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高中数学重难点突破
专题十二 函数的极值与最值
知识归纳
1、函数极值的概念：
（1）极大值：一般地，设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极大值，记作，其中是极大值点。
（2）极小值：一般地，设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极小值，记作，其中是极小值点。
极大值与极小值统称为极值
2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：
（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
3、极值点的作用：
（1）极值点为单调区间的分界点
（2）极值点是函数最值点的候选点
4、函数的最大值与最小值：
（1）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最大值点，称为函数的最大值
（2）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最小值点，称为函数的最小值
（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点
（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到。没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个。
5、利用导数求函数的最值步骤:
一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求在内的极值；
（2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值
典例分析
一、利用导数求函数的极值
例1-1、(1)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝1或－1或0 D．x＝0
(2)函数f(x)＝(x2－x－1)ex(其e＝2.718…是自然对数的底数)的极值点是________；极大值为________．
答案　(1)C (2)1或－2　
解析　(1)∵f(x)＝x4－2x2＋3，
∴由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.
又当x<－1时，f′(x)<0，
当－10，
当0当x>1时，f′(x)>0，
∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．
(2)解析：由已知得f′(x)＝(x2－x－1＋2x－1)ex＝(x2＋x－2)ex＝(x＋2)(x－1)ex，
因为ex>0，令f′(x)＝0，可得x＝－2或x＝1，
当x<－2时f′(x)>0，即函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增；
当－2当x>1时，f′(x)>0，即函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
故f(x)的极值点为－2或1，且极大值为f(－2)＝.
例1-2、已知函数f(x)＝2ef ′(e)ln x－(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为(　　)
A.2e－1 B.－ C.1 D.2ln 2
答案 D
解析 由题意知，f′(x)＝－，∴f′(e)＝2f′(e)－，则f′(e)＝.
因此f′(x)＝－，令f′(x)＝0，得x＝2e.
∴f(x) 在(0，2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减.
∴f(x)在x＝2e处取极大值f(2e)＝2ln(2e)－2＝2ln 2.
例1-3、如图，已知直线y＝kx＋m与曲线y＝f(x)相切于两点，则F(x)＝f(x)－kx有(　　)
A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点
C．3个极大值点，无极小值点 D．3个极小值点，无极大值点
答案 A
解析 F′(x)＝f′(x)－k，如图所示，
从而可知F′(x)共有三个零点x1，x2，x3，
由图可知，F(x)在(－∞，x1)上单调递减，
在(x1，x2)上单调递增，(x2，x3)上单调递减，
(x3，＋∞)上单调递增，
∴x1，x3为极小值点，x2为极大值点，
即F(x)有1个极大值点，2个极小值点，故选A.
二、含参数的函数的极值问题
例2-1、(1)在处有极小值，则实数为 ;
(2)已知函数存在极值点，则的取值范围是_________.
答案：(1)1 (2)
解析：(1),为极小值点，
，解得：或，
考虑代入结果进行检验：
时，，
可得在单调递增，在单调递减。
进而为极小值点符合题意，
而当时，，
可得在单调递增，在单调递减。
进而为极大值点，故不符合题意舍去
(2)存在极值点
即有实数根，
，但是当
即时,
，
不存在极值点，
所以方程依然要有两个不等实数根，
的范围为或
例2-2、已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，可得，
由图象可知，函数先递增，再递减，最后递增，且当时，取得极小值，
所以函数既有极大值，也有极小值，
所以有两个根，即，
所以，可得且，
又由，可得，
由，可得，
所以，所以.
故选：A.
例2-3、函数f(x)＝x2－aln x－1(a∈R)在[1，2]内不存在极值点，则a的取值范围是________．
答案
解析 函数f(x)＝x2－aln x－1(a∈R)在[1，2]内不存在极值点
f(x)＝x2－aln x－1(a∈R)在[1，2]内单调
函数f′(x)≥0或f′(x)≤0(a∈R)在[1，2]内恒成立，
由f′(x)＝2x－≥0在[1，2]内恒成立 a≤(2x2)min，
x∈[1，2]，即a≤2.
同理可得a≥8.
故a的取值范围是(－∞，2]∪[8，＋∞)．
例2-4、若函数在上有小于零的极值点，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．
【解析】，求导，，
由若函数在上有小于零的极值点，
则有负根，
则，
则在轴的左侧有交点，
，解得：，
实数的取值范围
故选：．
例2-5、已知是函数的极小值点，则实数的取值范围是　　．
【解析】，
若是函数的极小值点，
则时，，
时，，
即，，
即
故答案为：．
例2-6、(1)已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为(　　)
A．(－∞，e] B．[0，e] C．(－∞，e) D．[0，e)
(2)已知函数，若是函的的唯一一个极值点，则实数的取值范围为　　
A．， B． C．， D．，，
答案 (1)A (2)C
解析 (1)因为函数f(x)＝－k，所以函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，
所以f′(x)＝－k＝.
因为x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，
所以x＝2是y＝f′(x)的唯一变号零点．
所以y＝－k在(0，＋∞)上无变号零点．
设g(x)＝，则g′(x)＝.
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(1)＝e，结合g(x)＝与y＝k的图象(图略)知，
若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则应需k≤e.
(2)函数，，
，
是函数的唯一一个极值点
是导函数的唯一根．
在，无变号零点，
令，，
令，解得：，令，解得：，
在递减，在，递增，
的最小值为，解得：，
又时，，，
令，解得：，令，解得：，
在递减，在递增，
是函的的唯一一个极值点，符合题意，
综上所述，，．
例2-7、(1)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
(2)若函数存在两个极值点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
(1)【解析】由题意，
令得，
函数有两个极值点，等价于有两个零点，
等价于函数与的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当时，直线与的图象相切，
由图可知，当时，与的图象有两个交点．
则实数的取值范围是．
故选：．
(2)【解析】，
，
若存在2个极值点，
则方程有2个根，
则函数和的图象有2个交点，
画出函数和的图象，如图示：
若，显然1个交点，不合题意，
若，设直线和相切时切点是，，
则，
则，解得：，
故切点是，
故，解得：，
故选：．
例2-8、设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由．
解：f′(x)＝＋a(2x－1)＝ (x>－1)．
令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)．
①当a＝0时，g(x)＝1，
此时f′(x)>0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．
②当a>0时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)．
a．当0函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．
b．当a>时，Δ>0，
设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2(x1因为x1＋x2＝－，所以x1<－，x2>－.
由g(－1)＝1>0，可得－1所以当x∈(－1，x1)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(x1，x2)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
因此函数f(x)有两个极值点．
③当a<0时，Δ>0，由g(－1)＝1>0，
可得x1<－1当x∈(－1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
所以函数f(x)有一个极值点．
综上所述，当a<0时，函数f(x)有一个极值点；
当0≤a≤时，函数f(x)无极值点；
当a>时，函数f(x)有两个极值点．
三、利用导数求函数的最值
例3-1、(1)函数的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，的定义域是，
则，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在，递增，
故的最小值是，
故选：．
(2)关于x的不等式在恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】D
【详解】依题意，令，所以
，
又，令，可得，所以或，
当时，，所以在单调递增；
当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增；
所以当时，函数取最大值为，所以实数a的最小值为．
故选:D.
例3-2、若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．
【答案】.
【解析】
分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.
详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ，
例3-3、(1)设动直线与函数，的图象分别交于，，则的最小值为　　
A． B．1 C． D．
【分析】根据题意可得，，推出，设，对求导，判断单调性，求出，即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，，
所以
设
，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以（1），
所以的最小值为1．
故选：．
(2)已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令，则，，
∴，，即，
若，则，
∴，有，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴，即的最小值为.
故选：D.
例3-4、(1)(多选题)已知函数，则　　
A．时，的图象位于轴下方
B．有且仅有两个极值点
C．有且仅有一个极值点
D．在区间上有最大值
【解答】解：当时，，，所以，
所以的图象位于轴下方，故正确；
函数，，且，
的定义域为，，，
，令，则，
函数单调递增，则函数只有一个根，使得，
当时，，函数单调递减；
当，时，，函数单调递增，
函数只有一个极值点且为极小值，故错误，正确；
又（1），（2），在上先减后增，没有最大值，故错误．
故选：．
(2)函数与的最小值分别为，，则　　
A． B．
C． D．，的大小不能确定
【解答】解：的定义域是，，
令，解得：，令，解得：，
在递减，在递增，
的最小值是（1），故，
，定义域，
，
令，则可得在上单调递增，且，（1），
故存在使得即，即，
当时，，，函数单调递减，
当，时，，函数单调递增，
故当时，函数取得最小值，即，，
故选：．
四、含参数的函数的最值问题
例4-1、已知函数(aR)的最小值为2，则实数的值是_________.
【答案】或
【解析】∵，
当a≤0时，，∴是(0，)上的减函数，
∴函数无最小值，舍去；
当a＞0时，由得，，
∴在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，
∴函数的最小值为，
由，得，
解得或.
例4-2、已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．
解：(1)f′(x)＝－a(x>0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
当00；当x>时，f′(x)＝<0，
故函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1,2]上是减函数，
所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
②当≥2，即0所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.
③当1<<2，即又f(2)－f(1)＝ln 2－a，
所以当当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.
综上可知，当0当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
例4-3、已知函数的定义域为，求在上的最值.
解：，令解得
在单调递减，在单调递增，
为的极小值点.
（1）当时，在单调递增
（2）当时，
在单调递减，在单调递增
，
下面比较的大小
若
时，
当时，
当时，
综上所述：时，
时，，
时，
时，
五、导数的综合运用
例5-1、已知函数f(x)＝aln x－ex.
(1)讨论f(x)的极值点的个数；
(2)若a＝2，求证：f(x)＜0.
解：(1)根据题意可得，f′(x)＝－ex＝(x>0)，
当a≤0时，f′(x)<0，函数y＝f(x)是减函数，无极值点；
当a>0时，令f(x)＝0，得a－xex＝0，即xex＝a，
又h(x)＝xex在(0，＋∞)上单调递增，又h(0)＝0，
所以方程xex＝a存在唯一解，不妨设为x0，
所以函数f(x)在(0，x0)上是单调递增的，
在(x0，＋∞)上是单调递减的．
所以函数f(x)有一个极大值点，无极小值点；
总之：当a≤0时，无极值点；
当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，无极小值点．
(2)f(x)＝2ln x－ex，f′(x)＝(x>0)，
由(1)可知f(x)有极大值f(x0)，且x0满足x0ex0＝2，①
又h(x)＝xex在(0，＋∞)上是增函数，且0<2所以x0∈(0，1)，
又知：f(x)max＝f(x0)＝2ln x0－ex0，②
由①可得ex0＝，代入②得f(x)max＝f(x0)＝2ln x0－，
令g(x)＝2ln x－，
则g′(x)＝＋＝>0恒成立，
所以g(x)在(0，1)上是增函数，
所以g(x0)所以f(x)<0.
例5-2、已知函数．
(1)求的极值；
(2)求在上的最大值．
【解析】（1）函数的定义域为，
，
当时，恒成立，则在上是减函数，无极值；
当时，令，解得，
则在上是减函数，在上是增函数，
所以当时，有极小值，，无极大值，
综上，当时，无极值，当时，有极小值，无极大值；
（2）①当时，由（1）知在上是减函数，
所以当时，有最大值；
②当时，由（1）知在上是减函数，在上是增函数，
（i）当，即时，在上是增函数，
所以当时，有最大值；
（ii）当即时，在上是减函数，在上是增函数.
若，即时，有最大值；
若，即时，有最大值；
（ⅲ）当即时，在上是减函数，
所以当时，有最大值，
综上所述，当时，有最大值；
当时，有最大值.
同步练习
1.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则(　　)
A.a<－1 B.a>－1 C.a>－ D.a<－
1、解析　因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.又函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，当x>0时，－ex<－1，所以a＝－ex<－1.
答案　A
2．函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.无数
2、解析　函数定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝6x＋－2＝，
由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－20<0，所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立，
即f(x)在定义域上单调递增，无极值点.
答案　A
3．已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1
C．的极大值为 D．的最小值为
3、【答案】C
【详解】.令，则，
所以在上单调递减.因为，
所以当时，；当时，.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
故的极大值点为1，的极大值为
4．若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数.已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为(　　)
A.2折函数 B.3折函数 C.4折函数 D.5折函数
4、解析　f′(x)＝(x＋2)ex－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)(ex－3x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝－2或ex＝3x＋2.
易知x＝－2是f(x)的一个极值点，
又ex＝3x＋2，结合函数图象，y＝ex与y＝3x＋2有两个交点.
又e－2≠3(－2)＋2＝－4.
∴函数y＝f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数.
答案　C
5．已知在区间有极小值，则实数的取值范围是　　
A．， B． C．， D．，
5、【解析】，
令，解得或，
在区间有极小值，，，
故选：．
6．若函数在区间内有极大值，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
6、【解析】，
若在，有极大值，则在，先大于0，再小于0，
则，解得：，
故选：．
7．已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
7、【解析】由题可知，，
是的唯一极小值点，恒成立，即，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
，，即．
故选：．
8．函数为自然对数的底数），则下列说法正确的是　　
A．在上只有一个极值点 B．在上没有极值点
C．在处取得极值点 D．在处取得极值点
8、【解答】解：，
令，，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
由于，所以，
所以在上存在一个零点为，
所以的解为和的解，
所以函数至少存在和，两个极值点，故，错误，正确；
因为，
所以处没有取得极值点，故错误．
故选：．
9．(多选题)函数，其图象在坐标原点处与相切，则　　
A． B．函数没有最小值
C．函数存在两个极值 D．函数存在两个零点
9、【解答】解：由题意可得，且，所以，
所以，
，令，则，
设，，两个函数只有一个交点，
设交点的横坐标为：，则，
当时，，函数是减函数，
当时，，函数是增函数，
所以是函数极小值点，是函数最小值，
因为函数过，所以函数存在两个零点，
故选：．
10．(多选题)关于函数，下列说法正确的是　　
A．函数的极小值为
B．函数有且只有1个零点
C．存在负实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
10、【解答】解：对于：函数的定义域是，
，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
（2），故正确；
对于：令，
则，
令，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在，递增，
故，
故，故函数在上单调递减，
又（1），（2），
故函数有且只有1个零点，故正确；
对于：结合选项可知不存在负实数，使得恒成立，故错误；
对于：设，，结合选项可知，，
可证，故正确；
故选：．
11．若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是________.
11、解析　函数f(x)在区间上有极值点等价于f′(x)＝0有2个不相等的实根
且在内有根，由f′(x)＝0有2个不相等的实根，
得a<－2或a>2.由f′(x)＝0在内有根，得a＝x＋在内有解，
又x＋∈，所以2≤a<.
综上，a的取值范围是.
答案　
12．已知是函数的极小值点，则实数的取值范围是　 　．
12、【解析】，故，
是函数的极小值点，则时，恒成立，
即，解得：或，
故答案为：，，．
13．设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是____________．(写出所有正确条件的编号)
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
13、解析　设f(x)＝x3＋ax＋b.
当a＝－3，b＝－3时，f(x)＝x3－3x－3，f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)>0，得x>1或x<－1；令f′(x)<0，得－1故f(x)在(－∞，－1)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
又f(－1)＝－1，f(1)＝－5，f(3)＝15，故方程f(x)＝0只有一个实根，故①正确．
当a＝－3，b＝2时，f(x)＝x3－3x＋2，易知f(x)在(－∞，－1)上为增函数，
在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
又f(－1)＝4，f(1)＝0，x→－∞时，f(x)→－∞，从而方程f(x)＝0有两个根，故②错．
当a＝－3，b>2时，f(x)＝x3－3x＋b，易知f(x)的极大值为f(－1)＝2＋b>0，
极小值为f(1)＝b－2>0，x→－∞时，f(x)→－∞，
故方程f(x)＝0有且仅有一个实根，故③正确．
当a＝0，b＝2时，f(x)＝x3＋2，显然方程f(x)＝0有且仅有一个实根，故④正确．
当a＝1，b＝2时，f(x)＝x3＋x＋2，f′(x)＝3x2＋1>0，
则f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，易知f(x)的值域为R，
故f(x)＝0有且仅有一个实根，故⑤正确．
综上，正确条件的编号有①③④⑤.
答案　①③④⑤
14．已知函数，则（2）　　，若只有一个极值点，则的取值范围为　　．
14、【解答】解：函数只有一个极值点，
，故（2），
若函数只有一个极值点，
则只有一个实数解，则 恒成立，从而得到 ，
当 时，成立．当时，设，，
如图示：
当两函数相切时，设切点为，，
则①，将，代入②，
联立①②，解得，
此时得到的最大值，但时不成立．
故的取值范围为：，，
综上：的取值范围为：，，
故答案为：0，，．
15．设函数f(x)＝aln x－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切.
(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值.
15、解　(1)由f(x)＝aln x－bx2(x>0)，得f′(x)＝－2bx，
∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
∴解得
(2)由(1)知，f(x)＝ln x－x2，则f′(x)＝－x＝，
当≤x≤e时，令f′(x)>0，得≤x<1，
令f′(x)<0，得1∴f(x)在上单调递增；在(1，e]上单调递减，
∴f(x)max＝f(1)＝－.
16．设函数f (x)＝lnx－2mx2－n(m，n∈R)。
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)有最大值－ln2，求m＋n的最小值。
16、解　(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－4mx＝，
当m≤0时，f ′(x)>0，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当m>0时，令f ′(x)>0得0，
所以f (x)在上单调递增，在上单调递减。
(2)由(1)知，当m≤0时，f (x)无最大值；当m>0时，f (x)在上单调递增，在上单调递减。
所以f (x)max＝f ＝ln－2m·－n＝－ln2－lnm－－n＝－ln2，
所以n＝－lnm－，所以m＋n＝m－lnm－，
令h(x)＝x－lnx－(x>0)，则h′(x)＝1－＝，
所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以h(x)min＝h＝ln2，所以m＋n的最小值为ln2。
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高中数学重难点突破
专题十二 函数的极值与最值
知识归纳
1、函数极值的概念：
(1)极大值：一般地，设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极大值，记作，其中是极大值点。
(2)极小值：一般地，设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极小值，记作，其中是极小值点。
极大值与极小值统称为极值
2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：
(1)极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
(2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
3、极值点的作用：
(1)极值点为单调区间的分界点
(2)极值点是函数最值点的候选点
4、函数的最大值与最小值：
(1)设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最大值点，称为函数的最大值
(2)设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最小值点，称为函数的最小值
(3)最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点
(4)最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到。没有最大值。
(5)一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个。
5、利用导数求函数的最值步骤:
一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求在内的极值；
(2)将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值
典例分析
一、利用导数求函数的极值
例1-1、(1)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝1或－1或0 D．x＝0
(2)函数f(x)＝(x2－x－1)ex(其e＝2.718…是自然对数的底数)的极值点是________；极大值为________．
例1-2、已知函数f(x)＝2ef ′(e)ln x－(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为(　　)
A.2e－1 B.－ C.1 D.2ln 2
例1-3、如图，已知直线y＝kx＋m与曲线y＝f(x)相切于两点，则
F(x)＝f(x)－kx有(　　)
A．1个极大值点，2个极小值点
B．2个极大值点，1个极小值点
C．3个极大值点，无极小值点
D．3个极小值点，无极大值点
二、含参数的函数的极值问题
例2-1、(1)在处有极小值，则实数为 ;
(2)已知函数存在极值点，则的取值范围是_________.
例2-2、已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
例2-3、函数f(x)＝x2－aln x－1(a∈R)在[1，2]内不存在极值点，则a的取值范围是________．
例2-4、若函数在上有小于零的极值点，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．
例2-5、已知是函数的极小值点，则实数的取值范围是　　．
例2-6、(1)已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为(　　)
A．(－∞，e] B．[0，e] C．(－∞，e) D．[0，e)
(2)已知函数，若是函的的唯一一个极值点，则实数的取值范围为　　
A．， B． C．， D．，，
例2-7、(1)已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
(2)若函数存在两个极值点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
例2-8、设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由．
三、利用导数求函数的最值
例3-1、(1)函数的最小值为　　
A． B． C． D．
(2)关于x的不等式在恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
例3-2、若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．
例3-3、(1)设动直线与函数，的图象分别交于，，则的最小值为　　
A． B．1 C． D．
(2)已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例3-4、(1)(多选题)已知函数，则　　
A．时，的图象位于轴下方
B．有且仅有两个极值点
C．有且仅有一个极值点
D．在区间上有最大值
(2)函数与的最小值分别为，，则　　
A． B．
C． D．，的大小不能确定
四、含参数的函数的最值问题
例4-1、已知函数(aR)的最小值为2，则实数的值是_________.
例4-2、已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．
例4-3、已知函数的定义域为，求在上的最值.
五、导数的综合运用
例5-1、已知函数f(x)＝aln x－ex.
(1)讨论f(x)的极值点的个数；
(2)若a＝2，求证：f(x)＜0.
例5-2、已知函数．
(1)求的极值；
(2)求在上的最大值．
同步练习
1．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则(　　)
A．a<－1 B．a>－1 C．a>－ D．a<－
2．函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．无数
3．已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1
C．的极大值为 D．的最小值为
4．若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N*)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数.已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为(　　)
A．2折函数 B．3折函数 C．4折函数 D．5折函数
5．已知在区间有极小值，则实数的取值范围是　　
A．， B． C．， D．，
6．若函数在区间内有极大值，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
7．已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
8．函数为自然对数的底数），则下列说法正确的是　　
A．在上只有一个极值点 B．在上没有极值点
C．在处取得极值点 D．在处取得极值点
9．(多选题)函数，其图象在坐标原点处与相切，则　　
A． B．函数没有最小值
C．函数存在两个极值 D．函数存在两个零点
10．(多选题)关于函数，下列说法正确的是　　
A．函数的极小值为
B．函数有且只有1个零点
C．存在负实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
11．若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是________.
12．已知是函数的极小值点，则实数的取值范围是　 　．
13．设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是____________．(写出所有正确条件的编号)
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
14．已知函数，则（2）　 　，若只有一个极值点，则的取值范围为　 　．
15．设函数f(x)＝aln x－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切.
(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值.
16．设函数f (x)＝lnx－2mx2－n(m，n∈R)。
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)有最大值－ln2，求m＋n的最小值。
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