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2007年中考数学试题分类-投影与相似
（2007年芜湖市）如图， 在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3、AE=4，则CH的长是 ( )
A． 1 B． 2 C． 3 D．4
（2007年韶关市）如图1，CD是Rt△ABC斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（ ）
A.0对 B.1对 C. 2对 D.3对
（2007年韶关市）小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
（2007年十堰）如图所示，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA、OB、OC上取一点A’、B’、C’，使得，连结A’B’、B’C’、C’A’，所得△A’B’C’与△ABC是否相似？证明你的结论。

（2007年南昌市）在中，，，在中，，，要使与相似，需添加的一个条件是 （写出一种情况即可）．
（2007年滨州）如图11，在和中，，，．
（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？
（2）能否分别过在这两个三角形中各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．
（2007年荆州市）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过C作CE∥AB，P是梯形ABCD内一点，连接BP并延长交CD于F，CE于E，再连接PC．已知BP＝PC，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠E C．△PFC∽△PCE D．△EFC∽△ECB．

（2007年荆门市）圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（如图所示）．已知桌面的直径米，桌面距离地面1米．若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（　　）
Ａ．平方米 Ｂ．平方米
Ｃ．平方米 Ｄ．平方米
（2007年泰安）如图，在中，，是边上的高，是边上的一个动点（不与重合），，，垂足分别为．
（1）求证：；
（2）与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；
（3）当时，为等腰直角三角形吗？并说明理由．
（2007年泰安）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，
且，下列结论：①，②，
③，④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点P，AB=4，CD=7，AD=10，则AP的长等于【 】
A. B. C. D.
(2007年安徽)如图，DE分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等。设BC=a，AC=b，AB=c。
⑴求AE和BD的长；
⑵若∠BAC=90°，△ABC的面积为S，求证：S=AE·BD
（2007年常州市）如图，已知，，，，，
则 °， ， ．

（2007年遵义市）如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，与的比叫做黄金比，其比值是（ ）
A． B． C． D．

（2007年遵义市）如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿方向平移得到．如果，，，则图中阴影部分面积为 ．

（2007年无锡市）王大伯要做一张如图1的梯子，梯子共有8级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度，最下面一级踏板的长度．木工师傅在制作这些踏板时，截取的木板要比踏板长，以保证在每级踏板的两个外端各做出一个长为4cm的榫头（如图2所示），以此来固定踏板．现市场上有长度为2.1m的木板可以用来制作梯子的踏板（木板的宽厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），请问：制作这些踏板，王大伯最少需要买几块这样的木板？请说明理由．（不考虑锯缝的损耗）

（2007年潜江市仙桃市）如图①，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，OA=5，OC=4.
（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标；
（2）如图②，若AE上有一动点P（不与A、E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒，过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间之间的函数关系式；当取何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M的坐标.

（2007年潜江市仙桃市）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，过B点作BC∥OD交⊙O于点C，连接OC、AC，AC交OD于点E.
（1）求证：△COE∽△ABC；
（2）若AB=2，AD=，求图中阴影部分的面积.
（2007年潜江市仙桃市）小华在距离路灯6米的地方，发现自己在地面上的影长是2米，如果小华的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是 米.
（2007年济南市）已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为，，．
（1）求过点的直线的函数表达式；
（2）在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，如分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由．

（2007年湘潭市）如图，用两根等长的钢条和交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度．设，且量得，则内槽的宽等于（ ）
A． B．
C． D．`
（2007年泸州）已知△ABC与△相似，且, 则△ABC与
△的面积比为
A．1：1 B．1：2
C．1：4 D．1：8
（2007年佛山市）在中，，
点在所在的直线上运动，作
（按逆时针方向）．
（1）如图1，若点在线段上运动，交于．
①求证：；
②当是等腰三角形时，求的长．
（2）①如图2，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由；
②如图3，若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．
（2007年佛山市）如图，地面处有一支燃烧的蜡烛（长度不计），一个人在与墙之间运动，则他在墙上投影长度随着他离墙的距离变小而 （填“变大”、“变小”或“不变”）．
（2007年连云港）右图是一山谷的横断面示意图，宽为，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出，，，（点在同一条水平线上）则该山谷的深为 ．

(2007年黄冈市)已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设秒后，直线PQ交OB于点D.
（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）当时，求t的值及此时直线PQ的解析式；
（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与不相似？请给出你的结论，并加以证明.
（2007年盐城市）某一时刻，身高为165cm的小芳影长为55cm，此时，小玲在同一地点测得旗杆的影长为5m，则该旗杆的高度为　　　　m．
（2007年浙江宁波市）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为( )
(A)24m (B)22m (C)20 m (D)18 m
（2007年浙江宁波市）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
(1)求AD的长．
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
（2007年扬州市）如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．
（1）若厘米，秒，则______厘米；
（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
（2007年双柏县）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．
(1)求点B的坐标；
(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且，求这时点P的坐标．
（2007年济宁）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE。过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ。
(1)求证：△PBE∽△QAB；
(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如补相似请说明理由；
(3)如果直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？
（2007年温州市）星期天小川和他爸爸到公园散步，小川身高是160cm，在阳光下他的影长为80cm，爸爸身高180cm，则此时爸爸的影长为＿＿＿＿cm.
（2007年清流县）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的正方形的顶点上．
(1)填空：∠ABC＝_______°；BC＝________；
(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
（2007年烟台）如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的
A．甲 　　B．乙
C．丙 D．丁

（2007年烟台）如图，电影胶片上每一个图片的规格为3．5 cm×3．5 cm，放映屏幕的规格为
2 m×2 m，若放映机的光源S距胶片2 0 cm，那么光源S距屏幕 ，米时，放映的
图象刚好布满整个屏幕．
（2007年梅州市）如图1，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由处走
到处这一过程中，他在地上的影子（ ）
Ａ．逐渐变短 Ｂ．逐渐变长
Ｃ．先变短后变长 Ｄ．先变长后变短

（2007年梅州市）在中国地理地图册上，连结上海、香港、台湾三地构
成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图3所示．
飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台
湾绕道香港再到上海的飞行距离约为 千米．
（2007年金华市）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律。如衅，在同一时刻，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC的长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m。（1）请你在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子B1C1的长；当小明继续走剩下路程的到B2处时，求影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的到B3处时，……按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到Bn处时，其影子BnCn的长 m。（直接用n的代数式表示）。
（1）
（2）由题意得：，
，，（m）．
（3），，
设长为，则，解得：（m），即（m）．
同理，解得（m），．
（2007年武汉）为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案。小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中。如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0.01m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236)是（ ）。
A、0.62m B、0.76m C、1.24m D、1.62m

（2007年武汉）你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直。当一方着地时，另一方上升到最高点。问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA’、BB’有何数量关系？为什么？

（2007年怀化市）九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求旗杆的高度．

（2007年湖州）已知△ABC中，D是AC上一点，以AD为一边，作∠ADE，使∠ADE的另一边与AB相交于点E，且△ADE∽△ABC，其中AD的对应边为AB．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2007年邵阳）如图（三），中，点分别是边长的中点，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．

（2007年邵阳）如图（十一），直线与轴，轴分别相交于点．将绕点按顺时针方向旋转角（），可得．
（1）求点的坐标；
（2）当点落在直线上时，直线与相交于点，和的重叠部分为（图①）．求证：；
（3）除了（2）中的情况外，是否还存在和的重叠部分与相似，若存在，请指出旋转角的度数；若不存在，请说明理由；
（4）当时（图②），与分别相交于点与相交于点，试求与的重叠部分（即四边形）的面积．
（2007年长沙）如图，中，，，，为上一动点（不与重合），作于，，的延长线交于点，设，的面积为．
（1）求证：；
（2）求用表示的函数表达式，并写出的取值范围；
（3）当运动到何处时，有最大值，最大值为多少？
、（2007年福州）如图，∠AOB＝45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为，，，，…。观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积＝_______________。76
如图，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系。点D的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6），点F在对角线AC上运动（点F不与点A、C重合），过点F作x轴、y轴的垂线，垂足为G、E。设四边形BCFE的面积为，四边形CDGF的面积为，△AFG的面积为。
（1）试判断、的关系，并加以证明；
（2）当∶＝1∶3时，求点F的坐标；
（3）如图，在（2）的条件下，把△AEF沿对角线AC所在的直线平移，得到△A′E′F′，且A′、F′两点始终在直线AC上。是否存在这样的点E′，使点E′到x轴的距离与到y轴的距离之比为5∶4。若存在，请求出点E′的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）S1 = S2
证明：如图10，∵ FE⊥轴，FG⊥轴，∠BAD = 90°,
∴ 四边形AEFG是矩形 .
∴ AE = GF，EF = AG .
∴ S△AEF = S△AFG ,同理S△ABC = S△ACD .
∴ S△ABC-S△AEF = S△ACD-S△AFG . 即S1 = S2 .
（2）∵FG∥CD , ∴ △AFG ∽ △ACD .
∴ .
∴ FG = CD， AG =AD .
∵ CD = BA = 6， AD = BC = 8 , ∴ FG = 3，AG = 4 . ∴ F（3，4）。
（3）解法一：∵ △A′E′F′是由△AEF沿直线AC平移得到的 ,
∴ E′A′= E A = 3，E′F′= E F = 4 .① 如图11-1
∵ 点E′到轴的距离与到轴的距离比是5∶4 , 若点E′在第一象限 ,
∴设E′（4, 5）且 > 0 ,
延长E′A′交轴于M ，得A′M = 5-3, AM = 4.
∵ ∠E′=∠A′M A = 90°, ∠E′A′F′=∠ M A′A ,
∴ △ E′A′F′∽△ M A′A ，得 .
∴ . ∴ = ，E′( 6, ) .

② 如图11-2
∵ 点E′到轴的距离与到轴的距离比是5∶4 ,
若点E′在第二象限，∴设E′（-4, 5）且 > 0,
得NA = 4, A′N = 3 - 5，
同理得△A′F′E′∽ △A′AN .
∴ ， .
∴ a = ， ∴ E′(, ) .
③ 如图11-3
∵ 点E′到轴的距离与到轴的距离比是5∶4 ,
若点E′在第三象限，∴设E′（ -4,- 5 ）且 > 0.
延长E′F′交轴于点P，得AP = 5, P F′= 4 - 4 .
同理得△A′E′F′∽△A P F′ ，得，
.∴ = （不合舍去）.
∴ 在第三象限不存在点E′.
④ 点E′不可能在第四象限 .
∴ 存在满足条件的E′坐标分别是( 6, ) 、(, ) .
解法二：如图11-4，∵△A′E′F′是由△AEF沿直线AC平移得到的,且A′、F′两点始终在直线AC上,
∴ 点E′在过点E（0，3）且与直线AC平行的直线l上移动.
∵ 直线AC的解析式是,
∴ 直线l的解析式是 .
根据题意满足条件的点E′的坐标设为（4, 5）或（ -4,5）或（ -4,-5）,其中 > 0 .
∵点E′在直线l上 , ∴ 或 或
解得（不合舍去）. ∴ E′（6, ）或E′（, ）.
∴ 存在满足条件的E′坐标分别是( 6 , ) 、(, ) .
解法三：
∵ △A′E′F′是由△AEF沿直线AC平移得到的,且A′、F′两点始终在直线AC上 ,
∴ 点E′在过点E（0，3）且与直线AC平行的直线l上移动 .
∵ 直线AC的解析式是, ∴ 直线L的解析式是.
设点E′为（, ） ∵ 点E′到轴的距离与到轴的距离比是5︰4 ,∴ .
① 当、为同号时，得 解得 ∴ E′（6, 7.5）.
② 当、为异号时，得 解得 ∴ E′（, ）.
∴存在满足条件的E′坐标分别是( 6, ) 、( , )
（2005年杭州）如图，用放大镜将图形放大，应该属于（　　）
Ａ．相似变换 Ｂ．平移变换 Ｃ．对称变换 Ｄ．旋转变换

（2005年杭州）如图，已知，，的中垂线交于点，交于点．有下面个结论：
①射线是的平分线；
②是等腰三角形；
③；
④．
（1）判断其中正确的结论是哪几个？
（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明．
（2007年威海）如图，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求的度数．
（2007年台州）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上，点在轴上，将边折叠，使点落在边的点处．已知折叠，且．
（1）判断与是否相似？请说明理由；
（2）求直线与轴交点的坐标；
（3）是否存在过点的直线，使直线、直线与轴所围成的三角形和直线、直线与轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．

（2007年上海市）如图2，为平行四边形的边延长线上一点，连结，交边于点．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形： ．

（2007年益阳市）在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度。在阳光下，测得身高1.65米的黄丽同学BC的影厂BA为1.1米，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为12.1米。
（1）请你在图7中画出此时教学楼DE在阳光下的投影DF。
（2）请你根据已测得的数据，求出教学楼DE的高度（精确到0.1米）。

(2007年德阳)如图，已知等腰的面积为，点分别是边的中点，则梯形的面积为______．

(2007年冷水滩区)如图，已知，在△ABC中，BE=8，AC=4，∠C=60°，EF∥BC，点E、F、D分别在AB、AC、BC上(点E与点A、B不重合)，连接ED、DF，设EF=x，△EFD的面积为y，
(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当点F在AC上的哪一个位置时，△EFD的面积最大，是多少?
(3)试问：在BC上是否存在点D，使得△EFD是等腰直角三角形?若存在，求出EF的长；若不存在，请简要说明理由；
(2007年冷水滩区)如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC的延长线上一点，DF平分CE于G，则△CFG与△BFD的面积之比_______
（2007年巴中）如图6，将各顶点的横纵坐标分别乘以作为对应顶点的横纵坐标，得到所得的．
图中画出所得的（4分）②猜想与的关系，并说明理由（5分）

（2007年浙江舟山）如图，已知AB=AC,∠A=36o，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M．有下面4个结论：
①射线BD是么ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；
③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD．
(1)判断其中正确的结论是哪几个?
(2)从你认为是正确的结论中选一个加以证明．
（2007年永州）如图，添上条件：_______，则△ABC∽△ADE。
12．（2007年青岛）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 cm.
答案：16
解析：（2007年青岛）本题主要考察投影问题。由于光线是直线，所以在解有关投影和视线问题的时候，经常需要构造三角形，然后在题目中寻找相似三角形，利用三角形和相似三角形的有关性质来解题。投影问题主要运用的是相似三角形有关知识解题的，由题目可以发现，△AOB∽△COD，可得到比例关系式，可以求得CD＝16.
（2007年内江）如图（12），在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，动点E（与点A，C 不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于F 点．
（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；
（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；
（3）试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长．

（2007年枣庄）如图所示，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为ａ(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D．若AC=3，BD=6,CD=12,则tanａ的值为
(A) (B) (C) (D)

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