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2023年全国高中数学联赛福建赛区预赛暨2023年福建省“德旺杯”高中数学竞赛试卷
一、填空题（本大题共10小题，共80.0分）
1. 已知，是互为共轭的复数，若，，则 ．
2. 盒子中有大小、形状完全相同的个红球和个白球现抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出几点就从盒子中取出几个球则取出的球中红球个数大于白球个数的概率为 ．
3. 在菱形中，，将沿折起得到若二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
4. 在锐角中，，，为外角平分线上的一点若，则实数的取值范围为 ．
5. 已知函数的定义域为限，且为奇函数，为偶函数若，则的值为 ．
6. 若正整数，，满足，则 ．
7. 已知双曲线的离心率为，为右焦点，
点，在右支上设为关于原点的对称点，且若，
则 ．
8. 若正实数，，，满足，，，则
的最大值为 ．
9. 列的前项和，则 符号表示不超过的最大整数
10. 设整数，是整数集，满足，且中任意两个元素的差的绝对值是素数则这样的集合共有 个
二、解答题（本大题共5小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
11. 本小题分
若不等式
对所有正实数，都成立，求的最大值．
12. 本小题分
已知，分别为椭圆的下顶点、上顶点过
点的直线交椭圆于，两点异于点，
若，求直线的值．
13. 本小题分
设的外接圆为圆，是内部一点连接并延长，
与圆交于点连接并延长，与圆交于点连接并延长，与
圆交于点设关于直线的对称点为，关于直线的对称点
为求证：∽．
14. 本小题分
已知函数，其中
讨论在区间内零点的个数
若存在，当时，总有成立，求
符合条件的的最小值．
15. 本小题分
设有序数组同时满足以下个条件：
，，，是，，，的一个排列
，，，，
，，，
不存在，使得．
求这样的有序数组的个数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设，则．
由，得．
由，得
，所以．
将代入得．
因此．
2.【答案】
【解析】解：记从盒子中取出个球，取出的球中红球个数大于白球个数的概率为．
则，，，
，，．
所以取出的球中红球个数大于白球个数的概率为．
3.【答案】
【解析】解：如图，设为，的交点，则为的中点．
由条件知，均为等边三角形．
所以，，是二面角的平面角，，
为等边三角形．
取中点，中点，连接，，则，，于是是
直线与所成的角或补角．
不妨设，则，
．
所以．
所以异面直线与所成的角的余弦值为．
4.【答案】
【解析】解：由得
因此平分，．
又为外角平分线上一点，所以为旁切圆圆心．
如图，作于，于，于，
则，，，
因此．
设，则，由为锐角三角形知．
在中由正弦定理得于是
所以，．
设，则，．
由于，同向，因此．
因为，所以的取值范围为．
5.【答案】
【解析】解：由为奇函数得，
因此，于是，的图象关于点对称．
由为偶函数得，于是，即
，图象关于直线对称．
由上可得，
所以是周期函数，是它的一个周期．
因此，，，
．
．
注：函数符合要求．
6.【答案】或
【解析】解：由题设可知．
因为，
所以，或．
当时，．
因为，
所以，或，或，或，或
解得，此时，．
当时，．
因为，
所以，或．
解得，此时，．
所以或．
7.【答案】
【解析】由离心率，设，则，
设为双曲线的左焦点，，则，
．
由对称性知四边形为矩形，
所以，即，
程得．
又由过焦点可知．
于是，所以，．
8.【答案】
【解析】解：由均值定理知
因为，
同理，，．
所以
另由条件知，，，，
所以
所以，
易知，当时，等号成立．
所以的最大值为．
9.【答案】
【解析】解：由，得，
即．
由知数列为等比数列．
所以，．
所以时，
．
又时，．
所以对一切正整数均有．
所以．
因为时，，．
所以时，．
由此可得，，，．
因此时，
．
又，所以递增，因此．
所以．
10.【答案】
【解析】解：对于任意三个两两不同的奇数偶数，最大的减去最小的一定是不小于的
偶数，为合数，所以集合中奇数至多两个，偶数也至多两个，故．
因为，所以只有如下两种情况：
，或，其中为正整数．
当时，
因为，，是三个连续的奇数，所以它们中恰有一个是的倍
数，因此，，这三个数中恰有一个数是．
若，则，或经检验不满足题设条件，故此
时满足题设条件的．
若，则，或经检验和均不满足题
设条件．
若，则，或经检验不满足题设条件，故此
时满足题设条件的．
当时，
因为，，是三个连续的奇数，所以它们中恰有一个是的倍
数，因此，，这三个数中恰有一个数是．
若，则，或经检验不满足题设条件，故此
时满足题设条件的．
若，则，或经检验和均不满足题
设条件．
若，则，或经检验不满足题设条件，故此
时满足题设条件的．
综上所述，满足题设条件的集合共有个．
11.【答案】解：依题意当时，．
下面证明当时，不等式对所有的正数，都
成立．
因为对于任意正实数，，有
，
所以对于任意正实数，，有，．
所以对所有正数，，有
．
所以当时，不等式对所有的正数，都成立．
所以的最大值为．

【解析】略
12.【答案】解：，．
易知直线斜率存在，设方程为．
由，得．
由，得．
设，，
则，．
由点，在椭圆上知，，，于是
同理，
由，得，又，于是．
由，，可得，，代入，
并整理得，，解得．
因此直线方程为，．
直线方程为，直线方程为．
两直线方程联立，得．
因为
．
所以，解得．
因此，即点在定直线上
设，则
又，因此．

【解析】略
13.【答案】证明：因为在与中，，
，
所以∽，．
由对称性知，，，于是．
又
．
所以∽D.
于是，．
所以
．
故∽．
又，，
所以∽．
所以∽．

【解析】略
14.【答案】解：，
若，则当时，时，．
所以在区间上递增，在上递减．
又，，，
所以存在，，使得，且有时，
时，时，．
于是在区间上递减，在上递增，在上递减．
又，，，
因此在区间内有且仅有个零点．
若，则，在区间内有且仅有个零点．
若，则当时，，
所以，在区间上递增．
又，，
因此在区间内有且仅有个零点．
综上，时，在区间内有且仅有个零点．
设，则问题等价于存在，当时，总有
成立下面考虑时情形．
时，由设为在区间内的零点．
则由可知，时，，．
因此，时，，，在
内递增．
若，
由，知，
存在，满足，且时，．
于是在上递增，因此时，．
可见不符合要求．
若，
由，知，
时，．
于是在上递减，因此时，．
可见取时，，当时，总有成立．
因此符合要求．
综上，符合条件的的最小值为．

【解析】略
15.【答案】解：首先考虑如下问题：
对于圆周上给定的个点，用条互不相交的线段将这个点配成对，不同的配对方
法有多少种下称配对数
设圆周上有个点，用条互不相交的线段将这个点配成对的配对数为，易知
．
当时，设，是这个点中的两个点，且是符合条件的一条线段，则直线
的两侧都有偶数个点，设两侧的点数分别为和，且．
当时，符合条件的配对数有种当，，，时，符合条件的配对数
有种当时，符合条件的配对数有种
于是有．
所以，，，
，
．
因此圆周上给定个点，用条互不相交的线段将这个点配成对的配对数是．
下面建立符合条件的数组与上述个点配对的方式间的一一对应．
设，，，为圆周上逆时针排列的个点，并分别标注数字，，，．
若数组满足条件，将标注为数与的点连成线段
，，由数组满足的条件知，这些线段互不相交，由此得到一种配对方式．
事实上，如果有两条线段相交，设其端点对应的数字为、与、如图，
则数字、、、对应的点在圆周上按照逆时针排列，因此有
．
若，则，由条件不
成立，与矛盾．
若，则，由条件
不成立，与矛盾．
可见按照上述方式所连的条线段两两不相交．
另一方面，对于任何一种将圆周上个点连成互不相交的条线段的方法，必存在，使
得与是这条线段中某一线段的两个端点，设是这样的的最大数，令，
将这条线段及端点删掉，继续寻找以逆时针方向离顺次距离最远的相邻两点构
成的线段除最后一条线段外，其余线段的端点与不重合，在线段两个端点下标的数中，
较小数作为，较大数作为再将这条线段及端点删掉，如此继续下去，最后形成了
如：图形成的数组为
图形成的数组为．
下面说明依据上述方式形成的数组符合要求．
显然上述数组符合条件，．
事实上，按上述方式，以为基准，依逆时针方向看，在弧之间不存在下标比
大的点
由知，对任意正整数，、、、的分布只能为下列种位置情形
图，图．
因此，即数组符合条件．
对于满足的正整数，
若，，对应的点相连，则由知，依逆时针方向看，对应的点不在之间，
故，不成立．
若，，对应的点不相连，则与，对应点的分布只能为下列种位置情形图，图
对第种情形，由知，依逆时针方向看，对应的点不在之间，故
不成立对第中情形，不成立，故，不成立．
因此，对满足的正整数，，不成立故数组符合条件．
综上所述，有序数组的个数是．

【解析】略
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