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竞赛中的三角函数例题选讲
【内容综述】
一．三角函数的性质
1．正，余弦函数的有界性
对任意角，，　
2．奇偶性与图象的对称性
正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称，并且y=sinx的图象还关于直线对称：余弦函数是偶函数，从而y=cosx的图象关于y轴对称，并且其图象还关于直线对称
3．单调性
y=sinx在上单调递增，在上单调递减：y=cosx在上单调递增，在上单调递减；y=tanx在上都是单调递增的；y=cotx在上都是单调递减的。
4．周期性
y=sinx与y=cosx的最小正周期是2π，y=tanx与y=cosxr 的最小正周期是π。
　　【例题分析】
　　 例1 已知圆至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小值点，求实数k的取值范围。
　　解 因为是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆也关于原点对称，所以，图只需覆盖的一个最值点即可。
　　令，可解得的图象上距原点最近的一个最大值点，依题意，此点到原点的距离不超过|k|，即
　　
　　
　　综上可知，所求的K 为满足的一切实数。
　　例2 已知，且
　　
　　求 cos(x+2y)的值。
　　解 原方程组可化为
　　
　　因为所以令 ，则在上是单调递增的，于是由
　　得 f(x)=f(-2y)
　　得 x=-2y
　　即 x+2y=0
　　
　　例3 求出（并予以证明）函数
　　解 首先，对任意，均有
　　
　　
　　这表明，是函数f(x)的一个周期
　　其次，设，T是f(x)的一个周期，则对任意，均有
　　
　　在上式中，令x=0，则有
　　。
　　两边平方，可知
　　
　　即 sin2T=0，这表明，矛盾。
　　综上可知，函数的最小正周期为。
　　例3 求证：在区间内存在唯一的两个数，使得
　　sin(cosc)=c, cos(sind)=d
　　证，构造函数
　　f(x)=cos(sinx)-x
　　f(x)在区间内是单调递减的，由于
　　f(0)=cos(sin0)-0=1>0.
　　
　　故存在唯一的，使f(d)=0，即
　　cos(sind)=d
　　对上述两边取正弦，并令c=sind，有
　　sin(cos(sind))=sind
　　sin(cosc)=c
　　显然，由于y=sinx在是单调递增的，且d是唯一的，所以c也是唯一的，且
　　例4 已知对任意实数x，均有
　　
　　求证：
　　证 首先，f(x)可以写成
　　①
　　其中是常数，且，
　　
　　在①式中，分别令和得
　　②
　　③
　　②+③，得
　　
　　
　　又在①式中分别令，得
　　④
　　⑤
　　由④+⑤，得
　　
【能力训练】
（A组）
1．求函数的单调递增区间
2．已知是偶函数，，求
3．设，，试比较的大小。
4．证明：对所以实数x,y，均有
5．已知为偶函数，且t满足不等式，求t的值。
（B组）
6．已知，且满足：
（1）；（2）；
（3）。
求f(x)的解析式
7．证明：对任意正实数x,y以及实数均有不等式
8．已知当时，不等式
恒成立，求的取值范围。
9．设，，求乘积的最大值和最小值。
参考答案
【能力训练】
A组
　　1．
　　2．由偶函数的定义，有
　　
　　
　　
　　上式对任意成立，故
　　
　　所以
　　3．首先，又
　　
　　
　　，
　　即
　　4．只需证明不能同时成立，若不然，则存在整数m,n,k,使得
　　
　　
　　即
　　矛盾
　　5．由题设，得
　　
　　即
　　由于上式对任意x成立，故sint=1，结合，即-1　　B组
　　6．由可得a+2b+4c=1524①
　　（1）当且b>0时，有
　　
　　此方程组与①联立后无解
　　（2）当且b<0 有
　　
　　此时a=4,b=-40, c=400
　　（3）当a>0且有
　　
　　此方程组与①联立后无解。
　　（4）当a<0且，有
　　
　　此方程组与①联立后无解，
　　得上可知，。
　　7．原不等式等价于
　　
　　若，则
　　若
　　故原不等式成立
　　8．令，由条件可得所以在第I象限，原不等式可化为
　　
　　由于结合原不等式对任意x∈[0，1]都成立，可知取最小值亦成立，即
　　
　　
　　
　　9．由条件知，于是
　　

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