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圆复习资料
一．与圆有关的概念和定理
⑴弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
⑵直径：经过圆心的弦叫做直径，是圆中最长的弦。
⑶弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
⑷半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都是叫做半圆。
⑸优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
⑹劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
⑺同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
⑻等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
⑼等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
⑽经过两点的圆：以连结这两点的线段的垂直平分线上的任一点为圆心，以这一点与已知两点间的一个的距离为半径就可以作出。这样的圆也有无数个。
⑾经过三点的圆：①经过在同一直线上的三个点不能作圆；
②过不在同一直线上的三点可以作且只可以作一个圆。
作法是：连结任意两点并作这两点间线段的垂直平分线，再连结两点并作这两点间线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心。以圆心到已知任一点的距离为半径就可以作圆了。
⑿三角形的外心：①经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
②外心：三角形三边垂直平分线的交点。
⒀圆的对称性：①圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
②圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
⒁垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
⒂圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
①定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦的弦心距中有一组
量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
⒃圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角。
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
例：1.判断命题是否正确：
弦是直径（ ）
三点确定一个圆（ ）
相等的弦对应相等的圆心角（ ）
④三角形的外心到三个顶点的距离相等（ ）
2．⊙O中，弧AB=弧AC，∠B=70°，则∠C=____°；AB=7cm，则AC=_____cm。
3．AB是⊙O的直径，AC、CD、DE、EB都是⊙O 的弦，且AC=CD=DE=EB，则∠AOC=__________°；
4． 一个圆中最长的弦为10cm，则该圆的半径为________________；
5． ⊙O中，弧AB=弧CD，若∠CED=30°，则∠AFB=__________°；
6． AB=AC=2cm，∠BDC=60°，则△ABC的周长为___________cm；
7． AB是⊙O的直径，∠B=40°则∠A=_________°；
8．∠A是⊙O的一个圆周角，∠A=40°，则∠BOC=__________°；
9．在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠AOC=130°，则∠D=__________°；
10．在⊙O中， OE⊥CD，垂足为E，若CO=5，OE=3，则弦CD的长为__________；
11．△ABC中，点D为边AB上的中点，且2CD=AB，∠A=40°，则∠B=______°
二．与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：①点在圆外 d＞r；②点在圆上 d=r；③点在圆内 d＜r
例：12.点A是⊙O上的一点，OA=10cm，则⊙O的直径是_______cm；
13.点A在⊙O外，点B在⊙O内，则线段OA和OB的大小关系是____________；
2．直线与圆的位置关系
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么
①直线l与⊙O相交 d＜r； 两个交点
②直线l与⊙O相切 d=r； 一个交点
③直线l与⊙O相离 d＞r； 没有交点
⑴定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线是圆的切线。
⑵定理：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
⑶与三角形（多边形）内切圆有关的一些概念
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内
心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形内心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
③ 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。
⑷切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。如图，PA=PB，∠APO=∠BPO
例：a.⑴已知点O到直线AB的距离为3cm，⊙O半径r=4cm，
则直线AB与⊙O的交点个数是________个；
⑵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，以点A为圆心，6cm为半径的作圆，则⊙A与直线BC的位置关系是__________（相交、相切、相离）；
⑶直线AB与⊙O 相切与点C，连结OC，则∠OCB= __________；
⑷已知点O是△ABC的内心，若∠AOB=130°，则∠C=__________；
⑸⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别切于点D、E、F，且
∠DOE=120°，∠EOF=150°，则∠A=__________；
⑹已知PA与PB是⊙O 的切线，若PA=3cm，则PB=__________；
⑺PA与PB是⊙O 的切线，A、B为切点，AC是⊙O 的直径，∠ABC=20°，则∠P=___________；
⑻AB为⊙O 的直径，P为AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，若PB=2，
AB=6，则PC=__________；
b．在△0AB中，OA=OB=2cm，⊙O的半径为1cm，当∠AOB=__________时，直线AB与⊙O 相切，当∠AOB______________时，直线AB与⊙O 相离，
当∠AOB_____________时，直线AB与⊙O 相交；
c．⑴线段AP经过圆心O，交⊙O于点B、C，∠PAC=∠P=30°，边PC交圆于点C，说明直线PC是⊙O的切线。
⑵AB是⊙O的直径，∠DAC=∠B，说明AD是⊙O的切线。
3．圆与圆的位置关系
如果两圆的半径为R和r（R＞r），圆心距为d,那么
①两圆外离 d＞R+r； 无交点
②两圆外切 d = R+r； 一个交点
③两圆相交 R+r＞d＞R-r； 两个交点
④两圆内切 d = R-r 一个交点
⑤两圆内含 d ＜ R-r 无交点
例：⑴已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3和4，
当O1O2=8cm时，⊙O1与⊙O2的位置关系是__________；
当O1O2=1cm时，⊙O1与⊙O2的位置关系是__________；
⑵相切的两圆的半径分别为18cm和12cm，则两圆的圆心距为___________；
⑶三角形的三边长为5cm、12cm、13cm，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，则这三个圆中半径最长的是____________cm。
三．圆中计算问题
圆的周长公式：C=2πR 弧长公式：l=
圆的面积公式：S=πR2 扇形面积公式：S=  =lR
圆锥的侧面积：S侧=l·2πR=πRl（l为圆锥母线长，R为底面圆半径）
圆锥的表面积：S表= S侧+S底=πR（l+R） （l为母线长，R为底面圆半径）
圆柱的表面积：S表= S侧+2S底=2πRh+2πR2=2πR（h+R）
（h为圆柱高，R为底面圆半径）
例：a.⑴已知圆弧的半径为10cm，圆心角为60°，则该圆弧的长度为_____cm；
⑵扇形的面积是它所在圆面积的一半，则这个扇形的圆心角度是________；⑶圆锥的底面半径长2cm，母线长是4cm，该圆锥侧面展开图面积为______cm；⑷圆柱形的水池的底面半径为4m，池深1.2m，在池的内壁与底面抹上水泥，
则抹水泥部分的面积是___________ m2；
⑸一个矩形纸片两边分别是8cm和6cm，用它围成一个
圆柱（接缝不计），则所得圆柱的侧面积为________m2；
⑹Rt△ABC，AB=4cm，BC=3cm，以直线AB为轴旋转一周
所形成的圆锥的表面积是___________ m2；
b．一个小孩荡秋千，如图秋千链子的长OA为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD=60°，并且两边的摆角相同。①求秋千摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度差；②求秋千从B点摆动至D点所走过的路程（精确到0.01m）

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