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苏教六年级数学上册第一单元知识梳理
棱：两个面相交的线叫做棱。
顶点：三条棱相交的点叫做顶点。
长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做长方体的长、宽、高。
长方体的特证：6个面，8个顶点，12条棱。
相对的两个面完全相同，相对的棱长度完全相等。
6个面都是长方形（特殊情况：有两个相对的面是正方形）
长方体中最多只有 2个面是正方形，且其他 4 个面完全相同。
正方体的特征：6个面，8个顶点，12条棱。
6个面都是完全相同的正方形，12条棱的长度都相等。
正方体 是特殊的长方体。正方体具有长方体的所有特征。
长方体棱长总和公式：长方体棱长总和=（长+宽+高）×4
长+宽+高=长方体棱长总和÷4
正方体棱长总和公式：正方体棱长总和=棱长×12
正方体棱长=棱长总和÷12
长方体正方体的相同点与不同点
正方体的展开图：（一共11种）
1-4-1型（6种）
中间4个一连串，两边各一随便放。（中间4个做侧面，上下两个各做上、下面）
2-3-1型（3种） （二三紧连错一个，三一相连一随意）
2-2-2型（1种） 两两相连各错一 3-3-3型（1种 ） 三个两排一对齐
长方体展开图中有 3组 相对的面，相对的面 完全相同 ，相对的面 完全隔开 。
（前后、左右、上下）面展开后不会相邻，中间一定隔着其他的面。
挖小正方体的应用：
1.从顶点挖掉小1个正方体，表面积 不变 ；
2.从棱长中间挖掉1个小正方体，表面积增加 2 个面；
3.从中心面挖掉1个小正方体，表面积增加 4 个面。
（2） （3）
求棱长总和的变化——包扎盒子的丝带要多少长？
需要彩带的长度= 高×4+长×2+宽×2+打结部分长度
长方体的每个面计算：
上面面积=下面面积=长×宽=ab
前面面积=后面面积=长×高=ah
左面面积=右面面积=宽×高=bh
长方体表面积：长方体6个面总面积叫做它的 表面积 。（上面+下面+前面+后面+左面+右面）
表面积公式：（ 上面 + 前面 + 右面）×2
（长×宽 + 长×高 + 宽×高）×2 = 长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2
正方体表面积：正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
表面积公式：棱长×棱长×6
占地面积：就是与地面接触的那1个面。（一个面的面积）
两个棱长总和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等
表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长总和也不一定相等
长方体表面积的变化：（注意求哪几个面的面积）
①　贴商标类型：只求四周面积。
例如：包装盒四周贴上商标；通风管道的面积，火柴盒外套。
②　游泳池类型：只求四周和底面。
例如：游泳池内贴瓷砖，火柴盒内盒。
③　抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。
例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm，12cm，5cm，上面有长14cm，宽3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？
④　粉刷教室型：教室粉刷四壁和顶面，五个面的面积减去门窗黑板面积。
⑤ 占地面积问题：只求底面面积。
小正方体摆放的组合体表面积问题
三视图法：
（上面看到的面的个数+前面看到的面的个数+右面看到的面的个数）×2×一个面的面积
（棱长为1厘米）
物体所占空间的大小叫做物体的 体积 。
容器所能容纳物体的体积，叫做这个容器的 容积 。
常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。
计量容积，一般用体积单位；计量液体的体积，通常用 升 或 毫升 作单位。
一个物体的容积一般都比它的体积小。
当容器壁厚度忽略不计时：体积=容积；否则体积＞容积。
1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米。
高级单位化低级单位乘进率，低级小单位化高级单位除以进率。
长度单位：mm、cm、dm、m 相邻两个单位进率为10
面积单位：mm2、cm22、dm2、m2 相邻两个单位进率为100
体积单位：mm 、cm 、dm 、m 相邻两个单位进率为1000
容积单位：mL、L 相邻两个单位进率为1000
特别的： 1mL = 1cm 1L=1dm
长方体的体积=长×宽×高= abh
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 = a×a×a = a
长方体和正方体的体积=底面积×高 V=sh （h=V÷s s=V÷h）
(统一体积公式） =右面面积×长 (横截面×长)
=前面面积×宽
1.体积相等的两个长方体或者一个长方体与一个正方体，表面积不一定相等，棱长和也不一定相等。
2.体积相等的两个正方体，表面积一定相等，棱长和也一定相等。
3.体积相等的情况下：正方体的表面积比长方体的小；
4.表面积相等的情况下：正方体的体积比长方体的体积大。
正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；
正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；
正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n 倍，体积扩大n 倍
长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长总和变化无规律，表面积变化也无规律，体积扩大a×b×c倍。
小正方体拼大长方体的规律
首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a倍，宽是小正方体棱长的b倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由a×b×c个小正方体组成的。
小正方体拼大正方体的规律
由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要 8个（2×2×2=2 ）（也就是说每条棱上放2个小正方体），接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放3个小正方体即3×3×3=3 =27个，依次类推接下来是4×4×4=4 =64个；5×5×5=5 =125个……
从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。这就要求我们能够熟记一些数的立方：
2 =8 3 =27 4 =64 5 =125 10 =1000
立体图形的切：
（切会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题）
长方体
沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。
沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。
而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面……
正方体
无论沿那个面平行的方向切，都将增加 2个正方形的面，增加的面积均为2a 。
从一个长方体中切出一个最大的正方体
应该以长方体中最短的棱作为切出正方体的棱长，这样的正方体将是能切出的最大正方体，否则切出的将不是正方体。
立体图形的拼：
（两个相同长方体拼一起会使表面积减少，因此存在表面积减少最多或最少的问题）
将较大的面拼一起，表面积减少最多；将较小的面拼一起，表面积减少最少
小正方体拼长方体
例如：用12块大小一样的小正方体拼成一个表面积最小的长方体，是 D拼法，拼成2排2层；
拼成一个表面积最大的长方体用 A拼法，拼成一排。
规律：越接近正方体，相拼的面越多，消失的面越多，拼成的长方体表面积就越小。
若干个正方体一字型排列组合成长方体，表面积的变化情况
每个 都是棱长为1厘米的正方体．
小正方体个数 图形 表面积（平方厘米）
棱长为1厘米的小正方体，1个面的面积是1平方厘米，观察图形可得：每增加1个正方体，表面积就增加 4 个面；由此即可推理出一般规律：当正方体个数为10时，所拼成的长方体表面积是 42平方厘米。
当正方体个数为n时，所拼成的长方体表面积是 4n+ 2 平方厘米。
表面涂色的正方体
（1）一个表面涂色的大正方体，棱长被平均分成n份，变成若干个小正方体，小正方体的个数为 n 个。
在顶点位置的小正方体涂色的面有3个，3面涂色的小正方体有 8 个；
（2）3面涂色的小正方体个数： 8 个。3面涂色的在顶点上，无论分成多少个小正方体，都是8个。
（3）2面涂色的小正方体个数： 12（n-2）个。2面涂色的在棱 上，有12条棱，所以乘12。
（4）1面涂色的小正方体个数： 6（n-2） 个。1面涂色的在面 上，有6个面，所以乘6。
（5）没有涂色的小正方体个数： （n-2） 个。没有涂色的在体内。
前面和后面的彩带长度=高的长度；
左面和右面的彩带长度=高的长度；
上面和下面的彩带长度=长和宽的长度。
上面面积=8平方厘米
前面面积=5平方厘米
右面面积=5平方厘米
表面积=（8+5+5）×2
=36平方厘米
上面面积=7平方厘米
前面面积=7平方厘米
右面面积=6平方厘米
表面积=（7+7+6）×2
=40平方厘米

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