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高中数学重难点专题突破
专题二 数学求和问题的解法归纳
典例分析
题型一、由sn求an
例1、已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）当时，，
当且时，，
当时，适合上式，所以数列的通项公式.
题型二、错位相消法
例2、（2020年新课标1理数17题）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）设的公比为，由题设得 即.
所以 解得（舍去），.故的公比为.
（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以
，
.
可得
所以.
基本规律
公式型记忆：
变式2-1、已知数列中，，，前项和为，若（，且）.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）数列中，（，且）①，
又（，且）②，
可得：，
则数列是以为首项，公差为1的等差数列，
则，则，
当时，，也符合该式，
则.
（2）由（1）的结论得，，则；则，
∴，
两式错位相减可得：
，∴.
变式2-2、已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
解：（1）因为，所以当时，，.
当时，因为，所以当，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故.
（2）因为，所以，
，
，
相减得，
，
所以.
题型三、裂项相消法求和
例3、已知数列的前项和，数列满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由，当时，，
时，对上式也成立，∴；
又，，.
（2），
.
变式3、设数列满足：，且（），.
（1）求的通项公式：
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）（）（2）
【详解】(1)由()可知数列是等差数列,设公差为,
因为,所以,解得,
所以的通项公式为:();
(2)由(1)知,所以数列的前项和:
.
例4、等差数列满足，，，成等比数列，数列满足，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）数列的前项和为，证明.
【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）证明见解析.
【详解】（Ⅰ）由题意得（不符）或，
所以.则当时
.当时符合，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以.
变式4、数列满足，且.
（1）设，证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和为.
【答案】（1）证明见详解；（2）.
【详解】（1）由得，则，即，因为，所以，
即数列是以为公差的等差数列；
（2）因为，，所以；由（1）得，，即，
则，所以，，…，，
以上各式相乘可得，，所以；
因此，
因此数列的前项和为
.
例5、设数列的前n项和为，已知，，.
（1）求通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
解：（1）因为，，，所以当时，，
以上两式做差得：，即，，由于，所以， ，
所以数列是等比数列，公比为，首项为，所以 .
（2）结合（1）得，
所以数列的前n项和为：
，
由于，所以，所以
变式5、已知数列满足：，；数列是等比数列，并满足，且，，成等差数列.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列的前项和是，数列满足，求证：.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【详解】（1）由已知，，所以是常数列，，故
设的公比是，由已知得，所以所以，故
（2）
累加得：
所以，得证.
例6、已知正项等差数列满足：，其中是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；
解：（1）因为时，；时，，
联立得：即解得，所以公差所以；
（2）
所以
.
例7、设数列的前项和为，且.（1）求、、的值；
（2）求出及数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和为.
【答案】（1），，；（2），；
（3）当为奇数，；当为偶数，.
【详解】(1)，时，，
时，，解得，
时，，解得，同理可得：，
（2）由（1）可得：，，化为，猜想，时，代入，左边；右边,所以左边=右边，猜想成立，时也成立，
时，，时，也成立，；
当时，，又，
数列的通项公式为.
（3），
为偶数时，数列的前项和为：
.
为奇数时，数列的前项和为：
.
综上所述，当为奇数，；当为偶数，.
例8、已知数列满足，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【详解】（1）证明：因为，所以即，则
从而数列是以6为首项，2为公比的等比数列
（2）解：由（1）知，即
所以
当为偶数时，
当为奇数时，
当为偶数时，是递减的，此时当时，取最大值，则；
当为奇数时，是递增的，此时，则.
综上，的取值范围是.
例9、已知数列的前项和满足，且.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）50.
【详解】（1），（2），两式相减：，
即，.时，，
所以数列是常数数列.
（2）由（1）得，时，，所以：，，
而时，，解得满足，所以，
∴，
∴，，又，∴.所以的最小值为50
变式9、在①，，成等差数列；②，，成等差数列；③中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且______.
（1）求数列通项公式；
（2）数列的通项公式，，求数列的前项和.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
解：设等比数列的公比为，（1）选①：因为，，成等差数列，所以，
因为，所以，，，
所以，即.又，解得，所以.
选②：因为，，成等差数列，所以，即,化简得，所以，即，又，解得，所以.
选③：因为，所以，则，所以.
，，经验证符合.
（2）因为，
则
.
例10、已知数列满足，，.（1）若.①求数列的通项公式；
②证明：对， .
【答案】（1）①；②证明见解析；（2）证明见解析
解：（1）①当时，，∵，∴，依此类推，
∴，∴，∴数列是首项为2，公差为1的等差数列，
∴，即
②证明：由①知，故对，
∴＝
＝，
题型四、分组求和法
例11、已知数列的前项和为，，且-3，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由，得数列为等比数列，且公比，
∵-3，，成等差数列，∴，
从而有，解得，∴；
（2），
所以
.
例12、已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，设的前项和为，求.
【答案】（1），.（2）
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
∵，，，，∴
∴或，且是正项等比数列，∴，，
∴，.
（2）由（1）知∴
∴
= =.
变式12、已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.从而的通项公式为.由，
又q≠0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，，
从而，所以.
(Ⅲ)当n为奇数时，，当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.因此，.
所以，数列的前2n项和为.
课后作业
1.已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.
（1）；（2）.
【分析】（1）将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，由此求得数列的通项公式；
（2）利用分组求和法求的数列的前项和.
【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
因为b2=3，b3=9，可得，所以bn=b2qn-2=3·3n-2=3n-1，
又由a1=b1=1，a14=b4=27，所以，
所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)×d=1+2(n-1)=2n-1；
（2）由题意知cn=an+bn=(2n-1)+3n-1，设数列{cn}的前n项和为，
则
.
2.已知等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）设数列的公差为，由题意得，
解得，，故数列的通项公式为.
（2）由（1）知，所以，
所以，
所以.
3.正项数列的前n项和Sn满足： (1)求数列的通项公式；
(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .
【答案】（1）（2）见解析
【详解】（1）因为数列的前项和满足：，
所以当时，，即解得或，因为数列都是正项，
所以，因为，所以，解得或，
因为数列都是正项，所以，当时，有，所以，
解得，当时，，符合所以数列的通项公式，;
（2）因为，所以，
所以数列的前项和为：
，当时，有，
所以，所以对于任意，数列的前项和.
4.已知等比数列的前n项和为（），满足，，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）.（2）
【详解】（1）设数列的公比为q，依题意得，所以
即，因为，所以，解得或，
因为，所以， 又因为，所以即，所以；
（2）题意可得，
则 .
5.已知正项数列满足：，，其中是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）由，又有，，
两式相减得，因为，所以，又，时，，解得，满足，因此数列是等差数列，首项为1，公差为1，
所以．
（2）所以．
6.已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1、S2、S4成等比数列．
∴Sn＝na1+n（n﹣1）（2a1+2）2＝a1（4a1+12），a1＝1，∴an＝2n﹣1；
（2）∵由（1）可得，
当n为偶数时，Tn＝
．
当n为奇数时，
．．
7.已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求的前100项和．
【答案】（1），； （2）.
解：（1）由题意知，即，①当时，由①式可得；
又时，有，代入①式得，
整理得，∴是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得，∵是各项都为正数，∴，
∴，又，∴，
则，，
即：.∴的前100项和．
8.已知是公比的等比数列，且满足，，数列满足：.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求证：.
【答案】（1）；；（2）证明见解析.
解：（1）因为是公比的等比数列，所以因为，，
所以，，
所以当时，，
当时①②
将②乘2得到③
①－③，得，所以
因为当时，，所以
（2）因为而，
所以
因此
9.已知数列是首项为，公比为q的等比数列．
（1）求和：，；
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明；
（3）设，是等比数列的前n项和，求：．
【答案】（1），；
（2）若是首项为，公比为q的等比数列，则，．证明见解析；（3）
【详解】（1），
.
（2）结论为：若是首项为，公比为q的等比数列，
则，．
证明如下：.
（3）∵，∴.
10.已知正项等比数列满足，，数列的前项和为，
（Ⅰ）求与的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）an＝2n，n∈N*；bn＝2n﹣2，n∈N*；（Ⅱ）T2n＝ 22n+1+2n2．
【解析】解：（Ⅰ）由题意，设正项等比数列的公比为，由题意知，，
则，解得或（舍去），则 ；
当时， ，
当时，，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 为奇数时，，当 为偶数时，，则
.
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专题二 数学求和问题的解法归纳
典例分析
题型一、由sn求an
例1、已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
题型二、错位相消法
例2、设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
公式型记忆：
变式2-1、已知数列中，，，前项和为，若（，且）.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
变式2-2、已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
题型三、裂项相消法求和
例3、已知数列的前项和，数列满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
变式3、设数列满足：，且（），.
（1）求的通项公式：
（2）求数列的前项和.
例4、等差数列满足，，，成等比数列，数列满足，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）数列的前项和为，证明.
变式4、数列满足，且.
（1）设，证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和为.
例5、设数列的前n项和为，已知，，.
（1）求通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证：.
变式5、已知数列满足：，；数列是等比数列，并满足，且，，成等差数列.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列的前项和是，数列满足，求证：.
例6、已知正项等差数列满足：，其中是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，证明：.
例7、设数列的前项和为，且.（1）求、、的值；
（2）求出及数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和为.
例8、已知数列满足，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.
例9、已知数列的前项和满足，且.
（1）求证：数列是常数数列；
（2）设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值.
变式9、在①，，成等差数列；②，，成等差数列；③中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列中，前项和为，已知，且______.
（1）求数列通项公式；
（2）数列的通项公式，，求数列的前项和.
例10、已知数列满足，，.（1）若.①求数列的通项公式；
②证明：对， .
题型四、分组求和法
例11、已知数列的前项和为，，且-3，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
（1）；（2）.
例12、已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，设的前项和为，求.
变式12、已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
课后作业
1、已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.
2、已知等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，证明：.
3、正项数列的前n项和Sn满足： (1)求数列的通项公式；
(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .
4、已知等比数列的前n项和为（），满足，，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
5、已知正项数列满足：，，其中是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：．
6、已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
7、已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，求的前100项和．
8、已知是公比的等比数列，且满足，，数列满足：.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求证：.
9、已知数列是首项为，公比为q的等比数列．
（1）求和：，；
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明；
（3）设，是等比数列的前n项和，求：．
10、已知正项等比数列满足，，数列的前项和为，
（Ⅰ）求与的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
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