB CG，
∴S△ABP＝S△ABC，
∵CG⊥AB，
∴BG＝AG＝AB＝6，
∴CG＝＝＝6，
∵EF∥BP，且EF＝BP，
∴四边形BEFP是平行四边形，
∴S平行四边形BEFP＝2S△ABP，
∵S菱形ABCD＝2S△ABC，
∴S平行四边形BEFP＝S菱形ABCD＝AB CG＝12×6＝72，
故答案为：72．
一十六．矩形的性质（共1小题）
21．（2023 陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E在边AD上，且ED＝3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．若PM+PN＝4．则线段PC的长为 　2　．
【答案】2．
【解答】解：如图，过点P分别作PF⊥DC，PG⊥BC，PH⊥AB，
∵DE＝CD＝3，∠D＝90°，
∴∠ECD＝45°，
∴∠ECB＝45°，
∴PG＝PF，
∵PM≥PH，PN≥PG，
∴PM+PN≥PH+PG＝4，
∵PM+PN＝4，
∴PM与PH重合，PN与PG重合，
∵BM＝BN，
∴四边形MPNB为正方形，
∴PM＝PN＝2，
∴PC＝2．
故答案为：2．
一十七．切线的性质（共1小题）
22．（2021 陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　3+1　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，
过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，
∴OE＝OF＝1，
∴OC平分∠BCD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝，
∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1，
即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1，
故答案为3+1．
一十八．正多边形和圆（共1小题）
23．（2023 陕西）如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E．则线段BE的长为 　2+　．
【答案】2+．
【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB于G，由题意可知，四边形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，
在Rt△ACE中，AC＝2，AE＝CE，
∴AE＝CE＝AC＝，
同理BG＝，
∴BE＝EG+BG＝2+，
故答案为：2+．
一十九．黄金分割（共1小题）
24．（2022 陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE AB．已知AB为2米，则线段BE的长为 　（﹣1+）　米．
【答案】（﹣1+）．
【解答】解：∵BE2＝AE AB，
设BE＝x，则AE＝（2﹣x），
∵AB＝2，
∴x2＝2（2﹣x），
即x2+2x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），
∴线段BE的长为（﹣1+）米．
故答案为：（﹣1+）．
二十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
25．（2022 陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为 　　．
【答案】．
【解答】解：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，
由勾股定理得：OA＝＝＝，
∵ME⊥BD，AO⊥BD，
∴ME∥AO，
∴△DEM∽△DOA，
∴＝，即＝，
解得：ME＝，
同理可得：NF＝，
∴ME+NF＝，
故答案为：．
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一次函数的应用（共2小题）
1．（2021 陕西）某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示．
（1）求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；
（2）求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．
2．（2021 陕西）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系如图所示．
（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 　 　m/min；
（2）求AB的函数表达式；
（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．
二．二次函数的应用（共1小题）
3．（2022 陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
三．四边形综合题（共1小题）
4．（2021 陕西）问题提出
（1）如图1，在 ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．
四．三角形的外接圆与外心（共1小题）
5．（2023 陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F．
（1）求证：BD＝BC；
（2）若⊙O的半径r＝3，BE＝6，求线段BF的长．
五．切线的判定与性质（共1小题）
6．（2022 陕西）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝4．延长OA至点C，使AC＝8，连接BC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，延长BA，与⊙O交于点E，作弦BF＝BE，连接EF，与BO的延长线交于点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
六．圆的综合题（共1小题）
7．（2023 陕西）（1）如图①，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；
（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝10000m，BC＝DE＝6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．
七．作图—基本作图（共1小题）
8．（2021 陕西）如图，已知△ABC，AB＞AC．请在边AB上求作一点P，使点P到点B、C的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
八．相似三角形的应用（共1小题）
9．（2022 陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
10．（2023 陕西）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高AB．如图所示，当小明爸爸站在点D处时，他在该景观灯照射下的影子长为DF，测得DF＝2.4m；当小明站在爸爸影子的顶端F处时，测得点A的仰角α为26.6°．已知爸爸的身高CD＝1.8m，小明眼睛到地面的距离EF＝1.6m，点F、D、B在同一条直线上，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB．求该景观灯的高AB．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
一十．频数（率）分布直方图（共1小题）
11．（2023 陕西）某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场”中随机抽取了20棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数．其数据如下：28，36，37，39，42，45，46，47，48，50，54，54，54，54，55，60，62，62，63，64．通过对以上数据的分析整理，绘制了统计图表：
分组 频数 组内小西红柿的总个数
25≤x＜35 1 28
35≤x＜45 n 154
45≤x＜55 9 452
55≤x＜65 6 366
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图：这20个数据的众数是 　 　；
（2）求这20个数据的平均数；
（3）“校园农场”中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数．
一十一．众数（共1小题）
12．（2021 陕西）今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这60天的日平均气温的中位数为 　 　，众数为 　 　；
（2）求这60天的日平均气温的平均数；
（3）若日平均气温在18℃～21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”．请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数．
一十二．列表法与树状图法（共3小题）
13．（2022 陕西）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是 　 　；
（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．
14．（2021 陕西）现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．
（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为 　 　；
（2）分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．
15．（2021 陕西）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 　 　；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共2小题）
1．（2021 陕西）某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示．
（1）求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；
（2）求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．
【答案】（1）y＝60x﹣60（1≤x≤5）；
（2）1小时．
【解答】解：（1）设货车B距甲地的距离y与时间x的关系式为y＝kx+b，
根据题意得：
，
解得，
∴货车B距甲地的距离y与时间x的关系式为y＝60x﹣60（1≤x≤5）；
（2）当x＝3时，y＝60×3﹣60＝120，
故货车A的速度为：（240﹣120）÷3＝40（km/h），
货车A到达甲地所需时间为：240÷40＝6（小时），
6﹣5＝1（小时），
答：货车B到乙地后，货车A还需1小时到达甲地．
2．（2021 陕西）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系如图所示．
（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 　1　m/min；
（2）求AB的函数表达式；
（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．
【答案】（1）1；（2）AB的解析式为：y＝﹣4x+58；（3）猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为13.5min．
【解答】解：（1）由图象知：“鼠”6min跑了30m，
∴“鼠”的速度为：30÷6＝5（m/min），
“猫”5min跑了30m，
∴“猫”的速度为：30÷5＝6（m/min），
∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1（m/min），
故答案为：1；
（2）设AB的解析式为：y＝kx+b，
∵图象经过A（7，30）和B（10，18），
把点A和点B坐标代入函数解析式得：
，
解得：，
∴AB的解析式为：y＝﹣4x+58；
（3）令y＝0，则﹣4x+58＝0，
∴x＝14.5，
∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发，
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5﹣1＝13.5（min）．
答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为13.5min．
二．二次函数的应用（共1小题）
3．（2022 陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣5）2+9；
（2）A（5﹣，6），B（5+，6）．
【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点P（5，9），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2+9，
把（0，0）代入，可得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣5）2+9；
（2）令y＝6，得﹣（x﹣5）2+9＝6，
解得x1＝+5，x2＝﹣+5，
∴A（5﹣，6），B（5+，6）．
三．四边形综合题（共1小题）
4．（2021 陕西）问题提出
（1）如图1，在 ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，四边形OPMN面积的最小值为47000平方米，此时，点N到点A的距离为350米．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H，过点E作EG⊥CH于G，
∴∠H＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∴∠ADH＝∠BAD＝45°，
在Rt△ADH中，AD＝6，
∴AH＝AD sin∠BAD＝6×sin45°＝3，
∵点E是AD的中点，
∴DE＝AD＝3，
同理EG＝，
∵DF＝5，
∴FC＝CD﹣DF＝3，
∴S四边形ABFE＝S ABCD﹣S△DEF﹣S△BFC＝8×3﹣×5×﹣×3×3＝；
（2）存在，如图2，分别延长AE与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形，
∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝800米，
设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米，
∴MK＝AK﹣AM＝1200﹣（1200﹣2x）＝2x米，PK＝CK﹣CP＝（800﹣x）米，
∴S四边形OPMN＝S矩形ABCK﹣S△AMN﹣S△BON﹣S△OCP﹣S△PKM
＝800×1200﹣x（1200﹣2x）﹣ 2x（800﹣x）﹣x（1200﹣2x）﹣ 2x（800﹣x）
＝4（x﹣350）2+470000，
∴当x＝350时，S四边形OPMN最小＝470000（平方米），
AM＝1200﹣2x＝1200﹣2×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600，
∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000平方米，此时，点N到点A的距离为350米．
四．三角形的外接圆与外心（共1小题）
5．（2023 陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F．
（1）求证：BD＝BC；
（2）若⊙O的半径r＝3，BE＝6，求线段BF的长．
【答案】（1）见解析；
（2）2+．
【解答】（1）证明：如图，连接DC，
则∠BDC＝∠BAC＝45°，
∵BD⊥BC，
∴∠BCD＝90°﹣∠BDC＝45°，
∴∠BCD＝∠BDC．
∴BD＝BC；
（2）解：如图，∵∠DBC＝90°，
∴CD为⊙O的直径，
∴CD＝2r＝6．
∴BC＝CD sin＝3，
∴EC＝＝＝3，
∵BF⊥AC，
∴∠BMC＝∠EBC＝90°，∠BCM＝∠BCM，
∴△BCM∽△ECB．
∴，
∴BM＝＝＝2，CM＝，
连接CF，则∠F＝∠BDC＝45°，∠MCF＝45°，
∴MF＝MC＝，
∴BF＝BM+MF＝2+．
五．切线的判定与性质（共1小题）
6．（2022 陕西）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝4．延长OA至点C，使AC＝8，连接BC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，延长BA，与⊙O交于点E，作弦BF＝BE，连接EF，与BO的延长线交于点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
【答案】（1）见解析；
（2）EF＝．
【解答】（1）证明：∵OA＝2，AB＝4，AC＝8，
∴，
∵∠OAB＝∠BAC＝90°，
∴△OAB∽△BAC，
∴∠BOA＝∠ABC，
∵∠OBA+∠BOA＝90°，
∴∠OBA+∠ABC＝90°，
即∠OBC＝90°，
∵OB为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OG⊥BF于点G，
∵OG⊥BF，OA⊥BE，弦BF＝BE，
∴BG＝AB，
∵OB＝OB，
∴Rt△BOG≌Rt△BOA（HL），
∴∠FBD＝∠EBD，即BD平分∠FBE，
∵BF＝BE，即△BEF为等腰三角形，
∴BD⊥EF，DF＝DE，
∵OA＝2，AB＝4，
∴，
在Rt△ABO中，sin∠OBA＝＝，
在Rt△BDE中，sin∠DBE＝，
∴DE＝
∴EF＝．
六．圆的综合题（共1小题）
7．（2023 陕西）（1）如图①，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；
（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝10000m，BC＝DE＝6000m．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．
【答案】（1）4﹣4；
（2）4047.91m．
【解答】解：（1）如图①，连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'，
则 OP+PM≥OM．
∵⊙O半径为4，
∴PM≥OM﹣4≥OM'﹣4，
∵OA＝OB．∠AOB＝120°，
∴∠A＝30°，
∴OM'＝AM' tan30°＝12tan30°＝4，
∴PM≥OM'﹣4＝4﹣4，
∴线段PM的最小值为4﹣4；
（2）如图②，分别在BC，AE上作BB'＝AA'＝r＝30（m），
连接A'B'，B'O、OP、OE、B′E．
∵OM⊥AB，BB'⊥AB，ON＝BB'，
∴四边形BB'ON是平行四边形．
∴BN＝B′O．
∵B'O+OP+PE≥B'O+OE≥B'E，
∴BN+PE≥B'E﹣r，
∴当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值．
作⊙O'，使圆心O'在B'E上，半径r＝30（m），
作O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交于点H．
∴O'H∥A'E，
∴△B'O'H∽△B'EA'，
∴，
∵⊙O'在矩形AFDE区域内（含边界），
∴当⊙O'与FD相切时，B′H最短，即B′H＝10000﹣6000+30＝4030（m）．
此时，O′H也最短．
∵M'N'＝O'H，
∴M'N'也最短．
∴O'H＝＝4017.91（m），
∴O'M'＝O'H+30＝4047.91（m），
∴此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长为4047.91m．
七．作图—基本作图（共1小题）
8．（2021 陕西）如图，已知△ABC，AB＞AC．请在边AB上求作一点P，使点P到点B、C的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析部分．
【解答】解：如图，点P即为所求．
八．相似三角形的应用（共1小题）
9．（2022 陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
【答案】3米．
【解答】解：解法一：∵AD∥EG，
∴∠ADO＝∠EGF，
∵∠AOD＝∠EFG＝90°，
∴△AOD∽△EFG，
∴＝，即＝，
∴AO＝15，
∵AD∥BC，
∴△BOC∽△AOD，
∴＝，即＝，
∴BO＝12，
∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米）；
解法二：如图，过点C作CM⊥OD于C，交AD于M，
∵△EGF∽△MDC，
∴＝，即＝，
∴CM＝3，
即AB＝CM＝3（米），
答：旗杆的高AB是3米．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
10．（2023 陕西）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高AB．如图所示，当小明爸爸站在点D处时，他在该景观灯照射下的影子长为DF，测得DF＝2.4m；当小明站在爸爸影子的顶端F处时，测得点A的仰角α为26.6°．已知爸爸的身高CD＝1.8m，小明眼睛到地面的距离EF＝1.6m，点F、D、B在同一条直线上，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB．求该景观灯的高AB．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
【答案】该景观灯的高AB约为4.8m．
【解答】解：过点E作EH⊥AB，垂足为H，
由题意得：EH＝FB，EF＝BH＝1.6m，
设EH＝FB＝xm，
在Rt△AEH中，∠AEH＝26.6°，
∴AH＝EH tan26.6°≈0.5x（m），
∴AB＝AH+BH＝（0.5x+1.6）m，
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴∠CDF＝∠ABF＝90°，
∵∠CFD＝∠AFB，
∴△CDF∽△ABF，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝x，
∴x＝0.5x+1.6，
解得：x＝6.4，
∴AB＝x＝4.8（m），
∴该景观灯的高AB约为4.8m．
一十．频数（率）分布直方图（共1小题）
11．（2023 陕西）某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场”中随机抽取了20棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数．其数据如下：28，36，37，39，42，45，46，47，48，50，54，54，54，54，55，60，62，62，63，64．通过对以上数据的分析整理，绘制了统计图表：
分组 频数 组内小西红柿的总个数
25≤x＜35 1 28
35≤x＜45 n 154
45≤x＜55 9 452
55≤x＜65 6 366
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图：这20个数据的众数是 　54　；
（2）求这20个数据的平均数；
（3）“校园农场”中共有300棵这种西红柿植株，请估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数．
【答案】（1）补全频数分布直方图见解答；54；
（2）50；
（3）15000个．
【解答】解：（1）由题意得，n＝20﹣1﹣9﹣6＝4，
补全频数分布直方图如下
这20个数据中，54出现的次数最多，故众数为54．
故答案为：54；
（2）．
∴这20个数据的平均数是50；
（3）所求总个数：50×300＝15000（个）．
∴估计这300棵西红柿植株上小西红柿的总个数是15000个．
一十一．众数（共1小题）
12．（2021 陕西）今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这60天的日平均气温的中位数为 　19.5℃　，众数为 　19℃　；
（2）求这60天的日平均气温的平均数；
（3）若日平均气温在18℃～21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”．请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数．
【答案】（1）19.5℃，19℃；（2）20℃；（3）20天．
【解答】解：（1）这60天的日平均气温的中位数为＝19.5（℃），众数为19℃，
故答案为：19.5℃，19℃；
（2）这60天的日平均气温的平均数为×（17×5+18×12+19×13+20×9+21×6+22×4+23×6+24×5）＝20（℃）；
（3）∵×30＝20（天），
∴估计西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20天．
一十二．列表法与树状图法（共3小题）
13．（2022 陕西）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是 　　；
（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的结果有4种，
∴所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率为＝．
14．（2021 陕西）现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．
（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为 　　；
（2）分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，
∴摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率为＝．
15．（2021 陕西）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 　　；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为＝，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，
∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为＝．
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（容易题）知识点分类
一．实数的性质（共1小题）
1．（2021 陕西）计算：|﹣3|﹣2×．
二．实数的运算（共1小题）
2．（2023 陕西）计算：．
三．分式的混合运算（共2小题）
3．（2022 陕西）化简：（+1）÷．
4．（2023 陕西）化简：（）．
四．零指数幂（共1小题）
5．（2022 陕西）计算：5×（﹣3）+|﹣|﹣（）0．
五．二次根式的混合运算（共1小题）
6．（2022 陕西）计算：5×（﹣2）+×﹣（）﹣1．
六．一元一次方程的应用（共1小题）
7．（2023 陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．
七．解分式方程（共1小题）
8．（2022 陕西）解方程：＝+1．
八．一元一次不等式的整数解（共1小题）
9．（2022 陕西）求不等式﹣1＜的正整数解．
九．解一元一次不等式组（共1小题）
10．（2021 陕西）解不等式组：．
一十．全等三角形的判定与性质（共2小题）
11．（2022 陕西）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．
12．（2022 陕西）如图，点E，F在△ABC的边AC上，且EF＝BC，DE∥BC，∠DFE＝∠B．求证：DE＝AC．
一十一．勾股定理的证明（共1小题）
13．（2022 陕西）我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．如图，在10×15的正方形网格中，将弦图ABCD放大，使点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′．
（1）A′C′与AC的比值为 　 　；
（2）补全弦图A′B′C′D′．
陕西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（容易题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的性质（共1小题）
1．（2021 陕西）计算：|﹣3|﹣2×．
【答案】3﹣7．
【解答】解：原式＝3﹣﹣2×3
＝3﹣﹣6
＝3﹣7．
二．实数的运算（共1小题）
2．（2023 陕西）计算：．
【答案】﹣5+1．
【解答】解：原式＝﹣5﹣7+|﹣8|
＝
＝﹣5+1．
三．分式的混合运算（共2小题）
3．（2022 陕西）化简：（+1）÷．
【答案】a+1．
【解答】解：（+1）÷
＝
＝
＝a+1．
4．（2023 陕西）化简：（）．
【答案】．
【解答】解：（）
＝
＝
＝
＝．
四．零指数幂（共1小题）
5．（2022 陕西）计算：5×（﹣3）+|﹣|﹣（）0．
【答案】﹣16+．
【解答】解：5×（﹣3）+|﹣|﹣（）0
＝﹣15+﹣1
＝﹣16+．
五．二次根式的混合运算（共1小题）
6．（2022 陕西）计算：5×（﹣2）+×﹣（）﹣1．
【答案】﹣9．
【解答】解：原式＝﹣10+﹣3
＝﹣10+4﹣3
＝﹣9．
六．一元一次方程的应用（共1小题）
7．（2023 陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是（x﹣3）元，
∵买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，
∴4x+6（x﹣3）＝62，
解得：x＝8；
答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元．
七．解分式方程（共1小题）
8．（2022 陕西）解方程：＝+1．
【答案】x＝﹣3．
【解答】解：两边同时乘以x（x﹣3）得：
（x﹣3）（x+3）＝6x+x（x﹣3），
∴3x＝﹣9，
解得x＝﹣3，
把x＝﹣3代入最简公分母得：
x（x﹣3）＝﹣3×（﹣3﹣3）＝18≠0，
∴x＝﹣3是原方程的解，
∴原方程的解是x＝﹣3．
八．一元一次不等式的整数解（共1小题）
9．（2022 陕西）求不等式﹣1＜的正整数解．
【答案】不等式的正整数解有4，3，2，1．
【解答】解：两边同时乘以4得：2x﹣4＜x+1，
移项得：2x﹣x＜1+4，
合并同类项得：x＜5，
∴不等式的正整数解有：4，3，2，1．
九．解一元一次不等式组（共1小题）
10．（2021 陕西）解不等式组：．
【答案】x＜﹣1．
【解答】解：解不等式x+5＜4，得：x＜﹣1，
解不等式≥2x﹣1，得：x≤3，
∴不等式组的解集为x＜﹣1．
一十．全等三角形的判定与性质（共2小题）
11．（2022 陕西）如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B，
在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（ASA），
∴DE＝BC．
12．（2022 陕西）如图，点E，F在△ABC的边AC上，且EF＝BC，DE∥BC，∠DFE＝∠B．求证：DE＝AC．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠C，
在△DEF和△ACB中，
，
∴△DEF≌△ACB（ASA），
∴DE＝AC．
一十一．勾股定理的证明（共1小题）
13．（2022 陕西）我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．如图，在10×15的正方形网格中，将弦图ABCD放大，使点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′．
（1）A′C′与AC的比值为 　2　；
（2）补全弦图A′B′C′D′．
【答案】（1）2；
（2）补全弦图A′B′C′D′见解答过程．
【解答】解：（1）观察正方形ABCD和正方形A'B'C'D'可知，A'B'＝2AB，B'C'＝2BC，C'D'＝2CD，A'D'＝2AD，
∴正方形ABCD放大为原来的2倍即得正方形A'B'C'D'，
∴A′C′与AC的比值为2；
故答案为：2；
（2）补全弦图A′B′C′D′如下：
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑