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高中数学重难点突破
专题四 数列求和与综合问题
知识归纳
一、公式法与分组求和法
1、公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和。
①等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d。
②等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2、分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。
二、倒序相加法与并项求和法
(1)倒序相加法
如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。
(2)并项求和法
在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解。
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050。
三、裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
(2)常见的裂项技巧
①＝－。
②＝。
③＝。
④＝－。
⑤＝。
四、错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。
典例分析
题型一、数列求和
1、分组转化法求数列的和
例1-1、设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*.
(1)证明：an＋2＝3an；
(2)求Sn.
例1-2、已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
2、倒序相加法求数列的和
例2-1、已知f(x)＝(x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.
(1)求证：点P的纵坐标是定值；
(2)若数列{an}的通项公式是an＝f ，求数列{an}的前m项和Sm.
例2-2、已知函数，若 ，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3、并项求和法求数列的和
例3-1、设是数列的前n项和，已知，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
例3-2、已知函数，且，则（ ）
A．20100 B．20500 C．40100 D．10050
4、应用裂项相消法求数列的和
例4-1、设数列满足：，且（），.
（1）求的通项公式：
（2）求数列的前项和.
例4-2、设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，， ．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
5、错位相减法求数列的和
例5-1、已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．
例5-2、已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式；
(Ⅱ)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1 P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.
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6、绝对值数列的和
例6、已知数列为等差数列，其前项和为，且，数列
(1)求的通项公式
(2)求数列的前项和
题型二、数列综合问题
例7-1、在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色。先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25。按此规则一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是(　　)
A．3 971 B．3 972
C．3 973 D．3 974
例7-2、定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于“1”的个数。若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)
A．18个 B．16个
C．14个 D．12个
例7-3、几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　)
A．440　　　　　　　 B．330
C．220 D．110
例7-4、(多选题)在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，；第次得到数列1，，，，，，2；．记，数列的前项和为，则　　
A． B．
C． D．
例7-5、表示不超过的最大整数．若，
，
，
，则__________．
题型三、数列与其它知识交汇问题
数列与几何
例8-1、如图，在面积为1的正方形内做四边形，使，以此类推，在四边形内再做四边形，记四边形的面积为，2，3，，，则　　
A． B．
C． D．
数列与函数
例8-2、已知函数，当，时，把函数的所有零点依次记为，，，，，且，记数列的前项和为，则　　．
数列与不等式
例8-3、已知数列的前项和为，对任意，有，且恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
例8-4、已知是各项均不为零的等差数列的前项和，且，使不等式成立，则实数的最大值是　　．
数列与圆锥曲线
例8-5、已知曲线的方程为，过平面上一点作的两条切线，切点分别为，且满足，记的轨迹为，过一点作的两条切线，切点分别为，且满足，记的轨迹为，按上述规律一直进行下去，设点与之间距离的最小值为，且为数列的前项和，则满足的最小的为　　
A．5 B．6
C．7 D．8
例8-6、(多选题)在平面直角坐标系中，是坐标原点，，是圆上两个不同的动点，是，的中点，且满足．设，到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是　　
A．向量与向量所成角为
B．
C．
D．若，则数列的前项和为
例8-7、直线与直线相交于点．直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，，这样一直作下去，可得到一系列点、、、，，点，2，的横坐标构成数列．那么，　　时，为周期数列；　　时，为等比数列．
例8-8、已知一簇双曲线，设双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一动点，三角形的内切圆与轴切于点，，则　　．
例8-9、如图，曲线上的点与轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形，△，△，，△设正三角形的边长为，（记为，，．数列的通项公式　　．
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高中数学重难点突破
专题四 数列求和与综合问题
知识归纳
一、公式法与分组求和法
1、公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和。
①等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d。
②等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2、分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。
二、倒序相加法与并项求和法
(1)倒序相加法
如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。
(2)并项求和法
在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解。
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050。
三、裂项相消法
(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
(2)常见的裂项技巧
①＝－。
②＝。
③＝。
④＝－。
⑤＝。
四、错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。
题型一、数列求和
1、分组转化法求数列的和
例1-1、设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*.
(Ⅰ)证明：an＋2＝3an；
(Ⅱ)求Sn.
解：(Ⅰ)证明：由an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，
可得an＋1＝3Sn－1－Sn＋3，两式相减，
得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an(n≥2)．(3分)
∵a1＝1，a2＝2，∴a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3＝3a1，∴an＋2＝3an.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，an≠0，∴＝3，于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列，数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列，∴a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1，(8分)
于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋9＋…＋
3n－1)＋2(1＋3＋9＋…＋3n－1)＝3(1＋3＋9＋…＋3n－1)＝，
从而S2n－1＝S2n－a2n＝－2×3n－1＝(5×3n－2－1)．
综上所述，
例1-2、已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)令bn＝n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(Ⅰ)∵S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋×2＝4a1＋12.(2分)
又∵S1，S2，S4成等比数列，
∴(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，(4分)
　　∴an＝2n－1.(5分)
(Ⅱ)由题意可知
bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1
＝(－1)n－1.(8分)
　　当n为偶数时，
Tn＝－＋…＋－＝1－＝；(11分)
当n为奇数时，
Tn＝－＋…－＋＝1＋＝.
∴Tn＝或Tn＝.(14分)
2、倒序相加法求数列的和
例2-1、已知f(x)＝(x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，且线段P1P2的中点P的横坐标是.
(Ⅰ)求证：点P的纵坐标是定值；
(Ⅱ)若数列{an}的通项公式是an＝f ，求数列{an}的前m项和Sm.
答案：(Ⅰ)见证明过程　(Ⅱ)Sm＝
解：(Ⅰ)证明：∵P1P2的中点P的横坐标为，
∴＝，∴x1＋x2＝1.
∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，
∴y1＝，y2＝，
∴y1＋y2＝＋＝＝
＝＝＝，
∴点P的纵坐标为＝.
∴点P的纵坐标是定值．
(Ⅱ)Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am＝f ＋f ＋f ＋…＋f
＝f ＋f ＋f ＋…＋f ＋f(1)．
令S＝f ＋f ＋f ＋…＋f ，①
倒序得S＝f ＋f ＋f ＋…＋f ，②
①＋②，得
2S＝＋[f ＋ f ]＋[f＋ f]＋…＋[f＋ f ]
∵＋＝1(k＝1，2，3，…，m－1)，
∴由(Ⅰ)知f ＋f ＝
∴2S＝(m－1)，∴S＝(m－1)．
又f(1)＝＝，
∴Sm＝S＋f(1)＝(m－1)＋＝.
例2-2、已知函数，若 ，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知：
令
又
于是有
因此
所以
当且仅当时取等号
本题正确选项：
3、并项求和法求数列的和
例3-1、设是数列的前n项和，已知，
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求数列的前项和．
【解析】（1）因为，所以当时，
两式相减得， 所以
当时，，，则
所以数列为首项为，公比为的等比数列， 故
（2）由（1）可得
所以
故当为奇数时，
当为偶数时，
综上
例3-2、已知函数，且，则（ ）
A．20100 B．20500 C．40100 D．10050
【答案】A
【解析】，当为偶数时，，
当为奇数时，，
故
．故选A．
4、应用裂项相消法求数列的和
例4-1、设数列满足：，且（），.
（1）求的通项公式：
（2）求数列的前项和.
【解析】(1)由()可知数列是等差数列,设公差为,
因为,所以,解得,
所以的通项公式为:();
(2)由(1)知,
所以数列的前项和:
.
例4-2、设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，， ．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）时，，
当时，符合上式，，
∵为等比数列，，
设的公比为，则，而，
，解得或，
∵单调递增，，．
（2），
．
5、错位相减法求数列的和
例5-1、已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式；
(Ⅱ)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．
解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，
∴q2＋q－6＝0，解得q＝2或－3.
又∵q>0，∴q＝2，∴bn＝2n.(3分)
由b3＝a4－2a1，可得(a1＋3d)－2a1＝8①.
由S11＝11b4，可得11a1＋d＝11×24，即a1＋5d＝16②.
联立①②，解得由此可得an＝3n－2.
综上可知，数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n.(6分)
(Ⅱ)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn.(7分)
由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，
∴Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，①
∴4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，②
①－②，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1
　　＝－4－(3n－1)×4n＋1 ＝－(3n－2)×4n＋1－8，(11分)
∴Tn＝×4n＋1＋，
∴数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4n＋1＋.(13分)
例5-2、已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式；
(Ⅱ)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1 P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.
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解：(Ⅰ)设数列{xn}的公比为q，则q>0且q≠1.
由题意得
∴3q2－5q－2＝0，解得q＝2或－(舍去)．
∴x1＝1，∴数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.(4分)
(Ⅱ)过P1，P2，P3，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q3，…，Qn＋1，
由(Ⅰ)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1.(5分)
记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，由题意知，
bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，(7分)
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2，①
∴2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1，②
①－②，得
－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋23＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1
＝＋－(2n＋1)×2n－1，(10分)
∴Tn＝.(12分)
6、绝对值数列的和
例6、已知数列为等差数列，其前项和为，且，数列
（1）求的通项公式
（2）求数列的前项和
解：（1）
（2）思路：由（1）可得：，所以在求和时首先要考虑项数是否大于5，要进行分类讨论，其次当，求和可分成组分别求和再汇总
解：
当时，
当时，
题型二、数列综合问题
例7-1、在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色。先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25。按此规则一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是(　　)
A．3 971 B．3 972
C．3 973 D．3 974
解析　由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数…根据等差数列的前n项和公式，可知前n组共有个数。由于2 016＝<2 018<＝2 080，因此，第2 018个数是第64组的第2个数。由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，…，第n组最后一个数是n2，因此，第63组最后一个数是632,632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972。故选B。
答案　B
例7-2、定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于“1”的个数。若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)
A．18个 B．16个
C．14个 D．12个
【解析】　解法一：列表法
根据题意得，必有a1＝0，a8＝1，则将0,1进行具体的排法一一列表如下：
由上述表格可知，不同的“规范01数列”共有14个。
解法二：列举法
根据题意可得，必有a1＝0，a8＝1，而其余的各项：a2，a3，…，a7中有三个0和三个1，并且满足对任意k≤8，a1，a2，…，a8中“0”的个数不少于“1”的个数。可以一一列举出不同“规范01数列”，除第一项和第八项外，中间六项的排列如下：
000111,001011,001101,001110,010011,010101,010110,011001,011010,100011,100101,100110,101001,101010，共14个。
例7-3、几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是(　　)
A．440　　　　　　　 B．330
C．220 D．110
A　[设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.
由题意知，N>100，令>100 n≥14且n∈N*，即N出现在第13组之后．
第n组的各项和为＝2n－1，前n组所有项的和为－n＝2n＋1－2－n.
设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则第n＋1组的前k项的和2k－1应与－2－n互为相反数，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3) n最小为29，此时k＝5，则N＝＋5＝440.故选A.
例7-4、(多选题)在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，；第次得到数列1，，，，，，2；．记，数列的前项和为，则　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由，，，，
，，，
由有3项，有5项，有9项，有17项，，
故有项．故错误；
所以，即，故正确；
由，可得，故正确；
由
，故正确．
故选：．
例7-5、表示不超过的最大整数．若，
，
，
，则__________．
【答案】，
【解析】第一个等式，起始数为1，项数为，，
第二个等式，起始数为2，项数为，，
第三个等式，起始数为3，项数为，，
第个等式，起始数为，项数为，，，
故答案为，．
题型三、数列与其它知识交汇问题
数列与几何
例8-1、如图，在面积为1的正方形内做四边形，使，以此类推，在四边形内再做四边形，记四边形的面积为，2，3，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：面积为1的正方形，其边长为1，
由，，
可得，，
则正方形的边长为，
同样可得正方形的边长为，
，
可知，
所以其前项和为，
故选：．
数列与函数
例8-2、已知函数，当，时，把函数的所有零点依次记为，，，，，且，记数列的前项和为，则　　．
【解答】解：，则，即，
令，的周期为，
在一个周期，内有两个根，，
则在，内共有18个根，即，
相邻的两个根都关于对称轴对称，
而的对称轴，，
即，关于对称，，关于对称，，，关于对称，
所以
．
故答案为：．
数列与不等式
例8-3、已知数列的前项和为，对任意，有，且恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，得，
当时，
．
若为偶数，则，为正奇数）；
若为奇数，则，
为正偶数）．
函数为正奇数）为减函数，最大值为，
函数为正偶数）为增函数，最小值为．
若恒成立，
则，即，
即实数的取值范围是，．
故选：．
例8-4、已知是各项均不为零的等差数列的前项和，且，使不等式成立，则实数的最大值是　　．
【解答】解：在等差数列中，，
又已知，，
，，．
则等差数列的首项，公差．
，
．
则不等式成立，
即成立．
存在，使成立，
．
故实数的最大值是．
故答案为：．
数列与圆锥曲线
例8-5、已知曲线的方程为，过平面上一点作的两条切线，切点分别为，且满足，记的轨迹为，过一点作的两条切线，切点分别为，且满足，记的轨迹为，按上述规律一直进行下去，设点与之间距离的最小值为，且为数列的前项和，则满足的最小的为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：设，则，
可得方程．
同理可得的方程为：．
设，
，
同理可得：；
．
数列的前项和，
则满足，解得．
故选：．
例8-6、(多选题)在平面直角坐标系中，是坐标原点，，是圆上两个不同的动点，是，的中点，且满足．设，到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是　　
A．向量与向量所成角为
B．
C．
D．若，则数列的前项和为
【解答】解：因为是，的中点，
所以，
因为，
所以，
即，
解得，所以，故正确；
，故错误；
由可得点在圆上，
，到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍，
点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，
而圆的圆心到直线的距离，
所以，故正确；
若，
则，
所以数列的前项和为
，故正确．
故选：．
例8-7、直线与直线相交于点．直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，，这样一直作下去，可得到一系列点、、、，，点，2，的横坐标构成数列．那么，　1　时，为周期数列；　　时，为等比数列．
【解答】解：设，，由题意可得，，
，，即，
设，即为，
即有，可得，
可得，
由，可得为以为首项、为公比的等比数列，
即为，
则．
故，，即，，2，，2，，，为周期数列；
，，即，，8，，32，，，为等比数列．
故答案为：1，2．
【点评】本题考查直线和数列的综合运用，考查数列递推式的运用，以及构造等比数列法，考查化简运算能力，属于中档题．
例8-8、已知一簇双曲线，设双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一动点，三角形的内切圆与轴切于点，，则　　．
【分析】如图所示，设，与圆分别切于点，．根据内切圆的性质可得：，，，又点是双曲线右支上一动点，
可得，可得．可得．可得：．即可得出结论．
【解答】解：如图所示，设，与圆分别切于点，．
根据内切圆的性质可得：，，，
又点是双曲线右支上一动点，
，．
．可得：．
可得：．
故答案为：．
例8-9、如图，曲线上的点与轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形，△，△，，△设正三角形的边长为，（记为，，．数列的通项公式　　．
【解答】解：由条件可得△为正三角形，且边长为，
，在曲线上，代入中，得，
，，根据题意得点，
代入曲线并整理，得．
当，时，，
即．
，，
当时，，或（舍
，故
数列是首项为，公差为的等差数列，．
故答案为：．
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