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高中数学重难点突破
专题八 导数与函数的极值
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
知识归纳
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．
典例分析
【例1】函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)
A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点
【变式1】函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值点．
【例2】求下列函数的极值
(1)y＝x3－3x2－9x＋5； (2)y＝x3(x－5)2.
【变式2】求函数f(x)＝＋3ln x的极值．
【例3】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
【变式3】(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________.
(2)(选讲)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
【例4】(选讲)已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
【变式4】若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是(　　)
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
2．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值； ②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有(　　)
A．1个　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
3．函数f(x)＝x＋的极值情况是(　　)
A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值 B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值
C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2
D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2
4．函数y＝的极大值为______，极小值为______．
5．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.
课后作业（常考题型与解题技巧）
6．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极值情况是(　　)
A．极大值为5，极小值为－27 B．极大值为5，极小值为－11
C．极大值为5，无极小值 D．极小值为－27，无极大值
7．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)
A．(2,3)　　　　　　B．(3，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
8．设函数f(x)＝xex，则(　　)
A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
9．函数f(x)＝－的极值点为(　　)
A．0　　　　B．－1 C．0或1 D．1
10．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是(　　)
A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值
11．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是(　　)
A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为
C．极大值为0，极小值为－ D．极大值为－，极小值为0
12．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
13．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.
14．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.
(1)写出函数f(x)的递减区间；
(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．
16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．
17．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝； (2)f(x)＝x2e－x.
提高训练题（思维与综合能力提升）
18．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．1C．24或a<1
19．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则极大值与极小值之差为________.
20．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．
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高中数学重难点突破
专题八 导数与函数的极值
知识归纳
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．
典例分析
【例1】函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
【例1】C　[设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]
【变式1】函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值点．
【变式1】答案　1
解析　由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为x＝x2.故填1.
【例2】求下列函数的极值
(1)y＝x3－3x2－9x＋5； (2)y＝x3(x－5)2.
【例2】[解]　(1)∵y′＝3x2－6x－9，
令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
y′ ＋ 0 － 0 ＋
y ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)
＝5x2(x－3)(x－5)，令y′＝0，
即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,3) 3 (3,5) 5 (5，＋∞)
y′ ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋
y ↗ 无极值 ↗ 极大值108 ↘ 极小值0 ↗
∴x＝0不是y的极值点；
x＝3是y的极大值点，y极大值＝f(3)＝108；
x＝5是y的极小值点，y极小值＝f(5)＝0.
【变式2】求函数f(x)＝＋3ln x的极值．
【变式2】解　函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 3 单调递增
因此，当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.
【例3】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
【例3】解　因为f(x)在x＝－1时有极值0，
且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
所以即
解之得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
【变式3】(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________.
(2)(选讲)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
【变式3】(1)4，－11　[f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得即
解得或
但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以，不符合题意，应舍去．
而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.]
(2)[解]　f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
【例4】(选讲)已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
【例4】[解]　令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；
当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.
因为方程f(x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图．
由已知应有
解得－2【变式4】若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．
【变式4】解　f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，
令f′(x)＝0，
得x＝－1或x＝1，
可知f(x)在(－1,1)上是单调减函数，
f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是单调增函数．
f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，
f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.
要使函数f(x)只有一个零点，
只需4＋k<0或－4＋k>0(如图所示)
或
即k<－4或k>4.
∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
同步练习
午练（基本概念与基础运算）
1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是(　　)
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
1、[答案]　C
[解析]　导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.
2．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有(　　)
A．1个　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
2、[答案]　B
[解析]　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得03．函数f(x)＝x＋的极值情况是(　　)
A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值
B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值
C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2
D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2
3、[答案]　D
[解析]　f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝±1，
函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，
∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.
4．函数y＝的极大值为______，极小值为______．
4、[答案]　1 －1
[解析]　y′＝，
令y′>0得－11或x<－1，
∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.
5．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.
5、[答案]　－3 －9
[解析]　y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有
课后作业（常考题型与解题技巧）
6．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极值情况是(　　)
A．极大值为5，极小值为－27
B．极大值为5，极小值为－11
C．极大值为5，无极小值
D．极小值为－27，无极大值
6、【解析】　y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，
令y′＝0，得x＝－1或x＝3.
当－2＜x＜－1时，y′＞0；
当－1＜x＜2时，y′＜0.
所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值．
【答案】　C
7．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)
A．(2,3)　　　　　　　　B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
7、【解析】　因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
【答案】　B
8．设函数f(x)＝xex，则(　　)
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
8、【解析】　∵f(x)＝xex，
∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．
∴当f′(x)≥0时，
即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，
∴x≥－1时，函数f(x)为增函数．
同理可求，x<－1时，函数f(x)为减函数．
∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．
【答案】　D
9．函数f(x)＝－的极值点为(　　)
A．0　　　　 B．－1
C．0或1 D．1
9、D　[∵f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.
又当x＞1时f′(x)＞0,0＜x＜1时f′(x)＜0，
∴1是f(x)的极小值点．
又x＜0时f′(x)＜0，故x＝0不是函数的极值点．]
10．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是(　　)
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
10、[答案]　D
[解析]　∵y′＝1－(x2＋1)′＝1－＝
令y′＝0得x＝1，当x>1时，y′>0，
当x<1时，y′>0，
∴函数无极值，故应选D.
11．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是(　　)
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极大值为0，极小值为－
D．极大值为－，极小值为0
11、[答案]　A
[解析]　由题意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1①
f′(1)＝0，∴2p＋q＝3②
由①②得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1
＝(3x－1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，极大值f＝，极小值f(1)＝0.
12．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
12、答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析　∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
13．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.
13、【解析】　f′(x)＝＋2bx＋3＝，
∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，
∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，也即2bx2＋3x＋a＝0的两根．
∴由根与系数的关系知
解得
【答案】　－2　－
14．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
14、答案　3
解析　∵f′(x)＝′
＝
＝，
又∵函数f(x)在x＝1处取极值，
∴f′(1)＝0.
∴1＋2×1－a＝0，
∴a＝3.
验证知a＝3符合题意．
15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.
(1)写出函数f(x)的递减区间；
(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．
15、[解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 增 极大值f(－1) 减 极小值f(3) 增
(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；
(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.
16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．
[解析]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有
又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1，
此时函数的表达式为f(x)＝x3－x.
∴f′(x)＝x2－.
令f′(x)＝0，得x＝±1.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值1 ? 极小值－1 ?
由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.
17．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2e－x.
17、解　(1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
∵f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － ＋ 0 ＋
f(x) 单调递增 － 单调递减 单调递增 3 单调递增
故当x＝－1时，函数有极大值，
并且极大值为f(－1)＝－，无极小值．
(2)函数的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·′
＝2xe－x－x2e－x
＝x(2－x)e－x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 0 单调递增 4e－2 单调递减
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0；
当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2.
提高训练题（思维与综合能力提升）
18．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．1C．24或a<1
18、答案　B
解析　y′＝3x2－3a，当a≤0时，y′≥0，
函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；当a>0时，y′＝3x2－3a＝0 x＝±，不难分析，当1<<2，即119．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则极大值与极小值之差为________.
19、【解析】　∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，
∴
∴f′(x)＝3x2－6x，
令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2，
∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.
【答案】　4
20．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．
20、[答案]　(－2,2)
[解析]　令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，
可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，
y＝f(x)的大致图象如图
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