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高中数学重难点专题突破
专题一 等差数列与等比数列
知识归纳
一、等差数列
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.
2．等差数列的有关公式
(1)等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
(2)等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋d或Sn＝.
3．等差数列的常用性质
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(6)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.
(7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.
(8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.
(9)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.
4．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．
5．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
二、等比数列
1．等比数列的有关概念
(1)等比数列的有关概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．
(2)等比中项
如果三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，那么＝，即G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，q≠0，则它的通项公式an＝a1·qn－1.
(2)等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3．等比数列的性质
(1)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
(2)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列，公差为qn.
(5){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
(6)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝.
(7)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．
题型一　等差、等比数列的基本运算
例1-1、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6＝(　　)
A．36　　　　　　　　 B．32
C．28 D．24
解析：选A.设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得d＝2，a1＝1，故S6＝6＋×2＝36，选A.
例1-2、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
C　[∵{an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0，
∴am＝Sm－Sm－1＝2.
∵Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，
∴d＝am＋1－am＝1.
又Sm＝＝＝0，
∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5.]
例1-3、在数列{an}中，2an＋1＝an＋an＋2，且an≠0.若an－1－a＋an＋1＝0(n≥2)，且S2n－1＝38，则n＝(　　)
A.38 B.20 C.10 D.9
C　解析　(1)在数列{an}中，因为2an＋1＝an＋an＋2，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，
所以数列{an}为等差数列.
由an－1－a＋an＋1＝0(n≥2)，得2an－a＝0，
又an≠0，解得an＝2.
又S2n－1＝38，即＝(2n－1)an＝38，
即(2n－1)×2＝38，解得n＝10.
例1-4、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝10，S9＝72，在数列{bn}中，b1＝2，bnbn＋1＝－2，则a7b2 020＝________．
解析：方法一：设数列{an}的公差为d，则由题意，得解得所以a7＝a1＋6d＝10.因为b1＝2，bnbn＋1＝－2，所以b2＝－1，b3＝2，…，由此可知数列{bn}是周期为2的数列，所以b2 020＝－1，所以a7b2 020＝－10.
方法二：因为a1＋a3＝2a2＝10，所以a2＝5.又S9＝＝9a5＝72，所以a5＝8，设数列{an}的公差为d，则d＝＝1，所以a7＝a5＋2d＝10.因为b1＝2，bnbn＋1＝－2，所以b2＝－1，b3＝2，…，由此可知数列{bn}是周期为2的数列，所以b2 020＝－1，所以a7b2 020＝－10.
答案：－10
例1-5、已知等差数列{an} 的前n项和为Sn，若S1010＝1009，S1009＝1010，则S2019＝ －2019 ．
解析：设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，n∈N*.
由题意得
①－②，得(10102－10092)A＋(1010－1009)B＝1009－1010，即2019A＋B＝－1.
∴S2019＝20192A＋2019B＝2019(2019A＋B)＝－2019.
例1-6、(多选题)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，则下列选项正确的是(　　)
A．a10＝0
B．S7＝S12
C．S10的值最小
D．S20＝0
解析：选AB.设等差数列{an}的公差为d.由a1＋5a3＝S8，得a1＋9d＝0，即a10＝0，所以A正确．因为S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，所以B正确．由a10＝0可知，当d>0时，S9或S10的值最小，当d<0时，S9或S10的值最大，所以C错误．因为S19＝＝＝19a10＝0，又a20≠0，所以S20≠0，所以D错误．故选AB.
例2-1、已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　)
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C.(1－4－n) D.(1－2－n)
答案：C
解析：由a5＝＝a2·q3＝2·q3，解得q＝.又∵a2＝2，∴a1＝4.∵数列{anan＋1}是等比数列，其首项是a1a2＝8，公比为，∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ ．
故选C.
例2-2、等比数列{an}的前n项和Sn＝·3n＋1＋c(c为常数)，若λan≤3＋S2n恒成立，则实数λ的最大值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案：C
解析：∵数列{an}是等比数列，∴由an＝Sn－Sn－1＝3n(n≥2)，可得数列{an}的首项和公比均为3，∴an＝3n.∴数列{an}的前n项和Sn＝＝(3n－1)．∵λan≤3＋S2n，an>0，∴λ≤＝，化简得λ≤.由对勾函数的单调性可知，当n＝1时，3n＋取得最小值，∴λmax＝×＝5，故选C.
例2-3、若一个等比数列的首项为1，项数为偶数，所有奇数项和为85，所有偶数项和为170，则这个数列的项数为________．
答案：8
解析：设这个数列的项数为2n，则由等比数列前n项和的性质可得偶数项之和比上奇数项之和等于公比q，∴q＝＝2.
(法一)把代入＝85或＝170，得n＝4，∴这个数列的项数为8.
(法二)∵等比数列的首项为1，公比为2，∴简单列举出几项观察：1，2，4，8，16，32，64，128，…，可以看出前4个奇数项之和为1＋4＋16＋64＝85，前4个偶数项之和为2＋8＋32＋128＝170，∴这个数列的项数为8.
例2-4、在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________．
答案：14
解析：(法一)设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3.∵an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，∴q3n－6＝81＝34＝q36，∴3n－6＝36，∴n＝14.
(法二)设数列{an}的公比为q，
∵＝··＝q3·q3·q3＝q9，
∴数列{a3n－2a3n－1a3n}是公比为q9的等比数列．
∵a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，∴q9＝3.∵an－1anan＋1＝324，
∴an－1anan＋1＝4×34＝a1a2a3·(q9)4，
∴an－1anan＋1是数列{a3n－2a3n－1a3n}中的第5项，
∴n＋1＝3×5＝15，即n＝14.
例2-5、数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　C
解析　∵a1＝2，am＋n＝aman，
令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，
∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴an＝2×2n－1＝2n.
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
∴＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
例3-1、设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，且a8＝3，则a5的值为________．
－6　[设等比数列{an}的公比为q.
∵S3，S9，S6成等差数列，∴2S9＝S3＋S6，且q≠1.
∴＝＋，
即2q6－q3－1＝0，∴q3＝－或q3＝1(舍去)．
∵a8＝3，∴a5＝＝＝－6.]
例3-2、设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
思路：求和看通项，考虑，所以，，所以
例3-3、三个数成等比数列，其乘积为，如果第一个数与第三个数各减，则成等差数列，则这三个数为___________
答案：
思路：可设这三个数为，则有，解得，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为，所以有：，即，解得或者，时，这三个数为，当时，这三个数为
题型二　等差、等比数列的性质
例4-1、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 210 ．
解析：(法一)取m＝1，则S1＝30，S2＝100，∴a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70，∴d＝a2－a1＝40，∴a3＝a2＋d＝110.∴S3＝a1＋a2＋a3＝210.
(法二)设Sn为等差数列{an}的前n项和，由等差数列的性质，知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m.由题意知Sm＝30，S2m＝100，∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.
(法三)设Sn为等差数列{an}的前n项和，由等差数列的性质，知为等差数列，∴，，仍为等差数列，∴2×＝＋，即2×＝＋，解得S3m＝210.
(法四)设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，
由得
∴S3m＝9Am2＋3Bm＝3(4Am2＋2Bm)－3(Am2＋Bm)＝3(S2m－Sm)＝210.
例4-2、在等差数列{an} 中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝240，则a9－a11的值为(　C　)
A．30 B．31 C．32 D．33
解析：由等差数列的性质及a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝240，可得5a8＝240，解得a8＝48.设等差数列{an}的公差为d，则a9－a11＝a8＋d－(a8＋3d)＝a8＝32.故选C.
例4-3、已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有＝，则＋＝(　　)
A. B.
C. D.
A　[＋＝＋＝＝＝＝＝＝，故选A.]
例4-4、一个等差数列{an}的前12项的和为354，前12项中偶数项的和S偶与前12项中奇数项的和S奇之比为，则公差d等于(　　)
A．5 B．6 C．10 D．12
A　[由题意可知
解得
又由等差数列的性质，可得S偶－S奇＝6d，即192－162＝6d，解得d＝5.故选A.]
例5-1、设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　)
A．12　　　　　　　　　　 B．24
C．30 D．32
【答案】　(1)D　
【解析】　(1)方法一：设等比数列{an}的公比为q，所以＝＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝×(25＋26＋27)＝×25×(1＋2＋22)＝32，故选D.
方法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，则bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3.设数列{an}的公比为q，则＝＝＝q，所以数列{bn}为等比数列，由题意知b1＝1，b2＝2，所以等比数列{bn}的公比q＝2，所以bn＝2n－1，所以b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32，故选D.
例3：已知等比数列中的各项均为正数，且，则_______
思路：由等比数列性质可得：，从而，因为为等比数列，所以为等差数列，求和可用等差数列求和公式：
答案：
例5-2、在等比数列中，若，则（ ）
A. B. C. D.
解：条件与结论分别是的前项和与倒数和，所以考虑设，则
所以
答案：B
例5-3、已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)
A.25 B.20 C.15 D.10
答案　(2)B
(2)在正项等比数列{an}中，Sn＞0.
因为S8－2S4＝5，则S8－S4＝5＋S4，
易知S4，S8－S4，S12－S8是等比数列，
所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，
所以a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝＋S4＋10≥2＋10＝20(当且仅当S4＝5时取等号).
故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.
例5-4、(多选题)设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是（ ）
A．S2019C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值
【答案】AB
【解析】当时，，不成立；
当时，，不成立；
故，且，故，正确；
，故正确；
是数列中的最大值，错误；
故选：
题型三　等差、等比数列的判断与证明
例6-1、若{an}为公差不为0的等差数列，则下列数列中仍为等差数列的有 ．(填序号)
①{an＋an＋1}　　②{a}　　③{an＋1－an}　　④{2an} ⑤{2an＋n} ⑥{a2n－1} ⑦{a2n}
解析：设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，则an＋1＝a1＋nd，∴an＋an＋1＝ 2a1＋(2n－1)d＝2nd＋2a1－d，∴{an＋an＋1}为等差数列；a＝[a1＋(n－1)d]2＝d2n2＋(2a1d－2d2)n＋d2＋a－2a1d，当d≠0时，显然{a}不为等差数列；∵an＋1－an＝d，∴数列{an＋1－an}为常数列；2an＝2a1＋2(n－1)d＝2dn＋2a1－2d，显然{2an}为等差数列；2an＋n＝2a1＋2(n－1)d＋n＝(2d＋1)n＋2a1－2d，显然{2an＋n}为等差数列；根据等差数列的性质：每隔相同的距离取出一项组成的数列仍为等差数列，可知{a2n－1}，{a2n}均为等差数列．
例6-2、已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1am(n－1)＋2…am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是(　　)
A．数列{bn}为等差数列，公差为qm B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为 D．数列{cn}为等比数列，公比为
答案：C
解析：∵cn＝(am(n－1))mq1＋2＋3＋…＋m＝(am(n－1))m，∴＝m＝(qm)m＝，
∴数列{cn}是公比为的等比数列．故选C.
例6-3、如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)
A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列
A　[先将Sn用已知线段的长表示出来，再利用等差数列的定义判断．
作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.
∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.
设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，
则|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，
∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]＝c[(b－a)n＋(2a－b)]，
∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，∴数列{Sn}是等差数列．]
例6-4、(多选题)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an+1，（n∈N*），则下列说法正确的是（　　）
A．a5＝﹣16 B．S5＝﹣63
C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn+1}是等比数列
【答案】AC
【解析】：∵Sn＝2an+1，（n∈N*），
∴①当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，∴a1＝﹣1，
②当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an+1﹣2an﹣1﹣1，∴2an﹣1＝an，∴，
∴数列{an}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，故选项C正确，
∴，
∴，，故选项A正确，选项B错误，
又∵，∴数列{Sn+1}不是等比数列，故选项D错误，
故选：AC．
例6-5、已知数列的首项．
求证：数列为等比数列
思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：
即，在考虑构造“”：
即数列是公比为的等比数列
思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用表示：，则只需证明是等比数列即可，那么需要关于的条件（首项，递推公式），所以用将表示出来，并代换到的递推公式中，进而可从的递推公式出发，进行证明
解：令，则
递推公式变为：
是公比为的等比数列。即数列为等比数列
例6-5、已知数列满足：且，求证：为等差数列
解：设，则代入可得：
为等差数列，即为等差数列
例6-7、已知曲线，过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点（且，点列的横坐标构成数列，其中.
（1）求与的关系式；
（2）令，求证：数列是等比数列；
解：（1）曲线
（2），代入到递推公式中可得：
是公比为的等比数列
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专题一 等差数列与等比数列
知识归纳
一、等差数列
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝.
2．等差数列的有关公式
(1)等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
(2)等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋d或Sn＝.
3．等差数列的常用性质
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(6)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.
(7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.
(8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.
(9)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.
4．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．
5．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
二、等比数列
1．等比数列的有关概念
(1)等比数列的有关概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．
(2)等比中项
如果三个数a，G，b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，那么＝，即G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，q≠0，则它的通项公式an＝a1·qn－1.
(2)等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3．等比数列的性质
(1)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
(2)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列，公差为qn.
(5){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
(6)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝.
(7)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．
题型一　等差、等比数列的基本运算
例1-1、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6＝(　　)
A．36　　　　　　　　 B．32
C．28 D．24
例1-2、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
例1-3、在数列{an}中，2an＋1＝an＋an＋2，且an≠0.若an－1－a＋an＋1＝0(n≥2)，且S2n－1＝38，则n＝(　　)
A．38 B．20
C．10 D．9
例1-4、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝10，S9＝72，在数列{bn}中，b1＝2，bnbn＋1＝－2，则a7b2 020＝________．
例1-5、已知等差数列{an} 的前n项和为Sn，若S1010＝1009，S1009＝1010，则S2019＝ ．
例1-6、(多选题)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，则下列选项正确的是(　　)
A．a10＝0 B．S7＝S12
C．S10的值最小 D．S20＝0
例2-1、已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　)
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C．(1－4－n) D．(1－2－n)
例2-2、等比数列{an}的前n项和Sn＝·3n＋1＋c(c为常数)，若λan≤3＋S2n恒成立，则实数λ的最大值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
例2-3、若一个等比数列的首项为1，项数为偶数，所有奇数项和为85，所有偶数项和为170，则这个数列的项数为________．
例2-4、在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________．
例2-5、数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
例3-1、设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，且a8＝3，则a5的值为________．
例3-2、设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ）
A. B.
C. D.
例3-3、三个数成等比数列，其乘积为，如果第一个数与第三个数各减，则成等差数列，则这三个数为___________
题型二　等差、等比数列的性质
例4-1、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 ．
例4-2、在等差数列{an} 中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝240，则a9－a11的值为(　 　)
A．30 B．31
C．32 D．33
例4-3、已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有＝，则
＋＝(　　)
A． B．
C． D．
例4-4、一个等差数列{an}的前12项的和为354，前12项中偶数项的和S偶与前12项中奇数项的和S奇之比为，则公差d等于(　　)
A．5 B．6
C．10 D．12
例5-1、设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　)
A．12　　　　　　　　　　 B．24
C．30 D．32
例5-2、在等比数列中，若，则（ ）
A． B．
C． D．
例5-3、已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)
A．25 B．20
C．15 D．10
例5-4、(多选题)设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是（ ）
A．S2019C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值
题型三　等差、等比数列的判断与证明
例6-1、若{an}为公差不为0的等差数列，则下列数列中仍为等差数列的有 ．(填序号)
①{an＋an＋1}　　②{a}　　③{an＋1－an}　　④{2an} ⑤{2an＋n} ⑥{a2n－1} ⑦{a2n}
例6-2、已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，
cn＝am(n－1)＋1am(n－1)＋2…am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是(　　)
A．数列{bn}为等差数列，公差为qm
B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为
D．数列{cn}为等比数列，公比为
例6-3、如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，
|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)
A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列
例6-4、(多选题)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an+1，（n∈N*），则下列说法正确的是（　　）
A．a5＝﹣16 B．S5＝﹣63
C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn+1}是等比数列
例6-5、已知数列的首项．求证：数列为等比数列
例6-5、已知数列满足：且，求证：为等差数列
例6-7、已知曲线，过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点（且，点列的横坐标构成数列，其中.
（1）求与的关系式；
（2）令，求证：数列是等比数列；
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