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高中数学重难点专题突破
专题三 数列通项公式的解法归纳
典例分析
题型一、累加法
例1-1、已知数列中，已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
例1-2、数列中，且，则_________
例1-3、已知数列满足：，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列的最小项为和 D．数列的最大项为和
例1-4、在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
例1-5、已知数列{an}满足a1＝1，an﹣an+1＝，则a10的值是（　　）
A． B． C． D．
例1-6、已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的取值集合.
题型二、 累积法
例2-1、已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
例2-2、已知数列的前项和为，则数列的通项公式为___________.
例2-3、数列满足：，，则数列的通项公式___________.
题型三、周期数列
例3-1、已知数列满足，则
A．0 B． C． D．
例3-2、数列中，，，，那么
A．1 B．2 C．3 D．-3
例3-3、在数列中，若，并有对且恒成立；则_______________．
题型四、构造二阶等比数列型（待定系数型）
例4-1、已知数列中，，（且），则数列通项公式为（ ）
A． B． C． D．
例4-2、已知数列满足：，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
题型五、 分式递推
例5-1、在数列中，，，则是这个数列的第________________项．
例5-2、已知在数列中，，，则数列的通项公式为______.
例5-3、数列满足：，且 ，则数列的通项公式是=_____．
题型六、构造二阶等差数列
例6-1、数列满足：，且，则数列的前项和__________.
例6-2、数列满足，（），则__________．
例6-3、数列{an}中，，，则
A． B． C． D．
例6-4、如果数列满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型七、 前n项积型
例7-1、已知数列的前项积为，若对，，都有成立，且，，则数列的前10项和为____．
例7-2、若数列的前n项的积为，则_____________.
例7-3、(多选题)设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，且，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列无最大值 D．是数列中的最大值
例7-4、已知各项均不为零的数列的前n项积满足，则________，数列的前n项和________．
题型八、“和”型求通项
例8-1、已知数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为(　 　)
A．5 B． C． D．
例8-2、知数列满足：，且a1=2，则________________．
例8-3、已知数列的前项和为，若，且，则(　 　)
A．－5 B．－10 C．12 D．16
例8-4、若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则______.
题型九、正负相间讨论型
例9-1、已知数列中，，，则___________.
例9-2、列满足，前16项和为540，则 .
例9-3、已知数列满足，则的前40项和为__________．
题型十、奇偶讨论型
例10-1、已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．
(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；
(2)求数列{an}的通项公式．
例10-2、已知数列的首项，且满足，则=________．
例10-3、在数列中，，，则下列结论成立的是(　 　)
A．存在正整数，使得为常数列
B．存在正整数，使得为单调数列
C．对任意的正整数，集合为有限集
D．存在正整数，使得任意的、，当时，
题型十一、 “求和公式换元”型
例11-1、已知数列满足，则_________________．
例11-2、若数列满足,,则______ ．
例11-3、已知数列满足，，则_________________．
题型十二、因式分解型求通项
例12-1、已知正项数列的前项和满足=,则_________________．
例12-2、设是首项为1的正项数列，且，则____，_____.
例12-3、已知数列的各项均为正数，且满足.
（1）求，及的通项公式；
（2）求数列的前项和.
题型十三、其他几类特殊数列求通项
例13-1、已知和满足，，，．
（1）证明：是等比数列，是等差数列；
（2）求和的通项公式；
例13-2、在数列中，，，.
（1）证明为等比数列；
（2）求.
课后作业
1、在数列{an}中，a1=1，(n≥2)，则__________．
2、已知数列中，，，则该数列的通项_______.
3、已知数列中，，，则（ ）
A．3 B． C． D．
4、已知数列满足，，则__________．
5、已知数列中，且，则__________．
6、数列满足，则的前项和为
7、已知数列满足，则的通项公式______．
8、数列,满足,且,.
(1)证明:为等比数列;
(2)求,的通项.
9、已知数列满足,,,.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
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高中数学重难点专题突破
专题三 数列通项公式的解法归纳
典例分析
题型一、累加法
例1-1、已知数列中，已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由得：，，……，，，各式相加可得：，
又，，.故选：B.
例1-2、数列中，且，则_________
【答案】100
【详解】∵ ，∴
∵=9，即=9，解得n=100故填：100
例1-3、已知数列满足：，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．数列的最小项为和 D．数列的最大项为和
【答案】C
【详解】令，则，又，所以，，， ，，
所以累加得，所以，
所以，
所以当时，，当时，，即，当时，，
即，所以数列的最小项为和，故选：C.
例1-4、在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，，则，…，，
由累加法得，，即，
则，所以，故选：D
例1-5、已知数列{an}满足a1＝1，an﹣an+1＝，则a10的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
解：由可得：，
则：＝，
则．故选：C．
例1-6、已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的取值集合.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为，所以.因为，，…，，所以，于是.
当时，，所以.
（2）因为，所以是递增数列.
因为，，，，，
所以，，，，，
于是所有正整数的取值集合为.
题型二、 累积法
例2-1、已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
试题解析：（Ⅰ）因为，故，得；（也可以累积法）
设，所以，，，又因为，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，故，故.
（Ⅱ）略.
例2-2、已知数列的前项和为，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【详解】
由，可得当时，，
则，即，故，
所以.
当满足.故数列的通项公式为.
故答案为：
例2-3、数列满足：，，则数列的通项公式___________.
【答案】
解：因为①；当时，②；
①减②得，即，所以，所以，所以所以，，，……，，
所以，所以，又，所以，当时也成立，所以故答案为：
题型三、周期数列
例3-1、已知数列满足，则
A．0 B． C． D．
【答案】A
【详解】
由上述可知，数列是每三项一次循环的数列，
则有故选A．
例3-2、数列中，，，，那么
A．1 B．2 C．3 D．-3
【答案】B
【详解】由题意，得，，，，，…，由此发现数列是以6为周期的数列，又，所以，故正确答案为B.
例3-3、在数列中，若，并有对且恒成立；则_______________．
【答案】
解：由条件及，得，
即（且），则，从而知是数列的一个周期；
由，及，得；故故答案为：.
另解：由，又即对且，可得从而知是数列的一个周期；
故.故答案为：
题型四、构造二阶等比数列型（待定系数型）
例4-1、已知数列中，，（且），则数列通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，知：且()，而，，
∴是首项、公比都为3的等比数列，即，故选：C
例4-2、已知数列满足：，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）；（2）略
试题解析：（1）解：由知，代入得：，
化简得：，即是等比数列，又，则，进而有．
（2）证明：由于，
所以
题型五、 分式递推
例5-1、在数列中，，，则是这个数列的第________________项．
【答案】2018
【详解】由已知得，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，令，解得
例5-2、已知在数列中，，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【详解】由题意，，取倒数得，即，
又，所以，数列是公比为的等比数列，故，
所以.故答案为：.
例5-3、数列满足：，且 ，则数列的通项公式是=_____．
【答案】
【详解】原等式可化简为：，所以数列为以3为首项，2公差的等差数列，
则，所以.
题型六、构造二阶等差数列
例6-1、数列满足：，且，则数列的前项和__________.
【答案】
【解析】∵∴，即
∴是以3为首项，3为公差的等差数列∴
∴数列的前项和
例6-2、数列满足，（），则__________．
【答案】
【解析】数列满足，，变形得到
则。
例6-3、数列{an}中，，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，即：，
据此可得，数列是首项为，公差为的等差数列，
故：.本题选择A选项.
例6-4、如果数列满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由化简得，
所以数列是等差数列，首项为，公差.
所以.故答案为：B
题型七、 前n项积型
例7-1、已知数列的前项积为，若对，，都有成立，且，，则数列的前10项和为____．
【答案】1023
【详解】因为，故即（），而，
所以为等比数列，故，所以，填.
例7-2、若数列的前n项的积为，则_____________.
【答案】
【详解】设数列的前项积为，则.当时，；
当时，.满足.综上所述，.故答案为：
例7-3、(多选题)设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，且，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列无最大值 D．是数列中的最大值
【答案】ABD
【详解】根据题意，等比数列的公比为q，若，
则，又由，必有，则数列各项均为正值，
若，必有，，则必有，依次分析选项：
对于A，数列各项均为正值，则，必有，A正确；
对于B，若，则，B正确，
对于C，根据，可知是数列中的最大项，C错误；
对于D，易得D正确，故选：ABD.
例7-4、已知各项均不为零的数列的前n项积满足，则________，数列的前n项和________．
【答案】
【详解】由，得．因为，所以．由题意知，当时，，所以当时，，两边同时除以，得．因为，所以，，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，从而，故，所以数列的前项和为．
故答案为：；.
题型八、 “和”型求通项
例8-1、已知数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为 (　　)
A．5 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以 因此， ，选B.
例8-2、知数列满足：，且a1=2，则________________．
【答案】
【详解】∵数列{an}满足a1=2，an+1+an=4n-3（n∈N*），∴当n=1时，a2+a1=1，解得a2=-1．
当n≥2时，an+2+an+1=4n+1，∴an+2﹣an=4，
∴数列{an}的奇数项构成等差数列，首项为2，公差为4；偶数项构成等差数列，首项为-1，公差为4．
∴a2k﹣1=2+4（k﹣1）=4k﹣2，即n为奇数时：an=2n．
a2k=-1+4（k﹣1）=4k-5，即n为偶数时：an=2n-5．∴．
例8-3、已知数列的前项和为，若，且，则
A．－5 B．－10 C．12 D．16
【答案】C
【详解】由题意可得：，，
两式作差可得：， ①
进一步有：， ②
①-②可得：，故数列的偶数项为等差数列，且公差为4，
据此可得：，即：，解得：.故选C.
例8-4、若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则______.
【答案】
解：令 ，则 ①，②，
①-②得：，即,又，所以，
所以,即，
所以
所以.故答案为
题型九、正负相间讨论型
例9-1、已知数列中，，，则___________.
【答案】-9
【详解】当为奇数时，，当为偶数时，，
故
故答案为:-9
例9-2、列满足，前16项和为540，则 .
【答案】7
【解析】由，当为奇数时，有，
可得，，累加可得
；
当为偶数时，，
可得，，，．
可得．．
，
，即．故答案为：7．
例9-3、已知数列满足，则的前40项和为__________．
【答案】
【详解】∵，当n为奇数时,
该数列前项和为．
题型十、奇偶讨论型
例10-1、已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．
(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；
(2)求数列{an}的通项公式．
【答案】（1）详见解析；（2）an＝.
试题解析：(1)令n＝1得2a1a2＝4S1－3，又a1＝1，∴a2＝.2anan＋1＝4Sn－3，①2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.②
②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.∵an≠0，∴an＋2－an＝2.
(2)由(1)可知：数列a1，a3，a5，…，a2k－1，…为等差数列，公差为2，首项为1，
∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，即n为奇数时，an＝n.数列a2，a4，a6，…，a2k，…为等差数列，公差为2，首项为，
∴a2k＝＋2(k－1)＝2k－，即n为偶数时，an＝n－.综上所述，an＝.
例10-2、已知数列的首项，且满足，则=________．
【答案】512
【详解】∵anan+1=2n，（）∴an+1an+2=2n+2．（）
∴,（），∴数列的各个奇数项成等比，公比为2，
数列的各个偶数项成等比，公比为2，
又∵anan+1=2n，（），∴a1a2=2,又，∴，
可得：当n为偶数时，∴a20＝1 29＝512．故答案为512．
例10-3、在数列中，，，则下列结论成立的是（ ）
A．存在正整数，使得为常数列
B．存在正整数，使得为单调数列
C．对任意的正整数，集合为有限集
D．存在正整数，使得任意的、，当时，
【答案】C
【详解】对于A，若为偶数时，，不符题意，
若为奇数时，无解，故A错；
对于B，若为偶数，，，若为单调数列，即为递减数列，
而，可以为奇数，此时，，不满足递减数列.
若为奇数，，，若为单调数列即为递增数列，
而，，不满足递增数列，故B错；
对于C，，
不妨令（其中是一个给定的正整数），记，
①若为奇数，当、时，成立，
为偶数，成立，
假设当时，若是奇数，则，若是偶数，则，
那么时，若是奇数，则是偶数，；
若是偶数，则，
若此时是奇数，则满足，若是偶数，则满足，即时结论成立；
②若为偶数，当、时，成立，成立.
假设当时，若是奇数，则，若是偶数，则，
那么时，若是奇数，则是偶数，；
若是偶数，则，
若此时是奇数，则满足，若是偶数，则满足，即时结论成立.
综上，对任意的正整数，若为奇数，则，若为偶数，则，
所以，对任意的正整数，集合为有限集，故C对；
对于D选项，当时，，即各项的数值各不相同，
则当，集合有无穷多个元素，这与有上界矛盾，故不符合，故D错.
题型十一、 “求和公式换元”型
例11-1、已知数列满足.求数列的通项公式.
【答案】
【详解】由题意，知当时，。因为①，
所以当时，②
①－②得，即，易知时，满足上式，
所以数列的通项公式为
例11-2、若数列满足,,则______ ．
【答案】
【详解】
得, ,
所以有,因此.
故答案为：
例11-3、已知数列满足，，则_________________．
【答案】
【详解】当时，，当时，由题意可得：
，
，
两式作差可得：，故，
综上可得：.
题型十二、因式分解型求通项
例12-1、已知正项数列的前项和满足=,则_________________．
【答案】；
试题解析：解关于的方程=可得或(舍去),
==.
例12-2、设是首项为1的正项数列，且，则____，_____.
【答案】
解：是首项为1的正项数列，且，
可得，
即有，
由是的正项数列可得，则
可得，．故答案为(1). (2).
例12-3、已知数列的各项均为正数，且满足.
（1）求，及的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；.；（2）
【详解】（1）由题可知，，且，
当时，，则，
当时，，，
由已知可得，且，
∴的通项公式：.
题型十三、其他几类特殊数列求通项
例13-1、已知和满足，，，．
（1）证明：是等比数列，是等差数列；
（2）求和的通项公式；
【答案】（1）证明见解析（2），
【详解】（1）（其中），①
（其中），②
由①与②相加得，
即（其中），又，故是以1为首项为公比的等比数列
由①与②相减得，
即（其中），又，
则数列是以1为首项，以2为公差的等差数列．
（2）由（1）知，（其中），③
（其中），④
得，，
即，（），
例13-2、在数列中，，，.
（1）证明为等比数列；
（2）求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）由得，
又，所以是以1为首项，以2为公比的等比数列.
（2）由（1）得，所以，.
所以时，
..
因此，.
当时，也满足上式，故.
课后作业
1、在数列{an}中，a1=1，(n≥2)，则__________．
1、【答案】
解：因为a1=1，(n≥2)，所以，
所以·…··1=.
又因为当n=1时，a1=1，符合上式，所以an=.
2、已知数列中，，，则该数列的通项_______.
2、【答案】
【详解】,在等式两边同时除以，得，
，,,,
,累加得：，
3、已知数列中，，，则（ ）
A．3 B． C． D．
3、【答案】C
【详解】∵，，
∴，，，，
4、已知数列满足，，则__________．
4、【答案】
详解： ∵，∴，即，又，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列，∴，∴，
故．
5、已知数列中，且，则__________．
【答案】
【解析】
5、数列满足，则的前项和为
5、【解析】的前项和为
可证明：
6、已知数列满足，则的通项公式______．
6、【答案】．
【详解】当时，由，得；
当时，由，
可得，
两式相减得，，故．
7、数列,满足,且,.
(1)证明:为等比数列;
(2)求,的通项.
7、【答案】（1）证明见解析；（2），
【详解】（1）证明：由，可得：，
，代入，
可得：，
化为：，
，
为等比数列，首项为-14，公比为3.
（2）由（1）可得：，
化为：，
数列是等比数列，首项为16，公比为2.
，可得：，
.
8、已知数列满足,,,.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
8、【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
【详解】(1)因为，所以，
因为，所以，所以数列是等比数列；
(2)因为，所以，所以，
又因为，所以，所以是以为首项，
为公比的等比数列，所以，所以；
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